專題24.4圓周角定理【十大題型】

【人教版】

【題型1圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角的一半的運用】...................................2

【題型2同弧或等弧所對的圓周角相等的運用】..................................................3

【題型3直徑所對的圓周角是90。的運用】......................................................4

【題型4翻折中的圓周角的運用】..............................................................5

【題型5利用圓周角求最值】...................................................................6

【題型6圓周角中的證明】....................................................................7

【題型7圓周角中的多結論問題】..............................................................9

【題型8構造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】.......................................10

【題型9圓周角與量角器的綜合運用】..........................................................11

【題型10利用圓周角求取值范圍】.............................................................12

【知識點1圓周角定理及其推論】

/4。3是@所對的圓心角，

定理：圓周角的度數等于它所NC是痛所對的圓周角，

對的弧的圓心角度數

)ZC=-ZAOB

的一半2

NC和都是G所對的圓周

圓角

周

角推論1:同弧或等弧所對的圓ZC=ZD

定周角相等

理

A3是O。的直徑

CNC是翕湖對的圓周角

B?A

推論2：直徑所對的圓周角是ZC=90°

直角，90。的圓周角NC是卷所對的圓周角

所對的弦是直徑ZC=90°

A5是的直徑

【題型1圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角的一半的運用】

【例1】（2022?鼓樓區校級模擬）如圖，是。。的直徑，。。上的兩點A,5分別在直徑的兩側,

且NA8C=78°,則NAOO的度數為（）

A.12°B.22°C.24°D.44°

【變式1-1］（2022?溫州）如圖，AB,AC是。。的兩條弦，0Q_LA3于點。，OE_LAC于點E,連結OB,

OC.若NDOE=130°,則N50C的度數為（）

A.95B.100°D.130°

【變式1-2］（2022?藍山縣一模）如圖，點A,B,。在。。上，Zl=40°,ZC=25°,則N5=（）

A.100°B.70°D.65

【變式1-3］（2022春?漢陽區校級月考）如圖，AB,為。。的兩條弦，若NA+NC=120°,AB=2,

CD=4,則。。的半徑為（）

Bj

C

D

A.2V5B.2V7C告D.第

【題型2同弧或等弧所對的圓周角相等的運用】

【例2】（2022?保亭縣二模）如圖，42為。。的直徑，點C、。在圓上，CELA3于點E,若/。=48°,

則Nl=()

A.42°B.45°C.48°D.52°

【變式2-1］（2022?南充）如圖，AB為。。的直徑，弦CD_L48于點E,。尸_LBC于點孔ZBOF=65°,

【變式2-2］（2022?十堰二模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=54°,以BC為直徑的。。交

A8于點。.￡是。。上一點，且朝=麗，連接OE過點E作EPLOE,交AC的延長線于點R則/

尸的度數為（）

A.92°B.108°C.112°D.124°

【變式2-3］（2022?本溪模擬）如圖，在。。中，AB=BC,直徑CDLA8于點N,尸是衣上一點，則/

【題型3直徑所對的圓周角是90°的運用】

【例3】（2022?中山市三模）如圖，A8是。。的直徑，若AC=2,ZZ）=60°,則BC長等于（）

A.4B.5C.V3D.2V3

【變式3-1］（2022?濰坊二模）如圖，已知以△ABC的邊AB為直徑的。O經過點C,ODJ_AC交。。于點

D,連接30.若/BAC=36°,則NODB的度數為（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【變式3-2］（2022?江夏區校級開學）如圖，。。的直徑A2為8,。為公上的一點，DELAC于點E,若

CE=3AE,ZBAC=30°,則。E的長是（）

【變式3-3］（2022秋?如皋市校級期中）在。。中，A2為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交

A8于點。，連接CD

（1）如圖1,若點。與圓心。重合，AC=2,求。。的半徑廠；

（2）如圖2,若點。與圓心。不重合，ZBAC=25°,求NOC4的度數.

【題型4翻折中的圓周角的運用】

【例4】（2022春?福田區校級月考）如圖，是。。的直徑，BC是。。的弦，先將比沿2c翻折交

【變式4-1]（2022秋?蕭山區期中）如圖，在。。中，為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于點。，連結C。，若NBAC=25°,則NBOC的度數為（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

【變式4-2]（2022秋?研口區期末）如圖，A8為。。的一條弦，C為。。上一點，OC〃A8.將劣弧AB

沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點。.若。為翻折后弧AB的中點，則（）

B.112.5°C.115°D.117.5°

【變式4-3］（2022秋?丹江口市期中）已知。。的直徑42長為10,弦將。。沿CD翻折，翻

折后點B的對應點為點夕，若AB'=6,CB'的長為（）

A

A.4V5B.2V5^4V5C.2V5D.2花或4百

【題型5利用圓周角求最值】

【例5】（2022?瑤海區三模）如圖，是。。的直徑，AB=8,點〃在。。上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中點，尸是直徑上的一動點，若MN=2,則△2阿周長的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式5-1］（2022?陳倉區一模）如圖，△A8C中，ZABC=45°,ZACB=15°,AB=4,。是邊8c上

的一個動點，以AD為直徑畫。。，分別交A3、AC于點E、凡連接ER則線段所長度的最小值為.

