20232024學年七年級數學上學期復習備考高分秘籍【人教版】專題2.13一元一次方程的新定義與材料閱讀問題大題培優專練（40題）班級：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答題1．（2023上·江西贛州·七年級于都縣第二中學校考期末）我們規定關于x的一元一次方程ax=b的解為x=b?a，則稱該方程是“差解方程”，例如：3x=4.5的解為x=4.5?3=1.5，則該方程3x=4．【定義理解】（1）判斷：方程2x=4________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關于x的一元一次方程4x=m是“差解方程”，求m的值；【知識應用】（3）已知關于x的一元一次方程4x=ab+a是“差解方程”，則3(ab+a)=__________．（4）已知關于x的一元一次方程4x=mn+m和?2x=mm+m都是“差解方程”，求代數式3(mn+m)?9(mn+n)【答案】（1）是；（2）m=163【分析】（1）根據差解方程的定義判斷即可；（2）根據差解方程的定義即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論；（3）根據差解方程的定義即可得出關于a、b的二元二次方程，整理即可得出；（4）根據差解方程的概念列式得到關于m、n的兩個方程，聯立求解得到m、n的關系，得出3mn+m=16，【詳解】解：（1）∵方程2x=4的解為x=2=4?2，∴方程2x=4是差解方程．故答案為：是；（2）由題意可知x=m?4，由一元一次方程可知x=m∴m?4=m解得m=16（3）∵方程4x=ab+a是“差解方程”，∴x=ab+a?4，解方程4x=ab+a，得x=ab+a∴ab+a?4=ab+a∴3ab+3a=16，即3ab+a故答案為：16；（4）∵一元一次方程4x=mn+m是“差解方程”，∴x=mn+m?4，解方程一元一次方程4x=mn+m得x=∴mn+m?4=mn+m整理得3mn+m∵一元一次方程?2x=mm+m是“差解方程”，∴x=mn+m+2，解方程一元一次方程?2x=mm+m得x=?∴mn+m+2=?mn+m整理得9mn+n∴3(mn+m)?9=16?16=0．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解題的關鍵是讀懂題意，理解差解方程的概念并根據概念列出方程．2．（2023下·重慶·七年級統考期末）我們常用符號x表示小于或者等于x的最大整數．例如0=0，2.3=2，?2.5=?3，π=3．由此可以知道，當請根據以上信息，解決下列問題：(1)1.2=______；?3.8=______；(2)計算并找規律1+?1=______；200+?200=根據以上計算，可歸納出：①當x為整數時，x+②當x不為整數時，x+(3)計算：?20+?19(4)解關于x的方程：x+【答案】(1)1，?4，6(2)0，0，?1，?1，0，?1(3)?20(4)無解【分析】（1）依據題意，逐個計算即可得解；（2）依據題目信息，逐個計算可以得解；（3）根據題意，結合（1）（2）列出算式計算即可得解；（4）依據題意，分成兩種情況：①若x為整數；②x不是整數分別列方程計算即可得解．【詳解】（1）解：[1.2]=1，[?3.8]=?4，[2π]=6．故答案為：1，?4，6；（2）[1]+[?1]=0，[200]+[?200]=0，[1.5]+[?1.5]=?1，[3.14]+[?3.14]=?1．根據以上計算，可歸納出：①當x為整數時，[x]+[?x]=0．②當x不為整數時，[x]+[?x]=?1．故答案為：0，0，?1，?1，0，?1；（3）[?20]+[?19=?20+(?20)+(?19)+(?19)+(?18)+…+(?1)+(?1)+0+0+1+…+18+18+19+19+20=?20；（4）由題意，①當x為整數時，x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]=1332，∴x+2x+3x+…+20x=1332．∴20(1+20)2∴x=222∵x為整數，∴x不合題意；②當x是不是整數時，∵[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]結果必為整數，∴x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]結果必然包含小數，原方程不成立；綜上所述，方程無解．【點睛】本題考查了有理數的混合運算和解一元一次方程，解決本題的關鍵是明確[x]表示不超過x的最大整數．3．（2023上·福建寧德·七年級統考期末）對于整數a，b，如果滿足a2當a=1，b=?16時，a2因為12所以，數對?1,16為“二八友好數對”．(1)說明數對1,?16是否為“二八友好數對”；(2)現將部分“二八友好數對”制成如下對應數值表：a…?101y3…b…1x?16?32?48…直接寫出表格中x，y的值；(3)已知a,b為“二八友好數對”，觀察（2）中表格，猜想a，b之間的數量關系為：【答案】(1)數對(?1，(2)x=0(3)?16a【分析】（1）根據二八友好數對的定義：對于整數a，b，如果滿足a2（2）根據二八友好數對的定義：對于整數a，b，如果滿足a2（3）根據二八友好數對的定義：對于整數a，b，如果滿足a2【詳解】（1）解：∵當a=?1，b=16時，即?12∴數對(?1，（2）解：∵a=0，b=x，且a，∴a2+b∴x8∴解得：x=0，∵a=y，b=?32，且a，∴a2+b∴y2∴解得：y=2；（3）解：a，b之間的數量關系解法一：∵a,b為“二八友好數對”，∴a2∴20a+5b=4(a+b)，∴解得：b=?16a；解法二：∵當b=?16a時，a∴a2∴(a，∴b=?16a．