專題27函數與圓問題

考向1二次函數與圓問題

福題呈現

【母題來源】2021年中考貴州省黔西南卷

【母題題文】如圖，直線1：y=2x+l與拋物線C：y=2x?+bx+c相交于點A(0,m),B(n,

7).

(1)填空：m=1,n=3,拋物線的解析式為y=2x?-4x+l.

(2)將直線1向下移a(a>0)個單位長度后，直線1與拋物線C仍有公共點，求a的取

值范圍.

(3)Q是拋物線上的一個動點，是否存在以AQ為直徑的圓與x軸相切于點P?若存在，請

求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)將A(0,m),B(n,7)代入y=2x+l,

可得m=l,n=3,

AA(0,1),B(3,7),

再將A(0,1),B(3,7)代入y=2x2+bx+c得,

C3b+c=7,可明二L

9

?\y=2x-4x+l,

故答案為：1,3,y=2x2-4x+l；

(2)由題意可得y=2x+l-a,

y=2x+1—a

聯立

y=2x2-4x+1'

.*.2x2-6x+a=0,

??,直線1與拋物線C仍有公共點

.??A=36-8a^0,

99

??0Va4］；

(3)存在以AQ為直徑的圓與x軸相切，理由如下:

設Q(t,s),

ts+lt,,s+1

.*.M(-,---),P(-,0),:?半徑r=^—,

2222

VAQ*2=t2+(s-1)2=(s+1)2,t2=4s,

Vs=2t2-4t+l,

At2=4(2t2-4t+l),.\t=2或t=^,

1

???P(1,0)或P(-,0),

7

1

???以AQ為直徑的圓與x軸相切時，P點坐標為P(1,0)或P0).

【試題解析】(1)將A(0,m),B(n,7)代入y=2x+l,可求m、n的值，再將A(0,1),

B(3,7)代入y=2x?+bx+c,可求函數解析式；

(2)由題意可得y=2x+l-a,聯立=華］)一：/得到2x?-6x+a=0,再由判別式A

20即可求a是取值范圍；’

tS+1tC_|-1

(3)設Q(t,s),則M---),P0),半徑r=,再由AQ~9=t~9+(s-1)~9=(s+1)

2222

2,即可求t的值.

【命題意圖】二次函數圖象及其性質；運算能力；應用意識.

【命題方向】二次函數綜合題，一般為壓軸題.

【得分要點】直線與圓位置關系的解題策略：

(1)利用圓的切線性質“圓心到直線的距離等于半徑”解決問題；

(2)聯立直線方程和圓的方程構成方程組，通過該方程組的解來解決問題;

(3)利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解決問題；

(4)構造相似三角形，列比例式解決問題.

1.(2021?湖北荊州模擬)我們把方程(x-m)2+(y-n)稱為圓心為(m,n)、半徑長

為r的圓的標準方程.例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標準方程是(x-1)2+

(y+2)2=9.如圖，在平面直角坐標系中，。(；與*軸交于人，B兩點，且點B的坐標為(8,

0),與y軸相切于點D(0,4),過點A,B,D的拋物線的頂點為E.

(1)求。C的標準方程；

(2)試判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由；

(3)連接CE,求sin/AEC的值.