【變式5-2］（2022秋?大連期末）如圖，AB是。。的直徑，42=2,點C在。。上，NC4B=30°,。為

曲的中點，E是直徑上一動點，則CE+OE最小值為（）

c

A.1B.V2C.V3D.2

【變式5-3］（2022?杏花嶺區校級三模）如圖，矩形48CD中，AB=j,BC=AB2,E為射線8A上一動點,

連接CE交以BE為直徑的圓于點H,則線段DH長度的最小值為

【題型6圓周角中的證明】

【例6】（2022秋?定陶區期末）如圖1.在。。中AB=AC,ZACB=70°,點石在劣弧衣上運動，連接

EC,BE,交AC于點孔

（1）求NE的度數；

（2）當點E運動到使BE,AC時，連接AO并延長，交BE于點D,交8C于點G,交。。于點依

據題意在備用圖中畫出圖形.并證明：G為。M的中點.

【變式6-1］（2022春?金山區校級月考）已知。為。。的直徑，A、8為。。上兩點，點C為劣弧A8中

點，連接D4、BA,AC,且/B=30°.

（1）求證：ZZ）=30°；

（2）F、G分別為線段C。、AC上兩點，滿足=AG,連接AF、OG,取0G中點H,連接C”，請猜

測AF與CH之間的數量關系，并證明.

B

【變式6-2]（2022?武漢）如圖，以A8為直徑的。。經過AABC的頂點C,AE,8E分別平分/8AC和/

ABC,AE的延長線交。。于點。，連接BD

（1）判斷△8OE的形狀，并證明你的結論；

（2）若A8=10,BE=2同,求BC的長.

【變式6-3]（2022?南召縣四模）閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德是有史以來最偉大的數學家之一、《阿基米德全集》收集了已發現的阿基米德著作，它對于了

解古希臘數學，研究古希臘數學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：

從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個圓中一條由兩長度不同的

弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點.

如圖1,和BC是。。的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BOAB.M是弧ABC的中點，則從M

向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD.

小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段CB上從C點截取一段線段CN=AB,連接MA,MB,

MC,MN.

小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點/作于點X,連接MA,MB,MC.

任務：（1）請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續書寫出證明過程.

（2）就圖3證明：MC2-MB-^BC'AB.

【例7】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在。。中，A8是。。的直徑，AB=10,數=①=麗，點E是點、D

關于AB的對稱點，"是A8上的一動點，下列結論：

①NBOE=30°；?ZDOB=2ZCED；③。M_LCE；④CM+DM的最小值是10,上述結論中正確的個數

【變式7-1］（2022秋?淅川縣期末）如圖，已知：點A、B、C、。在。。上，AB=CD,下列結論：①/

AOC=ZBOD；@ZBOD=2ZBAD；?AC=BD；@ZCAB=ZBDC；⑤/CAO+/CDO=180°.其中

正確的個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式7-2］（2022秋?廈門期末）在AABC中，A8=AC,以AB為直徑的。。交BC邊于點D要使得。。

與AC邊的交點E關于直線的對稱點在線段OA上（不與端點重合）,需滿足的條件可以是.（寫

出所有正確答案的序號）

①/a4c>60°；②45°<ZABC<60°；③?^AB<DE<^AB.

【變式7-3］（2022秋?東臺市月考）如圖，A2是。。的直徑，C,。是。。上的點，S.OC//BD,與

BC,OC分別相交于點E,F,則下列結論：@AD1BD；@ZAOC=ZAEC；③CB平分/AB。；@AF

=DF；⑤ACEF咨ABED.其中一定成立的結論是.（填序號）

【題型8構造圓利用圓周角解決三角形或四邊形中的問題】

【例8】（2022春?杏花嶺區校級月考）如圖，A,8兩點的坐標分別為（-2,0）,（3,0）,點C在y

【變式8-1］（2022秋?秦淮區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=BD.若/ABC=H2°,則/ADC

【變式8-2］（2022?北京模擬）己知三角形ABC是銳角三角形，其中NA=30°,BC=4,設BC邊上的高

為h,則h的取值范圍是.

【變式8-3］（2022春?西湖區校級月考）已知：如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,AB=BC=4,ZB=60°,

/C=105°,點E為BC的中點，以CE為弦作圓，設該圓與四邊形48C。的一邊的交點為P,若/CPE

=30°,則EP的長為

【題型9圓周角與量角器的綜合運用】

【例9】（2022?南召縣模擬）以。為中心點的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的。刻度

線與斜邊A8重合.點。為斜邊AB上一點，作射線交弧AB于點E,如果點E所對應的讀數為50°,

那么NBOE的大小為（）

【變式9-1］（2022秋?南京期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙片上，使點。在半圓圓心上,

點8在半圓上，邊48,AO分別交半圓于點C,D,點B,C,。對應的讀數分別為160°、72°、50°,

則NA=.

【變式9-2］（2022秋?高港區期中）如圖，一塊直角三角板ABC的斜邊A8與量角器的直徑重合，點。對

應的刻度值為50°,則的度數為.

【變式9-3]（2022秋?北京期末）如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊48重合，其中量角器0

刻度線的端點N與點A重合，射線CP從CA處出發沿順時針方向以每秒3。的速度旋轉，”與量角器

的半圓弧交于點E