【點睛】本題考查了新定義下的實數運算，理解新定義實數運算法則是解題的關鍵．4．（2023上·四川成都·七年級統考期末）已知當x=?1時，代數式2x+6mx3的值為0；關于y的方程5?ny=3my+n的解為(1)求mn(2)若規定a表示不超過a的最大整數，例如：3.4=3，請在此規定下求m?【答案】(1)?(2)?2【分析】（1）把x=?1時，代數式2x+6mx3，根據代數式值為0，得出m的值，將m的值和y=1代入5?ny=3my+n，求出n（2）先計算出m?n【詳解】（1）解：∵當x=?1時，代數式2x+6m∴將x=?1代入，得?6m?2=0，解得∵關于y的方程5?ny=3my+n的解為y=1，∴將m=?13,y=1解得n=3．∴mn（2）解：由（1）知，m=?1∴m?n【點睛】本題考查了方程的解的定義，以及解方程，正確求得m，n的值是關鍵．5．（2023上·河北邢臺·七年級統考期末）如圖，某數學活動小組編制了一個有理數混合運算題，即輸入一個有理數，按照自左向右的順序運算，可計算出結果．（其中“”表示一個有理數）(1)若這個題無法進行計算，請推測“”表示的有理數，并說明理由．(2)若“”表示的數為3．①若輸入的數為?2，求出運算結果；②若運算結果是13【答案】(1)0，理由見解析；(2)?7，9．【分析】（1）根據0不能作除數，判斷即可；（2）①把?2代入計算即可；②根據結果為13【詳解】（1）解：推測“”表示的有理數為0，因為0不能作除數；（2）①將?2代入，得：?2==?7．②設輸入的數為x，依題意得2x?53解得：x=9，∴輸入的數是9．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．6．（2023上·河南商丘·七年級統考期末）我們規定，若關于x的一元一次方程ax=b的解為b?a，則稱該方程為“差解方程”．例如：2x=4的解為2，且2=4?2，則方程2x=4是差解方程．請根據上述規定解答下列問題：(1)判斷3x=4.5是否為差解方程，并說明理由．(2)若關于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值．【答案】(1)3x=4.5是差解方程，理由見解析；(2)m=21【分析】（1）解方程，并計算對應b?a的值與方程的解恰好相等，所以是差解方程；（2）解方程，根據差解方程的定義列式求解即可．【詳解】（1）是差解方程；理由：∵3x=4.5，∴x=1.5，∵4.5?3=1.5，∴3x=4.5是差解方程；（2）解方程5x=m+1，得，x=m+1∵關于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，∴m+1?5=解得：m=21【點睛】本題考查了一元一次方程的解與新定義：差解方程，解好本題是做好兩件事：①熟練掌握一元一次方程的解法；②根據差解方程的定義列出方程求解．7．（2023下·河南南陽·七年級統考階段練習）如果兩個方程的解相差1，則稱解較大的方程為另一個方程的“后移方程”．例如：方程x?3=0是方程x?2=0的后移方程．(1)請判斷方程2x+3=0是否為方程2x+5=0的后移方程______.(填“是”或“否”)；(2)若關于x的方程3x+m+n=0是關于x的方程3x+m=0的后移方程，求n的值．【答案】(1)是(2)n=?3【分析】（1）根據等式的性質求出兩個方程的解，相減后判斷即可；（2）先根據等式的性質求出兩個方程的解，再根據題意得出?m?n3?(?m【詳解】（1）解：解方程2x+3=0得：x=?32，解方程2x+5=0得：∵?3∴方程2x+3=0是方程2x+5=0的后移方程．故答案為：是；（2）解方程3x+m+n=0得：x=?m?n解方程3x+m=0得：x=?m∵關于x的方程3x+m+n=0是關于x的方程3x+m=0的后移方程，∴?m?n∴?n∴n=?3．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關于m或n的一元一次方程是解此題的關鍵．8．（2023下·吉林長春·七年級長春市第八十七中學校考階段練習）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數，我們就稱這兩個方程為“關聯方程”．如方程2x=4和3x+6=0為“關聯方程”．(1)若關于x的方程5x+a=0與方程2x?4=x+1是“關聯方程”，求a的值；(2)若兩個“關聯方程”的兩個解的差為8，若兩個“關聯方程”的兩個解分別為m、n，求m、n的值；(3)若關于x的方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是“關聯方程”，求b的值．【答案】(1)a=25(2)m=4n=?4或(3)b=2【分析】（1）根據“關聯方程”的定義求解即可；（2）根據“關聯方程”的定義和已知條件得到m?n=8或n?m=8，再結合m+n=0，解方程組即可；（3）分別求出方程的解，再由“關聯方程”的定義解答．【詳解】（1）解：解方程2x?4=x+1得：x=5，將x=?5代入方程5x+a=0得：5×?5解得：a=25；（2）解：由題意得：m+n=0m?n=8或m+n=0解兩個二元一次方程組得：m=4n=?4或m=?4∴m、n的值為：m=4n=?4或m=?4（3）解：解方程2x+3b?2=0得：x=?3b+2解：方程3x?5b+4=0得：x=5b?4∵方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是關于x的“關聯方程”，∴?3b+22解得：b=2．