第18講證明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）【典型例題】例1．設且，函數．（1）若在區間有唯一極值點，證明：，；（2）若在區間沒有零點，求的取值范圍．例2．已知函數．（1）若函數存在極小值點，求的取值范圍；（2）證明：．例3．若定義在上的函數滿足，，．（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．例4．定義在上的函數滿足，．（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）求函數的單調區間；（Ⅲ）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由．例5．若定義在上的函數滿足，．（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）試比較和的大小，并說明理由．【同步練習】1．已知函數，其中，為自然對數的底數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，求證：對任意的，，．2．已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）若，對，恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時．若正實數，滿足，，，，證明：．3．已知函數，．（1）證明：當時，；（2）若，求．4．青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點，處的曲率．已知函數，，若，則曲線在點，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數存在零點，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．5．已知函數，，其中，．（Ⅰ）證明：是函數的唯一零點；（Ⅱ）當且時，試比較和的大小，并說明理由．6．已知函數滿足，，．（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調區間；（3）當且時，求證：．7．若定義在上的函數滿足，（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）當且時，試比較和的大小，并說明理由．8．已知函數，給出如下定義：若，，，，均為定義在同一個數集下的函數，且，，其中，3，4，，則稱，，，，為一個嵌套函數列，記為，若存在非零實數，使得嵌套函數列滿足，則稱為類等比函數列．（Ⅰ）已知是定義在上的嵌套函數列，若．①求（2），（2），（2）．②證是類等比函數列．（Ⅱ）已知是定義在上嵌套函數列．若，求證．

第18講證明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）【典型例題】例1．設且，函數．（1）若在區間有唯一極值點，證明：，；（2）若在區間沒有零點，求的取值范圍．【解析】解：（1）證明：，若，則在區間至少有，兩個變號零點，故，令，得，，其中，，僅當時，，且在的左右兩側，導函數的值由正變負，故時，在區間有唯一極值點，此時，將代入得：，①當，即時，，由不等式：時，知：，②當，即當時，，，由不等式知：，由①②知，．（2）①當時，，，故，由零點存在性定理知：在區間，上至少有1個零點，②當時，，，，，，，由零點存在性定理知，在區間至少有1個零點，③當時，，令，則，在區間上，，，遞增，在區間上，，即遞減，即遞減，，故在上遞增，在，上遞減，又，，即在上，，故在區間上沒有零點，滿足題意，綜上，若在區間上沒有零點，則正數的取值范圍是，．例2．已知函數．（1）若函數存在極小值點，求的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）函數的定義域為，，①當時，得，當時，，當，時，，是函數的極小值點，滿足題意②當時，令，，令，解得，當時，當時，，若，即時，恒成立，在上單調遞增，無極值點，不滿足題意．若，即時，，又在上單調遞增，在上恰有一個零點，當時，，當，時，，是的極小值點，滿足題意，綜上，．（2）當時，，若成立，則必成立，①若，，則，，成立，成立②若，令，，令’，，，，在上單調遞增（1），即，在上單調遞增，（1），時，成立，時，成立．例3．若定義在上的函數滿足，，．（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當且時，試比較和哪個更接近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①時，，函數在上單調遞增；②當時，由得，時，，單調遞減；時，，單調遞增．綜上，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（Ⅲ）解：設，，，在，上為減函數，又（e），當時，；當時，．，，在，上為增函數，又（1），，時，，在，上為增函數，（1）．①當時，，設，則，在，上為減函數，（1），當，，，比更接近．②當時，，設，則，，在時為減函數，（e），在時為減函數，（e），，比更接近．綜上：在且時時，比更接近．例4．定義在上的函數滿足，．（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）求函數的單調區間；（Ⅲ）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）（1），所以（1）（1），即．又，所以（1），所以．（Ⅱ），，．①當時，，函數在上單調遞增；②當時，由得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．綜上，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（Ⅲ）解：設，，在，上為減函數，又（e），當時，，當時，．，，在，上為增函數，又（1），，時，，在，上為增函數，（1）．①當時，，設，則，在，上為減函數，（1），，，，比更靠近．②當時，，設，則，，在時為減函數，，在時為減函數，（e），，比更靠近．綜上：在，時，比更靠近．