21.3二次函數與一元二次方程第二十一章二次函數與反比例函數逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2二次函數與一元二次方程之間的關系二次函數的圖象與一元二次方程的近似解的關系二次函數與一元二次不等式之間的關系知識點二次函數與一元二次方程之間的關系知1－講11.二次函數圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程根的關系一般地，從二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象可知：如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有交點，交點的橫坐標是x0，那么當x＝x0時，函數值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根.知1－講2.

二次函數與一元二次方程的聯系與區別一元二次方程ax2＋bx＋c＝0與二次函數y＝ax2＋bx＋c之間的內在聯系與區別，列表如下：b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況沒有實根知1－講二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象a>0a<0拋物線與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)沒有交點知1－講拓寬視野已知二次函數y＝ax2＋bx＋c，求當y＝m時自變量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c的函數值y＝m，求自變量x的值.一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的解是拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝m的公共點的橫坐標....知1－練已知拋物線y=x2+2x+m．(1)若m=－3，求該拋物線與x

軸交點的坐標；(2)判斷該拋物線與x

軸交點的個數，并說明理由.解題秘方：本題考查了拋物線與x

軸的交點，掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．例1知1－練(1)若m=－3，求該拋物線與x

軸交點的坐標；解：當m=－3時，拋物線為y=x2+2x－3.令y=0，則x2+2x－3=0，解得x1=－3，x2=1，∴該拋物線與x

軸交點的坐標為(

－3，0)和(1，0)

.知1－練(2)判斷該拋物線與x

軸交點的個數，并說明理由.解：令y=0，則x2+2x+m=0，Δ=22－4m=4－4m.當Δ>0時，即4－4m>0，解得m<1；當Δ=0時，即4－4m=0，解得m=1；當Δ<0時，即4－4m<0，解得m>1.綜上所述，當m<1時，拋物線與x

軸有兩個交點；當m=1時，拋物線與x

軸有一個交點；當m>1時，拋物線與x

軸沒有交點.知1－練感悟新知1-1.拋物線y=x2+2x+m－1與x

軸有兩個不同的交點，則m

的取值范圍是(

)A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<－2A知1－練感悟新知1-2.

[中考·成都]在平面直角坐標系xOy

中，若拋物線y=x2+2x+k

與x

軸只有一個交點，則k=_______．1感悟新知知2－講知識點二次函數的圖象與一元二次方程的近似解的關系2二次函數y=ax2+bx+c

的圖象與x

軸的公共點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，因此可以借助二次函數的圖象求一元二次方程的解.感悟新知知2－講1.利用二次函數y=ax2+bx+c

的圖象與x

軸的公共點求一元二次方程ax2+bx+c=0的解(1)作出二次函數y=ax2+bx+c

的圖象，確定圖象與x軸公共點的個數，也就是方程ax2+bx+c=0的解的個數；..........感悟新知知2－講(2)觀察圖象，函數圖象與x

軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，當函數圖象與x

軸有兩個交點，且交點的橫坐標不是整數時，可通過不斷縮小解所在的范圍估計一元二次方程的解；(3)交點橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的解......

知2－講感悟新知

感悟新知知2－講2.利用二次函數y=ax2

的圖象與直線y=－bx

－c

的公共點求方程ax2+bx+c=0的解(1)將方程ax2+bx+c=0化為ax2=－bx

－c的形式；(2)在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax2

和直線y=－bx

－c，并確定拋物線與直線的公共點的坐標；(3)公共點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的解.知2－練[母題教材P34習題T4]利用二次函數的圖象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(結果精確到0.1).解題秘方：畫出二次函數y＝－x2＋2x＋5的圖象，利用二次函數的圖象與x

軸的公共點計算一元二次方程的近似解.例2

知2－練解：整理方程，得－x2＋2x＋5＝0.作函數y＝－x2＋2x＋5的圖象如圖21.3-1所示.知2－練由圖象可知，拋物線與x軸交點的橫坐標分別在－2和－1，3和4之間，即方程－x2+2x－3＝－8的兩個實數解分別在－2和－1，3和4之間，用取平均數的方法不斷縮小解的取值范圍，從而確定方程的近似解.由圖象可知，當x＝3時，y>0；當x＝4時，y<0.取3和4的平均數3.5，當x＝3.5時，y＝－0.25，與x＝3時的函數值異號，所以方程的這個解在3和3.5之間.知2－練取3和3.5的平均數3.25，當x＝3.25時，y＝0.9375，與x＝3.5時的函數值異號，所以方程的這個解在3.25和3.5之間.取3.25和3.5的平均數3.375，當x＝3.375時，y＝0.359375，與x＝3.5時的函數值異號，所以方程的這個解在3.375和3.5之間.知2－練由此方法可得到原方程的一個近似解為3.4.用同樣的方法可得到原方程的另一個近似解為－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的近似解為x1≈－1.4，x2≈3.4.知2－練感悟新知2-1.

[月考·合肥廬陽區]已知二次函數y=x2+2x

－k，小明利用計算器列出了下表：那么方程x2+2x

－k=0的一個近似根是_____________.x＝－4.3x

x2

+2x－k－4.1－1.39－4.2－0.76－4.3－0.11－4.40.56

知3－講知識點二次函數與一元二次不等式之間的關系3求不等式ax2＋bx＋c>0(a

≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值y>0；求不等式ax2＋bx＋c<0(a

≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值y<0.列表如下：(以a>0為例)知3－講b2－4ac

的符號b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點個數知3－講ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根沒有實數根知3－講一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c

＞0(a>0)x<x1

或x>x2全體實數ax2＋bx＋c<0(a>0)x1<x<x2無解無解知3－講深度理解二次函數與一元二次不等式的關系：二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分對應的自變量取值范圍就是ax2＋bx＋c>0的解集，在x軸下方的部分對應的自變量取值范圍就是ax2＋bx＋c<0的解集.當拋物線開口向上且與x軸無交點時，ax2＋bx＋c>0的解集是全體實數，ax2＋bx＋c<0無解；當拋物線開口向下且與x軸無交點時，ax2＋bx＋c>0無解，ax2＋bx＋c<0的解集是全體實數.知3－練[母題教材P35習題T9]二次函數y=ax2+bx+c

的圖象如圖21.3-2所示，則關于x

的不等式ax2+bx+c>0的解集是()A.x<－1B.x>3C.－1<x<3D.x<－1或x>3例3知3－練解題秘方：根據二次函數y=ax2+bx+c

的圖象與x軸的交點坐標求解即可．解：∵二次函數y=ax2+bx+c

的圖象與x

軸交于點(－1，0)，(3，0)，且圖象開口向上，∴關于x

的不等式ax2+bx+c>0的解集是x<－1或x>3．答案：D知3－練感悟新知3-1.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=mx+n

與坐標軸交于A，B

兩點，點A

在x軸上，點B

在y

軸上，OA=OB=2OC，拋物線y=ax2+bx+2經過點A，B，C.(