PAGE19-河南省2025屆高三數學下學期第三次聯考（4月）試題文（含解析）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}2．已知a，b∈R，3+ai＝b﹣（2a﹣1）iA．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．3．已知向量＝（0，2），＝（2，x），且與的夾角為，則x＝（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣4．若x，y滿意約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．35．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中推斷框①處應填入的是（）A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？6．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝3﹣2x，則不等式f（x）＞0的解集為（）A． B． C． D．7．某班45名同學都參與了立定跳遠和100米跑兩項體育學業水平測試，立定跳遠和100米跑合格的人數分別為30和35，兩項都不合格的人數為5．現從這45名同學中按測試是否合格分層（分成兩項都合格、僅立定跳遠合格、僅100米跑合格、兩項都不合格四種）抽出9人進行復測，那么抽出來復測的同學中兩項都合格的有（）A．1人 B．2人 C．5人 D．6人8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為CC1，DD1的中點，則異面直線AF，DEA． B． C． D．9．已知橢圓與直線交于A，B兩點焦點P（0，﹣c），其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，給出下列關于g（x）的結論：①它的圖象關于直線對稱；②它的最小正周期為③它的圖象關于點對稱；④它在上單調遞增．其中全部正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④11．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下其次十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有這樣一個相關的問題：將1到2024這2024個自然數中被5除余3且被7除余2的數依據從小到大的依次排成一列，構成一個數列，則該數列各項之和為（）A．56383 B．57171 C．59189 12．已知函數f（x）＝aex（a＞0）與g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的圖象在第一象限有公共點，且在該點處的切線相同，當實數m改變時，實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知數列{an}為等比數列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，則a5＝．14．中國是發覺和探討勾股定理最古老的國家之一．直角三角形最短的邊稱為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數據成為勾股數．現從1～5這5個數中隨機選取3個不同的數，這三個數為勾股數的概率為．15．已知雙曲線﹣＝1（a＞b＞0）與拋物線y2＝8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點P，若|PF|＝5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為．16．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為．三、解答題：共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必考題共60分.17．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC（1）求的值；（2）若b＝，求c﹣a的取值范圍．18．某校高三（1）班在一次語文測試結束后，發覺同學們在背誦內容方面失分較為嚴峻．為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晩讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學們對站起來大聲誦讀的看法，對全班50名同學進行調查，將調查結果進行整理后制成如表：考試分數[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）[125，135）[135，145]頻數510155105贊成人數469364（1）欲使測試優秀率為30%，則優秀分數線應定為多少分？（2）依據第1問的結果及樣本數據探討是否贊成站起來大聲誦讀的看法與考試成果是否優秀的關系，列出2×2列聯表，并推斷是否有90%的把握認為贊成與否的看法與成果是否優秀有關系．參考公式及數據：．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.63519．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E為PB的中點，F是PC上的點．（1）若EF∥平面PAD，證明：F為PC的中點．（2）求點C到平面PBD的距離．20．設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，AB為過焦點F且垂直于x軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經過點（﹣1，0）．（1）求p的值及該圓的方程；（2）設M為l上隨意一點，過點M作C的切線，切點為N，證明：MF⊥NF．21．已知函數，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．（1）求函數g（x）的單調區間與極值．（2）當m＞0時，是否存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4坐標系與參數方程]22．在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為（α為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ+ρcosθ＝6．（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線m的極坐標方程為．設m與C相交于點M，m與l相交于點N，求|MN|．[選修4-5：不等式選講]23．設函數的最小值為m．（1）求m的值；（2）若a，b，c為正實數，且，證明：．

