13.2三角形全等的判定第13章全等三角形13.2.1全等三角形的判定條件逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2全等三角形全等三角形的性質全等三角形的判定條件知識點全等三角形知1－講11.

全等三角形的相關概念能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，相互重合的頂點是對應頂點，相互重合的邊是對應邊，相互重合的角是對應角.知1－講2.全等三角形的表示方法全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”，記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.知1－講示圖如圖13.2-1中的△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF.知1－講3.常見三角形的全等變換(如圖13.2-2)知1－講特別解讀對應邊或對應角與對邊或對角的區別：對應邊、對應角是兩個全等三角形中對應的兩條邊或對應的兩個角；而對邊、對角是同一個三角形中邊和角，“對邊”是指三角形中某個角所對的邊，“對角”是指三角形中某條邊所對的角.知1－練例1如圖13.2-3，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB.寫出其對應邊和對應角.解題秘方：根據圖形的位置特征確定對應邊和對應角.知1－練解：BD和DB，AD和CB，AB和CD是對應邊；∠A和∠C，∠ABD和∠CDB，∠ADB和∠CBD是對應角.知1－練解法提醒：利用圖形的位置特征確定對應邊和對應角時，要抓住對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊；當全等三角形的兩組對應邊(角)已確定時，剩下的一組邊(角)就是對應邊(角).知1－練1-1.已知△ABC與△EDF全等，其中點A與點E，點B與點D，點C與點F是對應頂點，則對應邊為___________________________，對應角為________________________________，△ABC≌______.AB與ED，AC與EF，BC與DF∠A與∠E，∠B與∠D，∠C與∠F△EDF知1－練如圖13.2-4，將△ABC繞其頂點B順時針旋轉一定角度后得到△DBE，請判斷圖中△ABC和△DBE是否為全等三角形.若是，寫出其對應邊和對應角.例2解題秘方：根據圖形旋轉前后的對應位置找對應關系.知1－練解：△ABC≌△DBE.AB和DB，AC和DE，BC和BE是對應邊；∠A和∠BDE，∠ABC和∠DBE，∠C和∠E是對應角.知1－練方法點撥：從兩個方面理解在圖形的變換中找對應元素：1.從動態角度理解：重合是找對應元素的關鍵；2.從靜態角度理解：從表示方法中找準對應頂點，然后確定對應邊和對應角.知1－練2-1.如圖，把△ABC繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE，顯然有△ABC≌△ADE，寫出所有的對應頂點、對應邊和對應角.知1－練解：對應頂點：A對應A，B對應D，C對應E；對應邊：AB對應AD，AC對應AE，BC對應DE；對應角：∠BAC對應∠DAE，∠B對應∠D，∠C對應∠E.知2－講知識點全等三角形的性質2

知2－講2.

拓展全等三角形的對應元素相等.全等三角形中的對應元素包括對應邊、對應角、對應邊上的中線、對應邊上的高、對應角的平分線、周長、面積等.知2－講要點提醒1.應用全等三角形的性質時，要先確定兩個條件：(1)兩個三角形全等；(2)找對應元素.2.全等三角形的性質是證明線段、角相等的常用方法.知2－練如圖13.2-5，已知△ABC≌△EDF.

求證：(1)DC＝BF；(2)AC∥EF.解題秘方：利用全等三角形的對應邊相等和對應角相等解決問題.例3知2－練(1)DC＝BF；(2)AC∥EF.∵△ABC≌△EDF，∴∠ACB＝∠EFD.∴AC∥EF.證明：∵△ABC≌△EDF，∴DF＝BC.∴DF－CF＝BC－CF，即DC＝BF.知2－練3-1.如圖，已知△ABD≌△ACD，且點B，D，C在同一條直線上，那么AD與BC有怎樣的位置關系？為什么？知2－練解：AD⊥BC.理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.知2－練如圖13.2-6，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度數.例4解題秘方：利用全等三角形的對應角相等，結合三角形的內角和為180°進行計算.知2－練解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠C，∠A＝∠BED＝∠CED.又∵∠BED＋∠CED＝180°，∴∠BED＝∠CED＝90°.∴∠A＝90°.∴∠ABD＋∠EBD＋∠C＝180°－∠A＝90°.∴3∠C＝90°，即∠C＝30°.知2－練4-1.如圖，銳角三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//BC，EB，CD交于點F．若∠BAC＝35°，則∠BFC的大小是()A.105° B.110°C.100° D.120°B知3－講知識點全等三角形的判定條件31.

全等若兩個三角形的三條邊與三個角都分別對應相等，那么這兩個三角形一定可以互相重合，即全等.2.