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的應用，和解二元一次方程組的應用，正確掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程組的方法，是解題的關鍵．9．（2023上·江蘇淮安·七年級統考期末）形如a??bc??d(1)計算?5??(2)已知2?x?11【答案】(1)?7(2)x=1【分析】（1）直接根據運算法則進行計算，即可求出答案．（2）直接根據運算法則進行計算，即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意，∵a??∴?52（2）解：由題意，∵a??∴2x?1∴x=1；【點睛】本題考查了新定義的運算法則，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進行計算．10．（2023上·江西鷹潭·七年級統考期末）定義一種新運算“※”，其規則為x※y=xy?x+y．例如(1)計算?3※(2)已知2m※3=2※(3)有理數的加法和乘法運算都滿足交換律，即a+b=b+a，ab=ba，那么“※”運算是否滿足交換律﹖若滿足，請說明理由；若不滿足．請舉例說明．【答案】(1)7(2)m=?5(3)不滿足交換律，見解析【分析】（1）根據新運算規則求解即可；（2）根據新運算規則可得方程，6m?2m+3=2m?2+m，再求解即可；（3）只需要舉出反例就可以說明．【詳解】（1）解：?3※（2）解：2m※3=2※解得：m=?5；（3）解：“※”運算不滿足交換律，舉例如下：2※3=2×3?2+3=7，故2※所以“※”運算不滿足交換律．【點睛】本題以新運算為載體主要考查了一元一次方程的應用，正確理解新運算規則、掌握解答的方法是關鍵．11．（2022上·江蘇揚州·七年級統考期末）定義：關于x的方程ax?b=0與方程bx?a=0（a、b均為不等于0的常數）稱互為“錯位方程”，例如：方程2x?1=0與方程x?2=0互為“錯位方程”．(1)若關于x的方程2x?3=0與方程3x?c=0互為“錯位方程”，則c＝__________；(2)若關于x的方程4x+3m+1=0與方程5x?n+2=0互為“錯位方程”，求m、n的值；(3)若關于x的方程3x?b=0與其“錯位方程”的解都是整數，求整數b的值．【答案】(1)2(2)m=?2(3)b=±3【分析】（1）根據“錯位方程”定義，直接求解；（2）列出方程直接求解即可；（3）解出方程，根據整數解直接求值．【詳解】（1）2x?3=0與方程3x?c=0互為“錯位方程”，則c=2．（2）4x+3m+1=0可化簡為4x?(?3m?1)=0，5x?n+2=0可化簡為5x?(n?2)=0，因為4x?(?3m?1)=0與方程5x?(n?2)=0互為“錯位方程”，可得?3m?1=54=n?2，解得m=?2（3）3x?b=0的解為x=b3x?b=0的“錯位方程”為bx?3=0的解為x=3因為3x?b=0與其“錯位方程”的解都是整數，所以b=±3．【點睛】此題考查一元一次方程和新定義的題型，解題關鍵是看清定義，然后直接求解即可．12．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）解一元一次方程時，發現這樣一種特殊現象：x+12=0的解為2x+43=0的解為將這種類型的方程作如下定義：若一個關于x的方程ax+b=0（a≠0）的解為x=b?a，則稱之為“奇異方程”，請解決以下問題：(1)方程3x+9(2)若方程5x+m=0是“奇異方程”，求m的值．【答案】(1)是，理由見詳解(2)m=【分析】（1）解原方程，利用“奇異方程”的定義進行驗證即可；（2）根據“奇異方程”定義，利用反證法即可說明；（3）利用“奇異方程”的定義求出原方程的根，利用方程根的意義將方程的根代入原方程得到m的關系式，即可解關于m的方程．【詳解】（1）方程3x+9方程3x+94=0∵?3∴方程3x+9（2）∵關于x的方程5x+m=0為奇異方程，∴方程5x+m=0的根為：x=m?5．把x=m?5代入原方程得：5m?5∴m=25【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，本題是閱讀型題目，理解題干中的新定義并熟練應用是解題的關鍵．13．（2023上·湖北十堰·七年級統考期末）閱讀與理解：對一個關于x的多項式求導數，多項式中xn的導數等于nxn?1，常數項的導數為0．已知ax2+bx+c是關于x的多項式，記為P(x)．我們規定：P(x)的導出多項式為2ax+b，記為Q(x)．例如：若P(x)=3x2?2x+1，則P(x)的導出多項式Q(x)=2×3x?2=6x?2；若P(x)=4(1)若P(x)=x2+4x+3，則它的導出多項式(2)設Q(x)是P(x)的導出多項式．①若P(x)=4x2+3(9x?5)，求關于x②已知P(x)=(a?1)x2?8x+7是關于x的二次多項式，且關于x的方程Q(x)=?2x【答案】(1)2x+4(2)①x=?3；②2或4；【分析】（1）利用題目已知的規定求解即可；（2）①先把P(x)=4x2+3(9x?5)化簡，根據題目已知的規定求出Q(x)②根據題目已知的規定，求出P(x)=(a?1)x2?8x+7導出的多項式Q(x)，再根據關于x【詳解】（1）∵P(x)=x∴Q(x)=2x+4，故答案為2x+4；（2）①∵Px∴Qx∵Qx∴8x+27=3，解得x=?3；②∵P(x)=(a?1)x2?8x+7∴a≠1，∵Px∴Qx∵Qx∴2a?1∴ax=4，∵Qx∴a≠0，且x=4∵a為正整數，且a≠1，∴a的值為2或4．【點睛】本題考查了新定義，一元一次方程的解法，根據題目的已知理解P(x)，Q(x)是解題的關鍵．14．