參考答案一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}【分析】求出集合A和B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故選：D．2．已知a，b∈R，3+ai＝b﹣（2a﹣1）iA．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．【分析】干脆利用復數相等的條件列式求得a，b的值得答案．解：由3+ai＝b﹣（2a﹣1）i得，即a＝，b＝3．∴b＝9a故選：C．3．已知向量＝（0，2），＝（2，x），且與的夾角為，則x＝（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣【分析】由題意利用兩個向量的數量積的定義和公式，求出x的值．解：∵向量＝（0，2），＝（2，x），且與的夾角為，∴＝0+2x＝2??cos，即2x＝，求得x＝2，故選：B．4．若x，y滿意約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．3【分析】先依據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值即可．解：因為表示經過點D（﹣3，﹣2）和可行域內的點（x，y）的直線的斜率；畫出可行域；可知可行域的三個頂點分別為A（﹣1，3），B（﹣1，﹣1），C（1，1）；且KAD＝；故z．即的最大值為．故選：C．5．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中推斷框①處應填入的是（）A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的改變狀況，可得答案．解：模擬程序的運行，可得當S＝1時，i＝9；當S＝1+9＝10時，i＝8；當S＝1+9+8＝18時，i＝7；當S＝1+9+8+7＝25時，i＝6；當S＝1+9+8+7+6＝31時，i＝5．此時輸出S＝31，則圖中推斷框①處應填入的是i≤5？．故選：C．6．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝3﹣2x，則不等式f（x）＞0的解集為（）A． B． C． D．【分析】依據題意，結合函數的解析式以及奇偶性分析可得f（x）的圖象，據此分析可得答案．解：依據題意，f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）＝3﹣2x，則其圖象如圖：且f（）＝f（﹣）＝0，則不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，﹣）∪（0，）；故選：C．7．某班45名同學都參與了立定跳遠和100米跑兩項體育學業水平測試，立定跳遠和100米跑合格的人數分別為30和35，兩項都不合格的人數為5．現從這45名同學中按測試是否合格分層（分成兩項都合格、僅立定跳遠合格、僅100米跑合格、兩項都不合格四種）抽出9人進行復測，那么抽出來復測的同學中兩項都合格的有（）A．1人 B．2人 C．5人 D．6人【分析】設這兩項成果均合格的人數為x，依據集合關系建立方程進行求解即可，再依據分層抽樣即可求出．解：設這兩項成果均合格的人數為x，則立定跳遠合格100米跑不合格的人數為30﹣x，則30﹣x+35+5＝45，得x＝25，即這兩項成果均合格的人數是25人，則抽出來復測的同學中兩項都合格的有9×＝5，故選：C．8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為CC1，DD1的中點，則異面直線AF，DEA． B． C． D．【分析】可畫出圖形，連接BE，從而可得出∠DEB為異面直線AF，BE所成的角，并連接DB，然后可設正方體的棱長為2，從而可得出△BDE三邊的長度，依據余弦定理即可求出cos∠DEB的值．解：如圖，連接BE，則BE∥AF，則∠DEB為異面直線AF，DE所成的角，連接DB，設正方體的棱長為2，則：，∴在△BDE中，由余弦定理得，＝．故選：D．9．已知橢圓與直線交于A，B兩點焦點P（0，﹣c），其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【分析】利用已知條件求出A、B坐標，結合三角形是直角三角形，推出a、b、c關系，然后求解離心率即可．解：橢圓與直線交于A，B兩點焦點P（0，﹣c），其中C為半焦距，若△ABF是直角三角形，不妨設A（0，a），B（﹣b，0），則＝0，解得b2＝ac，即a2﹣c2＝ac，即e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），故e＝．故選：A．10．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，給出下列關于g（x）的結論：①它的圖象關于直線對稱；②它的最小正周期為③它的圖象關于點對稱；④它在上單調遞增．其中全部正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【分析】由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的圖象和性質，得出結論．解：將函數＝2sin（3x﹣）+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數g（x）＝2sin（3x+﹣）+1＝2sin（3x+）+1的圖象．