判定條件對于兩個三角形的六個元素(三個角和三條邊)，至少需要三個元素(必有一邊)分別對應相等，這兩個三角形才能全等.知3－講要點解讀三個角和三條邊對應相等的兩個三角形全等，反過來也成立，即全等三角形的性質.知3－練在△ACB和△A′C′B′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，則△ACB和△A′C′B′______全等.(填“一定”或“不一定”)例5解題秘方：緊扣全等三角形的判定條件去判斷.不一定知3－練解：如：邊長為1cm的等邊三角形ACB與邊長為3cm的等邊三角形A′C′B′，雖然三個角都分別對應相等，但兩個三角形不能重合，即△ACB和△A′C′B′不全等，所以△ACB和△A′C′B′不一定全等.知3－練5-1.具備下列條件的兩個三角形一定全等的是()A.周長相等B.面積相等C.形狀相同D.能夠完全重合D全等三角形的判定條件全等三角形性質判定條件對應邊相等對應角相等13.2三角形全等的判定第13章全等三角形13.2.2三角形全等的判定逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2邊角邊角邊角角角邊邊邊邊斜邊直角邊知識點邊角邊知1－講1

知1－講特別提醒在列舉兩個三角形全等的條件時，應把三個條件按順序排列(一般是把同一個三角形的三個條件放在等號的同一側)并用大括號將其括起來.知1－練例1如圖13.2-13，點C是AB的中點，AD＝CE，且AD∥CE.求證：△ACD≌△CBE.解題秘方：根據條件找出兩個三角形中的兩條邊及其夾角對應相等，根據“S.A.S.”判定兩個三角形全等.知1－練

知1－練方法提醒：證明兩個三角形全等，既要注意全等的書寫形式，又要注意未知元素在證明全等時必須先做好推理.知1－練1-1.如圖是一個測量工件內槽寬的工具，點O既是AA′的中點，也是BB′的中點，若測得AB＝3.5cm，則該內槽A′B′的寬為_______cm.3.5知2－講知識點角邊角2

知2－講特別解讀1.相等的元素：兩角及兩角的夾邊.2.書寫順序：角→邊→角.3.夾邊即兩個角的公共邊.知2－練如圖13.2-15，已知點C，E在線段BF上，AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE.求證：△ABC≌△DFE.例2解題秘方：解題的關鍵是由兩組平行線得出兩組角對應相等，構造兩角及其夾邊對應相等.知2－練

知2－練2-1.如圖，點C在線段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：AC＝DC．知3－講知識點角角邊3

知3－講3.“A.S.A.”與“A.A.S.”的區別與聯系“S”的意義書寫格式聯系A.S.A.“S”是兩角的夾邊把夾邊相等寫在兩角相等的中間由三角形內角和定理可知，“A.A.S.”可由“A.S.A.”推導得出A.A.S.“S”是其中一角的對邊把兩角相等寫在一起，邊相等放在最后知3－講特別解讀1.判定兩個三角形全等的三個條件中，“邊”是必不可少的.2.由于“角角邊”和“角邊角”是可以互相轉化的，故能用“角角邊”證明的問題，一般也可以用“角邊角”證明.知3－練如圖13.2-17，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AB的兩側，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.例3知3－練解題秘方：找出兩個三角形中兩個角及其中一角的對邊對應相等，利用“A.A.S.”判定兩個三角形全等，再根據全等三角形的性質求線段長.知3－練(1)求證：△ACE≌△BDF；(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的長．

解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2，∴BD＝AC＝2．又∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4．知3－練3-1.[中考·樂山]如圖，AB和CD相交于點O，AC//BD，點O為AB的中點，求證：AC＝BD.知3－練知4－講知識點邊邊邊4

知4－講特別解讀在兩個三角形的六個元素(三條邊和三個角)中，由已知的三個元素可判定兩個三角形全等的組合有4個：“S.S.S“”.S.A.S.”“A.S.A.”和“A.A.S.”，不能判定兩個三角形全等的組合是“A.A.A.”和“S.S.A.”.知4－練如圖13.2-19，C是BD的中點，AB＝ED，AC＝EC.求證：△ABC≌△EDC．例4知4－練解題秘方：緊扣“S.S.S.”找出兩個三角形中三邊對應相等的條件來判定兩個三角形全等.

知4－練4-1.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，連結AC.求證：△ABC≌△CDA.知5－講知識點斜邊直角邊5

知5－講3.判定兩個三角形全等常用的思路方法如下表已知對應相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)S.S.S.或S.A.S.可證第三邊對應相等或證兩邊的夾角對應相等一邊及其鄰角(SA)S.A.S.或A.S.A.或A.A.S.可證已知角的另一鄰邊對應相等或證已知邊的另一鄰角對應相等或證已知邊的對角對應相等知5－講續表：已知對應相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形一邊及其對角(SA)A.A.S.可證另一角對應相等兩角(AA)A.S.A.或A.A.S.可證兩角的夾邊對應相等或證其中一已知角的對邊對應相等知5－講續表：已知對應相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件直角三角形一銳角(A)A.S.A.或A.A.S.可證直角與已知銳角的夾邊對應相等或銳角(或直角)的對邊對應相等斜邊(H)H.L.或A.A.S.可證一條直角邊對應相等或證一銳角對應相等知5－講續表：已知對應相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件直角三角形一直角邊(L)H.L.或S.A.S.或A.S.A.或A.A.S.可證斜邊對應相等或證另一直角邊對應相等或證與已知邊相鄰的銳角對應相等或證已知邊所對的銳角對應相等知5－講特別提醒1.應用“H.L.”判定兩個直角三角形全等，在書寫時兩個三角形符號前一定要加上“Rt”.2.判定兩個直角三角形全等的特殊方法(“H.L.”)，只適用于直角三角形全等的判定，對于一般三角形不適用.3.判定一般三角形全等的所有方法對判定兩個直角三角形全等同樣適用.4.在用一般方法證明直角三角形全等時，因為兩個直角三角形中已具備一對直角相等的條件，故只需找另