（2023上·湖南長沙·七年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考期末）在一元一次方程中，如果兩個方程的解相同，則稱這兩個方程為同解方程．(1)若方程3x=6與關于x的方程mx=1是同解方程，求m的值；(2)若關于x的兩個方程3x=a+2與3x?2a3(3)若關于x的兩個方程4x=22mn+x與3x?4=2x+2n是同解方程，求此時符合要求的正整數m，n【答案】(1)1(2)1(3)m=3，n=1或m=2【分析】（1）先解方程3x=6得到x=2，再根據同解方程的定義得到方程mx=1的解為x=2，則2m=1，解方程即可；（2）分別求出方程3x=a+2與3x?（3）分別求出方程4x=22mn+x與3x?4=2x+2n的解，再根據這兩個方程是同解方程得到m=1+2n，再根據m【詳解】（1）解：∵3x=6，∴x=2，∵方程3x=6與關于x的方程mx=1是同解方程，∴方程mx=1的解為x=2，∴2m=1，∴m=1（2）解：解方程3x=a+2得：x=a+2解方程3x?2a3∵關于x的兩個方程3x=a+2與3x?∴a+23解得a=1；（3）解：解方程4x=22mn+x得：x=2mn解方程3x?4=2x+2n得：x=4+2n；∵關于x的兩個方程4x=22mn+x與3x?4=2x+2n∴2mn=4+2n，∴m=2+n∵m，n都是正整數，∴2n∴當n=1時，m=3；當n=2時，m=2．【點睛】本題主要考查了同解方程問題，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定義是解題的關鍵．15．（2023上·江蘇南京·七年級統考期末）閱讀下面解方程的途徑．解方程2方程2x+1=0的解是x=?1x+2=?x=?(1)按照上述途徑，填寫下面的空格．解方程1方程12016x+3=2x?1007(2)已知關于x的方程ax2+c=bx+13的解是x=1或x=2（a、b、c均為常數），求關于x的方程akx+m2+c=bkx+m+1【答案】(1)x?1=2，x=3；(2)x=1?mk或【分析】（1）仿照材料可知x?1=2，即可求解；（2）仿照材料可知kx+m=1或kx+m=2，進而可求解．【詳解】（1）解：由題意可知：x?1=2，解得：x=3，故答案為：x?1=2，x=3；（2）∵關于x的方程ax2+c=bx+1∴方程akx+m2+c=bkx+m+1當kx+m=1時，x=1?m當kx+m=2時，x=2?m故方程akx+m2+c=bkx+m+1【點睛】本題考查了解一元一次方程及含絕對值的方程，利用換元的思想是解決問題的關鍵．16．（2023上·山東濱州·七年級統考期末）閱讀與理解：已知ax2+bx+c是關于x的多項式，記為Px．我們規定：Px的導出多項式為：2ax+b，記為Qx．例如：若根據以上信息，回答問題：(1)若Px=1(2)設Qx是P①若Px=?4x2+3②已知Px=m?3x2?4x+5是關于x的二次多項式，且關于【答案】(1)x+6(2)①x=3【分析】（1）根據導出多項式的定義求解即可；（2）①根據導出多項式的定義可得Qx=?8x+6，再解方程即可；②根據導出多項式的定義可得2m?3x?4=?x，然后根據【詳解】（1）若Px=1故答案為：x+6．（2）①∵Px∴Qx∵Qx∴?8x+6=0，解得：x=3②∵Px∴Qx∵Qx∴2m?3∴2m?5x=4∵Qx∴2m?5≠0，∴x=4∵m為正整數，∴2m?5的值為?1或4，即m的值為2或3．又因為Px=m?3所以m≠3，m的值是2．【點睛】本題以新定義：導出多項式為載體，主要考查了一元一次方程的求解，正確理解新定義、熟練掌握一元一次方程的解法是關鍵．17．（2023上·江蘇常州·七年級統考期末）如果a+b=10，那么我們稱a與b是關于10的“圓滿數”．(1)7與___________是關于10的“圓滿數”，8?x與___________是關于10的“圓滿數”（用含x的代數式表示）；(2)若a=2x2?4x+3，b=1?2x2(3)若c=kx?1，d=5?2x，且c與d是關于10的“圓滿數”，x與k都是正整數，求k的值．【答案】(1)3，x+2(2)a與b是關于10的“圓滿數”，理由見解析(3)3或4或5或8【分析】（1）根據“圓滿數”的定義列式求解即可；（2）將a和b相加，化簡，看最后的結果是否為10即可；（3）根據c=kx?1，d=5?2x，且c與d是關于10的“圓滿數”，可以得到k和x的關系，然后利用分類討論的方法，可以得到當x為正整數時，非負整數k的值．【詳解】（1）解：∵10?7=3，∴7與3是關于10的“圓滿數”，∵10?8?x∴8?x與x+2是關于3的“圓滿數”，故答案為：3，x+2；（2）a與b是關于10的“圓滿數”，理由如下：∵a=2x2?4x+3∴a+b=2x=2=10，∴a與b是關于10的“圓滿數”；（3）∵c=kx?1，d=5?2x，且c與d是關于10的“圓滿數”，∴c+d=10，∴kx?1+5?2x=10，∴k?2x=6∵x為正整數，∴當x=1時，k?2=6，得k=8，當x=2時，2k?2=6，得當x=3時，3k?2=6，得當x=4時，4k?2=6，得當x=5時，5k?2=6，得當x=6時，6k?2=6，得∴k的值為3或4或5或8．【點睛】本題主要考查了整式的加減計算和解一元一次方程，解題的關鍵在于能夠準確讀懂“圓滿數”的含義．18．（2023上·陜西西安·七年級西安市五環中學校聯考期末）布魯納的發現學習論認為學習是一個積極主動的過程，學習者不是被動接受知識，而是主動的獲取知識．某個班級的數學探究活動課上，主持人給出了下列的探究任務．任務一：自主探究定義：若a+b=n，則稱a與b是關于整數n的“平衡數”；比如3與?4是關于?1的“平衡數”，2與8是關于10的“平衡數”．（1）填空：?6與8是關于______的“平衡數”．