令x＝，求得g（x）＝2sin+1＝0，不是最值，故g（x）的圖象不關于直線對稱，故①不正確；它的最小正周期為，故②正確；當x＝時，g（x）＝1，故g（x）的圖象關于點對稱，故③正確；在上，3x+∈[5π+，6π+]，g（x）沒有單調性，故④錯誤，故選：B．11．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下其次十六題，叫做“物不知數”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有這樣一個相關的問題：將1到2024這2024個自然數中被5除余3且被7除余2的數依據從小到大的依次排成一列，構成一個數列，則該數列各項之和為（）A．56383 B．57171 C．59189 【分析】由已知可得被5除余3且被7除余2的正整數構成首項為23，公差為5×7＝35的等差數列，求其通項公式，由an≤2024求得n值，再由等差數列的前n項和求解．解：被5除余3且被7除余2的正整數構成首項為23，公差為5×7＝35的等差數列，記數列{an}．則an＝23+35（n﹣1）＝35n﹣12，令an＝35n﹣12≤2024，解得n．故該數列各項之和為58×．故選：C．12．已知函數f（x）＝aex（a＞0）與g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的圖象在第一象限有公共點，且在該點處的切線相同，當實數m改變時，實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】先設出切點，依據切點是公共點且切點處導數值相等構造方程，由此將m用切點的橫坐標x0表示出來，依據m的范圍求出x0的范圍，再將a表示成x0的函數，利用導數求其值域即可．解：設切點為A（x0，y0），所以，整理得，由，解得x0＞2．由上可知，令，則．因為x＞2，所以在（2，+∞）上單調遞減，所以，即．故選：D．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知數列{an}為等比數列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，則a5＝81．【分析】由已知結合等比數列的通項公式即可干脆求解．解：設公比為q，則q＝＝﹣3，由a1+a2＝a1﹣3a1＝﹣2可得a1故a5＝81．故答案為：81．14．中國是發覺和探討勾股定理最古老的國家之一．直角三角形最短的邊稱為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數據成為勾股數．現從1～5這5個數中隨機選取3個不同的數，這三個數為勾股數的概率為．【分析】基本領件總數n＝＝10，這三個數為勾股數包含的基本領件（a，b，c）有：（3，4，5），共1個，由此能求出這三個數為勾股數的概率．解：現從1～5這5個數中隨機選取3個不同的數，基本領件總數n＝＝10，這三個數為勾股數包含的基本領件（a，b，c）有：（3，4，5），共1個，∴這三個數為勾股數的概率為p＝．故答案為：．15．已知雙曲線﹣＝1（a＞b＞0）與拋物線y2＝8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點P，若|PF|＝5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為．【分析】依據拋物線和雙曲線有相同的焦點求得p和c的關系，依據拋物線的定義可以求出P的坐標，代入雙曲線方程與p＝2c，b2＝c2﹣a2，解得a，b解：∵拋物線y2＝8x的焦點坐標F（2，0），p＝4，拋物線的焦點和雙曲線的焦點相同，∴p＝2c，即c∵設P（m，n），由拋物線定義知：|PF|＝m+＝m+2＝5，∴m＝3．∴P點的坐標為（3，）∴解得：a＝1，b＝，則漸近線方程為y＝x，即有點F到雙曲線的漸近線的距離為d＝＝，故答案為：．16．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝CD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為32π．【分析】設ED＝a，則CD＝a．可得CE⊥ED．當平面ABD⊥平面BCD時，當四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設AM＝x．則四面體C﹣EMN的體積＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）．利用基本不等式的性質可得最大值，進而得出結論．解：設ED＝a，則CD＝a．可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED．當平面ABD⊥平面BCD時，當四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設AM＝x．則四面體C﹣EMN的體積＝（a﹣x）××a×x×＝ax（a﹣x）≤a＝，當且僅當x＝時取等號．解得a＝2．此時三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積＝4πa2＝32π．故答案為：32π．三、解答題：共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每道試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必考題共60分.17．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC（1）求的值；（2）若b＝，求c﹣a的取值范圍．【分析】（1）由已知結合余弦定理進行化簡求解cosB，進而可求B，代入即可求解；（2）由已知結合正弦定理可表示c﹣a，然后結合和差角公式及正弦函數的性質即可求解．解：（1）因為2a﹣c＝2bcosC＝，整理可得，a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理可得，cosB＝，故B＝60°，A+C＝120°，所以＝sin120°＝；（2由正弦定理可得，，所以a＝2sinA，c＝2sinC，所以c﹣a＝2sinC﹣2sinA＝2sinC﹣2sin（120°﹣C）＝sinC﹣cosC，＝2sin（C﹣60°），因為0°＜C＜120°，所以﹣60°＜C﹣60°＜60°，所以﹣sin（C﹣600）＜，故﹣＜c﹣a18．