解：(1)如圖1,連接CD、CB,過點C作CF_LAB于點F,

設。C的半徑為r,

:。C與y軸相切于點D(0,4),

；.CD_Ly軸，CD=CB=r,

?：NCD0=/CF0=ND0F=90°,

四邊形CD0F是矩形，

；.OF=CD=r,CF=0D=4,

.\BF=0B-OF=8-r,VZBFC=90°,

.*.BF2+CF2=BC2,；即(8-r)2+42=r2,

解得：r=5,：.C(5,4),

(x-5)°+(y-4)2=52,

.?.(DC的標準方程為(x-5)2+(y-4).25；

(2)直線AE與。C相切，理由如下：

由(1)知:C(5,4),CF±AB,

；.AF=BF,F(5,0),

VB(8,0),；.A(2,0),

設經過點A、B、D的拋物線解析式為y=a(x-2)(x-8),

a-a1

4，

1z19

--X2lX8--X5-

4\44

9

E5--

4

9

A254\E5-z

oZJ-dx-

???AC=5,CE=4-(一9?=等2s，

AE=J(5—2)2+(_；_0)2=苧,

,/AE2+AC2=(—)2+5?=婆，CE2至）邛,

416416

.?.AE2+AC2=CE2,

AZCAE=90°,即CA_LAE,

：CA為。C的半徑，

；.AE與。C相切于點A；

25

(3)如圖2,由(2)知：ZCAE=90°,AC=5,CE=

甲

AC_5_4

.?.sinZAEC=CE=25=5-

4

圖1圖2

?5

2.（2021?山東青島二模）如圖，已知拋物線yi=ax+c過點（-4,5）,（1,一），直線y?=

4

kx+2與y軸交于C點，與拋物線交于A,B兩點，點B在點A的右側.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限拋物線上一個動點，以點P為圓心，PC為半徑畫圓，求證：x軸是。P

的切線；

（3）我們規定：當x取任意一個值時，x對應的函數值分別為yi和yz,若yi#yz，取巧和

丫2中較大者為M；若巧=丫2,記11=月=丫2.

②k=2時，求使M>y2的x的取值范圍；

②當k=-1時，求使M=5的x的值.

\f},/

解：（1）???拋物線+c過點（-4,5）,（1,

1

（16a+c=5（-

A,5,解得：卜=4

1

5+c=4（c=

2+

拋物線的解析式為：

（2）過點P作PELx中于點E,PD，y軸于點D,如圖,

???直線y2=kx+2與y軸交于C點,

令x=0,則y=2,

???C(0,2).??.0C=2?

???點P為第一象限拋物線上一個動點，

12

AP(t,-t+1),

4

1

.\PE=0D=4t2+1,PD=t,

1o

/.CD=OD-0C=it2-1.

4

/.PC=y/PD2+CD2=Jt2+(1t2-I)2=J(1t2+l)2=1t2+1.

/.PE=PC.：PE_Lx軸，

；.x軸是。P的切線.

(y=2%+2

(3)①當k=2時，直線yz=2x+2..*.]12.

(y=4%+1

解得：B=4+2色，卜2=4—2色.

(乃=10+4V5{y2=10-4V5

.?.y=#+1與y=2x+2的交點為(4+2圾10+4府和(4-2V5,10-4V5).

由圖象可知：當x<4-或x>4+2遍時，yi>y2.

VM>y2.*.yi>y2.

，使M>y2的x的取值范圍為x<4-2岔或x>4+275；

②當k=-l時，y=-x+2.；.卜=4，+1.

ly=—x+2

解得：卜】=-2+y,卜2=-2-安

=4-2V21%=4+2V2

結合圖象可知：當-2+2/WxW-2-2/時，M=-x+2；

-1

當x>-2+2夜或x<-2-2/時，M=4%2+1.

VM=5,???-x+2=5,

12

?\x=-3?.*.-%+1=5,

4

.,.x=±4（-4不合題意，舍去）.

綜上，使M=5的x的值為-3或4.

3.（2021?浙江省湖州長興縣模擬）在平面直角坐標系中，0c與x軸交于點A,B,且點B

的坐標為（8,0）,與y軸相切于點D（0,4）,過點A,B,D的拋物線的頂點為E.

（1）求圓心C的坐標與拋物線的解析式；

（2）判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由；

（3）若點M,N是直線y軸上的兩個動點（點M在點N的上方），且MN=1,請直接寫出的

四邊形EAMN周長的最小值.

備用圖

解：（1）如圖，連接CD,CB,過點C作CMJ_AB于M.

圖1

設。C的半徑為r.

???與y軸相切于點D(0,4),

.'.CD±0D,

VZCD0=ZCM0=ZD0M=90°,

四邊形ODCM是矩形，

???CM=0D=4,CD=0M=r,

VB(8,0),

0B=8,

BM=8-r,

在RtACMB中，,/BC2=CM2+BM2,

/.r2=42+(8-r)2,

解得r=5,

圓心C(5,4),

拋物線的對稱軸為x=5,

又：點B(8,0),

.,.點A(2,0),

則拋物線的表達式為y=a(x-2)(x-8),

將點D的坐標代入上式得：4=aX(0-2)X(0-8),解得a=",

故拋物線的表達式為y=](x-2)(x-8)=^x2-fx+4.

(2)結論：A