任務二：合作交流（2）現有a=6x2?4kx+8與b=?23x2?2x+k（k為常數），且a與b【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）根據“平衡數”的定義即可得到答案；（2）根據a與b的和與x取值無關求出k=1，再根據“平衡數”的定義求n的值即可．【詳解】解：（1）∵?6+8=2，∴根據題意，?6與8是關于2的“平衡數”．故答案為：2（2）∵a+b=6x2?4kx+8?2∴4?4k=0，解得k=1，此時a+b=8?2k=6，即n的值為6．【點睛】此題是新定義運算題，主要考查了整式的加減，解一元一次方程等知識，讀懂題意并正確計算是解題的關鍵．19．（2022上·福建福州·七年級福建省福州第十九中學校考期末）把x=ax+b（其中a、b是常數，x是未知數）這樣的方程解為“和合方程”，其中“和合方程x=ax+b”的解稱為“和合方程”的“和合值”．例如：“和合方程x=2x+1”，其“和合值”為x=?1(1)x=2是“和合方程x=?2x+k”的“和合值”，求k的值：(2)“和合方程”x=kx+1（k為常數）存在“和合值”嗎？若存在，請求出其“和合值”（用含k的式子表示），若不存在，請說明理由：(3)若關于x的“和合方程”5x=x+8mn?4m?52的“和合值”是關于x的方程2x?32mn=12【答案】(1)6(2)存在，1(3)m=1，n=5或m=2，n=2或m=3，n=1【分析】（1）將x=2代入方程x=?2x+k，求出k的值即可；（2）解方程可得(1?k)x=1，再分情況討論：當k≠1時，x=1k?1，當k=1時，（3）分別求出兩個方程的解，由題意得2mn?m?13=mn?2m?7，則有m(n+1)=6，即可求m、n的值．【詳解】（1）解：∵x=2是“和合方程x=?2x+k”的“和合值”，∴2=?2×2+k，解得：k=6；（2）存在，理由如下：∵x=kx+1，∴(1?k)x=1，當k≠1時，x=1當k=1時，x無解；（3）5x=x+8mn?4m?52的解為x=8mn?4m?522x?32mn=∵兩個方程的解相同，∴2mn?m?13=mn?2m?7，∴mn+1∵m、n是正整數，∴m=1，n=5或m=2，n=2或m=3，n=1．【點睛】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法，理解“和合方程”的定義，并能準確求解方程是解題的關鍵．20．（2022上·江西新余·七年級統考期末）如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”，例如：方程2x?1=3和x+1=0為“美好方程”．(1)方程4x?x+5=1與方程(2)若關于x的方程2x?n+3=0與x+5n?1=0是“美好方程”，求n的值．【答案】(1)是，理由見詳解(2)n=?【分析】（1）分別求得兩個方程的解，再利用“美好方程”的定義進行判斷即可；（2）分別求得兩個方程的解，利用“美好方程”的定義列出關于n方程．【詳解】（1）方程4x?x+5=1與方程由4x?x+5=1，解得由?2y?y=3，解得y=?1，∵?1+2=1，∴方程4x?x+5=1與方程（2）由2x?n+3=0，解得x=n?3由x+5n?1=0，解得x=1?5n；∵關于x方程2x?n+3=0與x+5n?1=0是“美好方程”，∴n?3解得n=?1【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“美好方程”的定義解答是解題的關鍵，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義解答也是解題的關鍵．21．（2023上·湖南郴州·七年級統考期末）定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1，我們就稱這兩個方程為“集團方程”，例如：方程4x=8和x+1=0為“集團方程”．(1)若關于x的方程3x+m=0與方程4x?1=x+8是“集團方程”，求m的值；(2)若“集團方程”的兩個解的差為6，其中一個較大的解為n，求n的值；(3)若關于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集團方程”，求關于【答案】(1)m=6(2)n=(3)y=2022【分析】（1）先表示兩個方程的解，再求值．（2）根據條件建立關于n的方程，再求值．（3）先求k，再解方程．【詳解】（1）解：∵3x+m=0，∴x=?m∵4x?1=x+8，∴x=3．∵關于x的方程3x+m=0與方程4x?1=x+8是“集團方程”，∴?m∴m=6；（2）∵“集團方程”的兩個解和為1，∴另一個方程的解是1?n，∵兩個解的差是6，且n為較大的解，∴n?1?n∴n=7（3）∵12022∴x=?2022．∵關于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和∴關于x的一元一次方程12022x+3=2x+k的解為：∵關于y的一元一次方程12022y+1+3=2y+2+k可化為：1∴y=2022．【點睛】本題考查一元一次方程的解，利用“集團方程”的定義找到方程解的關系是求解本題的關鍵．22．