例5．若定義在上的函數滿足，．（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）試比較和的大小，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據題意，得（1），所以（1）（1），即．又，所以．（Ⅱ），．，①時，，函數在上單調遞增；②當時，由得，時，，單調遞減；時，，單調遞增．綜上，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（Ⅲ）大小關系：；理由如下：設，則，在，上為減函數，又（e），當時，；當時，．令，分兩種情況討論：①當時，，則，在，上為減函數，（1），；②當時，，設，則，，在時為減函數，，在時為減函數，（e），．【同步練習】1．已知函數，其中，為自然對數的底數．（1）當時，討論函數的單調性；（2）當時，求證：對任意的，，．【解析】解：（1）當時，，則，，故則在上單調遞減．（2）當時，，要證明對任意的，，．則只需要證明對任意的，，．設（a），看作以為變量的一次函數，要使，則，即，恒成立，①恒成立，對于②，令，則，設時，，即．，，在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，則當時，函數取得最大值，故④式成立，綜上對任意的，，．2．已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）若，對，恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時．若正實數，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時，恒成立，故函數在遞增，無遞減區間，②時，或，故函數在，，遞增，在，遞減，綜上，時，函數在遞增，無遞減區間，時，函數在，，遞增，在，遞減，（2），對，恒成立，即，時，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時，，，遞增，當，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當時，，，不妨設，下先證：存在，，使得，構造函數，顯然，且，則由導數的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數，，即，設，則，，①，②，由①②得，，即．3．已知函數，．（1）證明：當時，；（2）若，求．【解析】解：（1）證明：，，，考慮到，，所以①當，時，，此時，②當，時，，所以單調遞增，所以，所以函數單調遞減，，③當，時，，所以單調遞增，所以，所以函數單調遞增，，當，時，，綜上所述，當時，．（2）構造函數，考慮到，，，，由（1）可知：在時恒成立，所以在，上單調遞增，①若，則在，為負，為正，在，單調遞減，遞增，所以，而當時，，故滿足題意．②若，，因為，所以，由零點存在定理，必存在，，使得，此時滿足時，，單調遞減，所以，矛盾，舍去；③若，，因為當時，，所以當時，，此時必存在，使得，此時滿足，時，，單調遞增，所以，矛盾，舍去，而當時，當，所以在，時，成立，單調遞增，，矛盾，舍去．綜上所述，．4．青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點，處的曲率．已知函數，，若，則曲線在點，（1）處的曲率為．（1）求；（2）若函數存在零點，求的取值范圍；（3）已知，，，證明：．【解析】（1）解：，若，則，，，因為曲線在點，（1）處的曲率為，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函數存在零點，則方程在上有解，即在上有解，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以（1），當且僅當時取等號，從而，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時等號成立，當時，，所以，解得，即實數的取值范圍是，．（3）證明：由（2）得，則，則，又，則，所以．5．已知函數，，其中，．（Ⅰ）證明：是函數的唯一零點；（Ⅱ）當且時，試比較和的大小，并說明理由．【解析】解：（Ⅰ）在恒成立，在上是減函數，又（e），當時，；當時，，是的唯一零點．（4分）（Ⅱ）當時，（6分）設，則，在，上為減函數，（1），，，（8分）當時，（9分）設，則，，在上為減函數，，在上為減函數，（e），綜上，當，時，（12分）6．已知函數滿足，，．（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調區間；（3）當且時，求證：．【解析】解：（1）根據題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（2），，①時，，函數在上單調遞增；②當時，由得，時，，單調遞減；時，，單調遞增．綜上，當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（3）設，，，由得在，遞減，故當時，（e），當時，，而，，故在，遞增，（1），則在，遞增，（1），①時，，則，在，遞減，（1），，②時，，，，故（e），遞減，（e），，綜上，．7．若定義在上的函數滿足，（Ⅰ）求函數解析式；（Ⅱ）求函數單調區間；（Ⅲ）當且時，試比較和的大小，并說明理由．【解析】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）（1），所以（1）（1），即（1分）又，所以（1），（2分）所以（3分）（Ⅱ），（4分）（5分），，函數在上單調遞增；．（6分）令，得函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，．．（7分）（Ⅲ）解：設，，在，上為減函數，又（e），當時，，當時，（8分）當時，設，則，在，上為減函數，（1），，，（9分）時，設，則，在時為減函數，，在時為減函數，（e），（11分）綜上：（12分）8．已知函數，給出如下定義：若，，，，均為定義在同一個數集下的函數，且，，其中，3，4，，則稱，，，，為一個嵌套函數列，記為，若存在非零實數，使得嵌套函數列滿足，則稱為類