專題06手拉手模型基本模型：例題精講例1．（等腰三角形）【閱讀材科】小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發現．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．【延伸應用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．例2.（等邊三角形）如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．例3.（正方形）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當點在上時，線段與之間的數量關系是__；直線與直線之間的位置關系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉一定角度得到的，請探索線段與之間的數量關系和直線與直線之間的位置關系，并說明理由．課后訓練1.如圖，在中，分別以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，交于點，則的度數為（）A． B． C． D．2.如圖，為線段上一動點(不與點重合)，在同側分別作等邊三角形和等邊三角形與交于點，與交于點，與交于點，連結．以下結論：①；②；③；④是等邊三角形，恒成立的是______．3.如圖1，在線段BE上取一點C，分別以CB，CE為腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，連接BD和AE．（1）請判斷線段BD和線段AE的數量關系，并說明理由；（2）如圖2，若B，C，E三點不共線，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．4.已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數．4.已如：如圖1，B，C，D三點在一條直線上，△ABC和△ECD均為等邊三角形，連接BE，AD交于點F，BE交AC于點M，AD交CE于點N．（1）以下結論正確的有；①AD=BE②∠EFD=60°③MC=NC④∠AMB=∠END（2）探究：將圖1中的△ECD繞點C順時針旋轉一個角度（旋轉角小于60°），如圖2所示．①問：（1）中的正確結論哪些還成立？若成立，請說明理由；②連接FC，如圖3所示，求證：FC平分∠BFD5.已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數．6．已知△ABC與ΔADE均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在直線BC上．(1)如圖1，當點D在CB延長線上時，求證：BE⊥CD；(2)如圖2，當D點不在直線BC上時，BE、CD相交于M，①直接寫出∠CME的度數；②求證：MA平分∠CME7．正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6和2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉．(1)當旋轉至圖1位置時，連接BE，DG，線段BE和DG是否相等且垂直？請說明理由；(2)在圖1中，連接BD，BF，DF，請直接寫出在旋轉過程中的面積最大值；(3)在旋轉過程中，當點G，E，D在同一直線上時，請求出線段BE的長．專題06手拉手模型基本模型：例題精講例1．（等腰三角形）【閱讀材科】小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發現．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．【延伸應用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．例2.（等邊三角形）如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，與都是等邊三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD，（2）成立；理由如下：如圖2中，、均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，．例3.（正方形）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當點在上時，線段與之間的數量關系是__；直線與直線之間的位置關系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉一定角度得到的，請探索線段與之間的數量關系和直線與直線之間的位置關系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【詳解】解：，延長交于點G，∵四邊形為矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90o，由旋轉的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），，∵∠DCE=90o，∴∠DEC+∠CDE=90o，∴∠FDG+∠GFD=90o∠FGD=90o，，理由如下：如答圖，延長交于點交于點，，四邊形為矩形，，，，，矩形為正方形．，在和中，．．．．課后訓練1.如圖，在中，分別以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，交于點，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖：AC與BD交于點H，∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，

∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，

在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE＝∠CDB，

∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，

∴∠AOB＝180°?∠AOH＝120°．故選：B.2.如圖，為線段上一動點(不與點重合)，在同側分別作等邊三角形和等邊三角形與交于點，與交于點，與交于點，連結．以下結論：①；②；③；④是等邊三角形，恒成立的是______．【答案】①②③④【解析】解：①∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵在△ACD與△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①正確；④②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=60°，∴∠PQC=60°=∠DCE∴PQ∥AE故②④正確；③∵△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=∠ACB=60°，故③正確.故答案為：①②③④.3.如圖1，在線段BE上取一點C，分別以CB，CE為腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，連接BD和AE．（1）請判斷線段BD和線段AE的數量關系，并說明理由；（2）如圖2，若B，C，E三點不共線，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1）BD＝AE，理由見解析；（2）成立，理由見解析【詳解】解：（1）∵△BCA和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．在△BCD和△ACE中∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．（2）成立．∵△BCA和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCD＝∠ACE＝90°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE．∴BD＝AE．4.已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【詳解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，（3）∠CBA=，如圖所示，連接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即,由(2)可得：,=,∠CAE=∠DAB==-=.4.已如：如圖1，B，C，D三點在一條直線上，△ABC和△ECD均為等邊三角形，連接BE，AD交于點F，BE交AC于點M，AD交CE于點N．（1）以下結論正確的有；①AD=BE②∠EFD=60°③MC=NC④∠AMB=∠END（2）探究：將圖1中的△ECD繞點C順時針旋轉一個角度（旋轉角小于60°），如圖2所示．①問：（1）中的正確結論哪些還成立？若成立，請說明理由；②連接FC，如圖3所示，求證：FC平分∠BFD【答案】（1）①②③；（2）①①②；②見解析．【解析】解：（1）∵△ABC，△ECD是等邊三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACD=∠BCE=∠120°，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故①正確；∴∠FEN=∠NDC又∵∠ENF=∠CND，∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正確；又∵∠ACE=∠NCD=60°，∠MEC=∠NDC，EC=CD∴△EMC≌△DNC，∴MC=NC，故③正確；又∵∠AMB=∠ACB+∠ECB=60°+∠ECB，∠END=∠ECD+∠NDC=60°+∠NDC而，∴，∴，∴，故④錯誤；故答案為：①②③；（2）∵∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCE=∠ACD又AC=BC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE,故①正確；，∴∠ADC=∠BEC又∠ENF=∠CND，∴∠EFD=∠ECD=60°，故②正確∵∠ACE≠60°=∠ECD，∴△EMC不全等于△DNC，∴MC≠NC，故③錯誤（3）于點G，H，如圖，由(2)②知，∠CBG=∠CAH，AC=BC∠BGC=∠AHC=90°∴△BGC≌△AHC∴CG=CH又CF=CF，∠CGF=∠CHF=90°∴△CGF≌△CHF∴∠CFG=∠CFH∴FC平分∠BFD5.已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACE=62°；（3）∠CBA=6°．【詳解】解：（1）∵∠CAE=∠DAB，∴∠CAE+∠CAD=∠DAB+∠CAD，即∠CAB=∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠CBA=∠EDA,AC=AE，在△MND和△ANB中，∵∠EDA+∠MND+∠DMB=，∠CBA+∠ANB+∠DAB=，又∵∠MND=∠ANB，∴∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE=∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=，∴∠ACE=，（3）∠CBA=，如圖所示，連接AM，,CN=EM,CA=EA,(SAS),AM=AN,,=即,由(2)可得：,=,∠CAE=∠DAB==-=.6．已知△ABC與ΔADE均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在直線BC上．(1)如圖1，當點D在CB延長線上時，求證：BE⊥CD；(2)如圖2，當D點不在直線BC上時，BE、CD相交于M，①直接寫出∠CME的度數；②求證：MA平分∠CME【答案】(1)見解析(2)①90°；②見解析【解析】(1)解：∵△ABC與ΔADE均為等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB=AC，AE=AD，∠DAE+∠DAB=∠CAB+∠DAB，∴∠CAD=∠BAE，∠C=∠ABC=45°，∴△CAD≌△BAE（SAS）