某校高三（1）班在一次語文測試結束后，發覺同學們在背誦內容方面失分較為嚴峻．為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晩讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學們對站起來大聲誦讀的看法，對全班50名同學進行調查，將調查結果進行整理后制成如表：考試分數[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）[125，135）[135，145]頻數510155105贊成人數469364（1）欲使測試優秀率為30%，則優秀分數線應定為多少分？（2）依據第1問的結果及樣本數據探討是否贊成站起來大聲誦讀的看法與考試成果是否優秀的關系，列出2×2列聯表，并推斷是否有90%的把握認為贊成與否的看法與成果是否優秀有關系．參考公式及數據：．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635【分析】（1）計算測試成果優秀的人數，結合表中數據得出結論；（2）由題意計算并填寫列聯表，求出觀測值，比照臨界值得出結論．解：（1）因為測試的優秀率為30%，所以測試成果優秀的人數為50×30%＝15，由表中數據知，優秀分數線應定為125分．（2）由（1）知，測試成果優秀的學生有50×0.3＝15人，其中“贊成的”有10人；測試成果不優秀的學生有50﹣15＝35人，其中“贊成的”有22人；填寫2×2列聯表如下：贊成不贊成合計優秀10515不優秀221335合計321850計算，因此，沒有90%的把握認為贊成與否的看法與成果是否優秀有關系．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝AD＝2，E為PB的中點，F是PC上的點．（1）若EF∥平面PAD，證明：F為PC的中點．（2）求點C到平面PBD的距離．【分析】（1）由線面平行的判定定理可得BC∥平面PAD，再由線面平行的性質定理可得EF∥PM，進而得到所求結論；（2）運用線面垂直的性質定理，結合勾股定理求得PB，PD，BD，由三角形的面積公式可得三角形PBD的面積，設點C到平面PBD的距離為d，由VC﹣PBD＝VP﹣BCD，運用棱錐的體積的公式，計算可得所求值．【解答】（1）證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．因為P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可設平面PBC∩平面PAD＝PM，又因為BC?平面PBC，所以BC∥PM．因為EF∥平面PAD，EF?平面PBC，所以EF∥PM，從而得EF∥BC．因為E為PB的中點，所以F為PC的中點．（2）解：因為PA⊥底面，所以，，所以．設點C到平面PBD的距離為d，由VC﹣PBD＝VP﹣BCD，得，即?6d＝?2?2?2，解得．20．設拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準線為l，AB為過焦點F且垂直于x軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經過點（﹣1，0）．（1）求p的值及該圓的方程；（2）設M為l上隨意一點，過點M作C的切線，切點為N，證明：MF⊥NF．【分析】（1）易知A（，±p），所以p＝，即可解得p的值，得到圓心坐標為（1，0），半徑為2，從而求出改圓的方程；（2）設M（﹣1，y0），MN的方程為y＝k（x+1）+y0，與拋物線方程聯立，由△＝0可得令△＝0可得，所以，與拋物線方程聯立可求出N點的坐標，從而得到＝0，故MF⊥NF．解：（1）易知A點的坐標為（，±p），所以p＝，解得p＝2，又圓的圓心為F（1，0），所以圓的方程為（x﹣1）2+y＝4；（2）證明：易知直線MN的斜率存在且不為0，設M（﹣1，y0），MN的方程為y＝k（x+1）+y0，代入C的方程得ky2﹣4y+4（y0+k）＝0，令△＝16﹣16k（y0+k）＝0．得，所以ky2﹣4y+4（y0+k）＝＝0，解得，將代入C的方程，得x＝，即N點的坐標為（，），所以＝（﹣2，y0），＝（，），所以＝2﹣+y0＝2﹣+（）＝0故MF⊥NF．21．已知函數，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．（1）求函數g（x）的單調區間與極值．（2）當m＞0時，是否存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．【分析】（1）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系即可求解函數的單調區間與極值，（2）由題意可得，對x∈[1，2]，滿意f（x）max＞g（x）min，結合導數及單調性關系可求．解：（1）g′（x）＝﹣m+，x＞0，當m≤0時，g′（x）＞0恒成立，函數g（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間，所以不存在極值，當m＞0時，當0＜x＜時，g′（x）＞0此時函數單調遞增，當x＞時，g′（x）＜0，此時函數，單調遞減故函數g（x）的單調增區間為，單調減區間為（），此時函數g（x）在x＝處取得極大值，極大值為g（）＝﹣1﹣lnm，無微小值，綜上，當m≤0時，函數g（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間，不存在極值．當m＞0時，函數g（x）的單調增區間為（0，），單調減區間為（），極大值為﹣1﹣lnm，無微小值，（2）當m＞0時，假設存在x1，x2∈[1，2]，使得f（x1）＞g（x2）成立則對x∈[1，2]，滿意f（x）max＞g（x）min，∵f′（x）＝x∈[1，2]，令h（x）＝x﹣lnx，x∈[1，2]，則≥0，所以h（x）在[1，2]上單調遞增，所以h（x）≥h（1）＝1，所以f′