（2023上·湖南長沙·七年級校聯考期末）小美喜歡研究數學問題，在學習一元一次方程后，她給出一個定義：若x0是關于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是關于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0=99，則稱關于y的方程為關于x的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程2x?196=0的解是x0=98，方程y=1(1)已知關于y的方程：y=2是一元一次方程3(2)若關于y的方程2y?2=2是關于x的一元一次方程x?3x?2a4=a+(3)若關于y的方程ay?49+a+b=ay+650是關于x【答案】(1)是(2)a=?97(3)11【分析】（1）先化簡絕對值得到y=±2，再解3x?1=2x+98求出（2）先分別解方程求出y=2，x=?a，再根據“小美方程”的定義計算即可；（3）先根據題意得到ax+ay=99a，再由ax+50b=55a得到55a?50b+ay=99a，解得y=44+50ba，將y=44+50ba代入【詳解】（1）由y=2得，y=±2解3x?1=2x+98得：而101+(?2)=99，所以y=2是一元一次方程3故答案為：是；（2）解：∵2y?2=2解得：y=2；對于x?3x?2a4=a+由題意，當y=2時，?a+2=99，解得：a=?97；（3）解：由題意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a?50b，所以55a?50b+ay=99a，則y=44+50b把上式代入ay?49+a+b=a即a50b?5a∴50b?5a=0，∴a=10b，∴a+bb【點睛】本題考查了新定義，一元一次方程的解法，正確理解“小美方程”是解題的關鍵．23．（2023上·湖北恩施·七年級統考期末）對于任意四個有理數x，y，m，n，我們給它一個規定：x,y☆m,n請根據上述規定的運算解決下列問題：(1)計算：2,?2☆(2)計算：?2,?3☆(3)若有理數3x?2,?13☆【答案】(1)15(2)13(3)x=1【分析】（1）根據新定義的運算法則計算即可；（2）根據新定義的運算法則將原式轉化為有理數的四則混合運算，即可求解；（3）根據新定義的運算法則將原式轉化為關于x的一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：2,?2=2×2+3?=4+3+8=15；（2）解：根據題中的新定義得：?2,?3=2×=2×=?4+3=13；（3）解：由3x?2,?1可得23x?2去括號，得6x?4+2+1移項、合并同類項，得193解得x=1．【點睛】本題考查新定義運算，有理數的混合運算，解一元一次方程等，理解新定義的運算法則是解題的關鍵．24．（2023上·廣東廣州·七年級校考期末）對于有理數a，b，n，d，若a?n+b?n=d，則稱a和b關于n的“清灣值”為d(1)?3和5關于1的“清灣值”為______；(2)若a和2關于1的“清灣值”為4，求a的值；(3)若a0和a1關于1的“清灣值”為1，a1和a2關于2的“清灣值”為1，a2和a①a0②a1+a【答案】(1)8(2)a=4或a=?2；(3)①3；②5050+100a0或【分析】（1）根據“清灣值”的定義直接列式計算即可；（2）根據“清灣值”的定義可得a?1+（3）①根據題意列出方程a0?1+a1?1=1，再分為四種情況：當a0≥1，a1≥1時，當a0≥1，a1<1時，當a0<1，a1≥1時，當a0<1【詳解】（1）解：?3和5關于1的“清灣值”為：?3?1+（2）a?n∵a和2關于1的“清灣值”為4，∴a?1+整理得：a?1=3∴a?1=3或a?1=?3，解得：a=4或a=?2；（3）①根據題意得，a0分為四種情況：當a0≥1，a1≥1時，有當a0≥1，a1<1時，有a0當a0<1，a1≥1時，有1?a當a0<1，a1<1時，有由上可知，a0②∵a0∴a0，a分為3種情況，當a0=0，時a1=1，a2此時a1當a0=1時，a1當0<a0<1時，a0?1∴1<a1<2，2<∴1?a0+a1?1=1，即同理可得：a3?a∴a1=1+a0，a2∴a=1+a=5050+100a當1<a0≤2∴2≤a2<3，3≤a3此時a0+a1=3，a2?∴a1=3?a0，a2∴a=3?a=3+4+···+102=105×100=5250?100a綜上所述：a1+a2+【點睛】本題主要考查一元一次方程的綜合運算能力，絕對值的化簡，理解“清灣值”的概念是解決此題目的關鍵．25．（2022上·浙江湖州·七年級統考期末）定義一種對正整數n的“F”運算：F(n)=12n(n是偶數)n+5(n是奇數)．以F(n,k)表示對正整數n進行k次“F”運算．例如，F(2,2)表示對2進行2次“F”運算，由于2是偶數，因此，第一次運算的結果為12(1)求F(3,1)的運算結果；(2)若n為偶數，且F(n,2)的運算結果為8，求n的值；(3)求F(3,2022)的運算結果．【答案】(1)F(2)n的值是6或32(3)F【分析】（1）根據新定義的對正整數n進行k次“F”運算求解即可；（2）根據n是偶數，可得Fn,1=12n（3）找到n=3的“F”運算結果呈現的規律，然后根據該規律求解即可．【詳解】（1）解：依題意可得，F3,1（2）∵n是偶數，∴Fn,1若12n為奇數，則F(n,2)=12n+5若12n為偶數，則Fn,2=1故n的值是6或32；（3）n=3的“F”運算結果呈現的規律為：8，4，2，1，6，3，8，4，2，1，…，∴運算結果以8，4，2，1，6，3為一組循環，∵2022÷6=337，∴F3,2022【點睛】本題主要考查了新定義下的運算、代數式求值、解一元一次方程，數字類規律探索等知識，理解新定義的對正整數n進行k次“F”運算是解題關鍵．26．（2023上·山東濟寧·六年級濟寧市第十五中學校考期末）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程2x?1=3的解為x=2，x+1=0解為x=?1，兩個方程解之和為1，所以這兩個方程為“美好方程”．(1)請判斷方程4x?x+5=1與方程(2)若關于x的方程x2+m=0與方程3x=x+4是“美好方程”，求(3)若關于x方程12023x?1=0與12022x+3=2k是“美好方程”，求關于【答案】(1)是，見解析(2)1(3)y=?【分析】（1）求出這兩個方程的解，再根據“美好方程”的定義進行判斷即可；（2）求出這兩個方程的解，再根據“美好方程”的定義列出關于m的方程求解即可；（3）根據“美好方程”的定義求出k的值，再求解?5y+2【詳解】（1）解：方程4x?x+5=1的解為x=2，方程?2y?y=3的解為∵x+y=2?1=1，∴方程4x?x+5=1與方程（2）解：∵關于x的方程x2+m=0的解為x=?2m，方程3x=x+4的解為又∵關于x的方程x2+m=0與方程∴?2m+2=1，解得：m=1（3）解：∵方程12023x?1=0的解為x=2023，關于x的方程12022又∵關于x方程12023x?1=0與∴2023+20222k?3解得：k=1，∴關于y的方程?5y+2=3y?k可變為解得：y=?9即關于y的方程?5y+2=3y?1的解為【點睛】本題主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定義是正確解答的前提．27．（2022上·江蘇·七年級期末）閱讀與理解：已知關于x的方程kx=5?x有正整數解，求整數k的值．解：kx+x=5，k+1x=5，x=5k+1因為關于x的方程kx=5?x，有正整數解，所以5k+1為正整數，因為k為整數，所以k+1=1或k+1=5，所以探究與應用：應用上邊的解題方法，已知關于x的方程kx=6+x有正整數解，求整數k的值．【答案】7或4或3或2【分析】移項合并可得k?1x=6，由此可判斷出k【詳解】解：kx=6+x，kx?x=6，k?1x=6x=6因為關于x的方程kx=6+x有正整數解，所以6k?1因為k為整數，所以k?1=6或k?1=3或k?1=2或k?1=1，解得k=7或k=4或k=3或k=2．故整數k的值為7或4或3或2．【點睛】本題考查解一元一次方程的知識，注意理解方程的解為整數所表示的含義．28．（2022上·北京海淀·七年級統考期末）已知關于x的方程kx?b=0(k≠0)．(1)當k=2，b=3時，方程的解為_______；(2)若x=?1是方程的解，用等式表示k與b滿足的數量關系：_______；(3)若這個方程的解與關于x的方程2kx?5=0的解相同，則b的值為_______．【答案】(1)3(2)k+b=0(3)5【分析】（1）根據一元一次方程的解法即可求解；（2）把x=?1代入方程即可得出k+b=0；（3）根據兩個方程的解相同，列出方程，再根據k=?b解出即可．【詳解】（1）解：當k=2，b=3時，方程為2x?3=0，解得故答案為32（2）解：∵x=?1∴?k?b=0∴k=?b∴k+b=0故答案為k+b=0；（3）解：∵若這個方程kx?b=0的解與關于x的方程2kx?5=0的解相同∴∵k=?b∴∴b=故答案為b=5【點睛】本題考查了一元一次方程的解法及同解方程的定義，解題關鍵是掌握一元一次方程的解法及同解方程的定義．29．（2019上·北京石景山·七年級校聯考期末）已知關于x的一元一次方程m?5x+m?3=0，其中m(1)當m=2時，求方程的解(2)若該方程有整數解，求m的值【答案】(1)x=?(2)m=3或m=4或m=6或m=7【分析】（1）將m=2代入關于x的一元一次方程m?5x+m?3=0，得到?3x?1=0，解得x=?（2）當m?5≠0時，解關于x的一元一次方程m?5x+m?3=0得到x=?m?3m?5，根據該方程有整數解，x=?m?3m?5=?1+2【詳解】（1）解：∵關于x的一元一次方程m?5x+m?3=0∴當m=2時，2?5x+2?3=0即?3x?1=0，解得x=?1（2）解：∵關于x的一元一次方程m?5x+m?3=0∴當m?5≠0時，x=?m?3∵當m?5取±1、±2時才能使該方程有整數解x=?m?3∴m=3或m=4或m=6或m=7．【點睛】本題考查一元一次方程綜合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定義及解一元一次方程，正確掌握解一元一次方程的方法步驟、掌握由一元一次方程的整數解求參數是解決問題的關鍵．30．（2021上·福建廈門·七年級廈門市第五中學校考期末）定義：關于x的方程ax＋b=0的解為x=a＋b，則稱這樣的方程是“和合方程”．如:x?12=0的解x=12(1)判斷方程?2x+4=0是不是“和合方程”？說明理由；(2)若關于x的方程mx+n?m=0是“和合方程”，求方程2mn+n【答案】(1)方程?2x+4=0是“和合方程”，理由見解析；(2)y=?2【分析】（1）求出方程的解，然后由“和合方程”的定義進行判斷；（2）根據“和合方程”定義求出m?n=mn，然后代入2mn+n【詳解】（1）解：方程?2x+4=0是“和合方程”，理由：解方程?2x+4=0得x=2，∵x=2=?2+4，∴方程?2x+4=0是“和合方程”；（2）解：解方程mx+n?m=0得x=m?n∵關于x的方程mx+n?m=0是“和合方程”，∴x=∴m?n=mn，∴方程2mn+ny?4=2my+1即2my?4=2my+2+3y，解得：y=?2．【點睛】本題考查了解一元一次方程，解題的關鍵是理解“和合方程”的定義．31．（2022上·全國·七年級專題練習）閱讀理解：在解形如3|x?2|=|x?2|+4這一類含有絕對值的方程時，可以根據絕對值的意義分x<2和x?2兩種情況討論：當x<2時，原方程可化為?3(x?2)=?(x?2)+4，解得：x=0，符合x<2．當x?2時，原方程可化為3(x?2)=(x?2)+4，解得：x=4，符合x?2．∴原方程的解為：x=0或x=4．解題回顧：本題中，2為(x?2)的零點，它把數軸上的點所對應的數分成了x<2和x?2兩部分，所以分x<2和x?2兩種情況討論．嘗試應用：(1)仿照上面方法解方程：|x?3|+8=3|x?3|．遷移拓展：(2)運用分類討論先去絕對值符號的方法解方程：|x?3|?3|x+2|=x?9．（提示：本題中有兩個零點，它們把數軸上的點所對應的數分成了幾部分呢？)【答案】(1)x=?(2)x=?18或x=【分析】（1）分兩種情況討論，x<3和x?3；（2）分三種情況討論，x<?2，?2?x<3【詳解】（1）分兩種情況：當x<3時，原方程可化為：3?x+8=3(3?x)，解得：x=?1當x?3時，原方程可化為：x?3+8=3(x?3)，解得：x=7，符合x?3，∴原方程的解為：x=?1（2）分三種情況討論：當x<?2時，原方程可化為：3?x+3(x+2)=x?9，解得：x=?18當?2?x<3時，原方程可化為：3?x?3(x+2)=x?9，解得：x=65，符合當x?3時，原方程可化為：x?3?3(x+2)=x?9，解得：x=0，不符合x?3，∴原方程的解為：x=?18或x=6【點睛】本題考查了解一元一次方程，數軸，絕對值，熟練準確的計算是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數學思想．32．（2020下·河南洛陽·七年級統考期中）我們規定：若關于x的一元一次方程ax=b的解為x=b?a，則該方程為“差解方程”，例如：2x=4的解為x=2，且2=4?2，則方程2x=4是差解方程．(1)判斷方程3x=4.5是否是差解方程；(2)若關于x的一元一次方程5x?m=1是差解方程，求m的值．【答案】(1)是，理由見解析(2)21【分析】（1）解方程，并計算對應b?a的值，然后作出比較即可判斷；（2）解方程，根據差解方程的定義列式，解出即可．【詳解】（1）解：∵3x=4.5，解得：x=1.5，∵4.5?3=1.5，∴方程3x=4.5是差解方程；（2）∵5x?m=1，解得：x=m+1∵關于x的一元一次方程5x?m=1是差解方程，∴m+1?5=m+1解得：m=21∴m的值為214【點睛】本題考查一元一次方程的解與新定義：差解方程．解題的關鍵：①熟練掌握一元一次方程的解法；②明確差解方程的定義，即b?a=方程的解．33．（2022上·四川達州·七年級校考期末）探究題：閱讀下列材料，規定一種運abcd=ad?bc，例如(1)1?33?2(2)若x+8x?132=0，求【答案】(1)7(2)x=19【分析】（1）根據規定的運算我們可知道：1?33?2（2）方法同（1），得出方程后求解即可．【詳解】（1）解：1?3故答案為：7；（2）解：x+8x?122x+16?3x+3=0x=19【點睛】本題考查了實數的新定義問題，解題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，套用給出的規則求出問題即可．34．（2022·浙江金華·七年級義烏市繡湖中學教育集團校考期中）我們知道，若點A、B在數軸上分別表示數x，y，則A、B兩點間距離可表示為x?y．下面給出如下定義：對于實數a，b，n，d，若a?n+b?n=d，則稱a和b關于n的“相對關系值”為d(1)?3和5關于1的“相對關系值”為_________：(2)若a和2關于1的“相對關系值”為4，求a的值．(3)若2和4關于x的“相對關系值”為10，求x的值．【答案】(1)8；(2)a=4或a=?2；(3)x=?2或x=8．【分析】（1）根據a和b關于n的“相對關系值”的定義，呆代入求值即可；（2）由題意得a?1+（3）由題意得2?x+【詳解】（1）解：∵?3?1+∴?3和5關于1的“相對關系值”為：8，故答案為8；（2）解：∵a和2關于1的“相對關系值”為4，∴a?1+2?1=4∴a=4或a=?2；（3）解：∵2和4關于x的“相對關系值”為10，∴2?x+當x<2時，2?x+4?x=10，解得：x=?2；當x>4時，x?2+x?4=10，解得：x=8，∴x=?2或x=8．【點睛】本題主要考查絕對值的意義，絕對值化簡，解一元一次方程，關鍵是掌握絕對值的性質，分類討論．35．（2022上·北京西城·七年級北師大實驗中學校考期中）我們規定一種運算a??bc?d(1)計算?3?(2)若2??2x3(3)若8mx?1?83+2x32?3【答案】(1)?7(2)x=?(3)m=?13【分析】（1）根據題意列出算式?3×5?4×(?2)，計算可得；（2）根據新定義列出關于x的方程，解方程即可得；（3）根據新定義列出關于m，n的方程，解之可得．【詳解】（1）解：根據題意?3?故答案為：?7（2）解：根據題意2?轉化為2×(?5x)?3×(?2x)=2，解方程，得x=?1（3）解：8mx?1?5?1根據題意?24mx?3x+7=5x?n恒成立，即(?24m?3)x+7=5x?n，?24m?3=5，?n=7，解得，m=?13，【點睛】本題主要考查解一元一次方程、有理數的混合運算，解題的關鍵是根據新定義列出關于x的方程和關于m，n的方程．36．（2022上·福建福州·七年級統考期末）若關于x的一元一次方程：kx?13?a=x?26?(1)當a=m=2(2)當a=2時，且m是整數，求正整數k(3)是否存在m的值會使關于y的方程m(k?3)【答案】(1)5(2)k=1(3)m【分析】（1）將a=m=2代入一元一次方程：kx（2）把a=2代入kx?13?2=x?26?32得：2k?1x=3，把（3）整理方程得：mk?2m?3ay=2，根據方程無解，得出mk?2m?3a=0，把x=m【詳解】（1）解：∵關于x的一元一次方程：kx?13?∴將a=m=22k?13故答案為：54（2）解：當a=2時，代入方程得kx整理得：2k把x=m代入2k?1x∵m是整數