海南省八校聯盟2024-2025學年高三下學期期末考試數學試題高三期末試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知雙曲線C：二-4=1（。〉0］〉0）的焦距為2c,焦點到雙曲線C的漸近線的距離為且C,則雙曲線的漸

近線方程為（）

A.y=±y/3xB.y=±y/2xC.y=±%D.y—±2%

2222

2.連接雙曲線G：j-及。2：=-3=1的4個頂點的四邊形面積為，，連接4個焦點的四邊形的面積為52,

abba

則當U取得最大值時，雙曲線G的離心率為（）

R3后

15.--------C.73D.V2

2

3.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與

單獨五個環面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為〃個，已知圓環半徑為1,則比值P的近似值為（）

8〃7in

A.一B.——C.D.

8N兀N7lN12N

4.如圖，雙曲線C：鼻一去=1（。〉0）〉0）的左，右焦點分別是E（—GO）,耳（c,0）,直線y=五與雙曲線C的兩

JT

條漸近線分別相交于A3兩點.若耳月=§,則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.逑

3

C.y/2D.

3

5.如圖，長方體ABC。—A4G。中，2A3=3A%=6,書=2%,點7在棱A4上，若7P_L平面尸5c.則

UUUUUL

TPBlB=()

A.1B.-1C.2D.-2

6.若集合4==則4口8=()

A.[-3,2]B.1x|2<%<3}

C.(2,3)D.{x|-3<%<2}

7.若%>0,y>。，貝！|“1+2丁=2"面”的一個充分不必要條件是

A.x=yB.x=2y

C.尤=2且y=lD.x=y或y=l

8.已知全集0=11,集合A={x|3Wx<7},B={X|X2-7X+10<0},則心(AC5)=()

A.(-oo,3)U(5,+<?)B.(^O,3]U(5,-H?)

C.(v,3]U[5,+co)D.(-CO,3)U[5,-BX>)

9.已知等差數列｛4｝中，%+6=8貝！）/+%+%+%,+%=（）

A.10B.16C.20D.24

10.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為

（）

11.小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機到達小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）

12.在棱長均相等的正三棱柱ABC=4用G中，。為8用的中點，口在AG上，且OPLAG，則下述結論:

①AC］，BC；②AF=FC］；③平面平面ACGA：④異面直線AG與所成角為60°其中正確命題的

個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x+2y）（x—丁門展開式中dy3的系數為.

14.某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為AB,C三組，其人數之比為5:3:2,現用分層抽樣的方

法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若。組中甲、乙二人均被抽到的概率是g,則該部門員工總人數為.

2"x<0)

15.已知函數/(')=",則/(—2)=_______；滿足/。)>0的x的取值范圍為________.

12-3x(%>0)

16.某市高三理科學生有15000名，在一次調研測試中，數學成績J服從正態分布N(100,o-2),已知

P(80<^<100)=0.40,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從120分以上的試卷中抽取的份數為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數/(x)=(x+a)ln(x+a)+/+x.

(1)當4=1時，求函數/(幻的圖象在X=0處的切線方程；

(2)討論函數丸(x)=y(x)-e'x的單調性;

⑶當a=0時，若方程“0=/(￡)—e'—x=7”有兩個不相等的實數根玉,馬,求證：ln(X]+X2)〉ln2-1.

一,、,123nn

18.(12分)已知數列｛4｝滿足^----+------+-----7+"-+Z----7=7.

1

)2%-52a2-52a3-52an-53

(1)求數列｛凡｝的通項公式；

(2)設數列」一]的前幾項和為7；,證明：Tn<~.

〔44+/6

19.(12分)如圖所示，已知AC,平面COE,BD//AC,△￡(%)為等邊三角形，尸為邊助上的中點，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求證：CP尸面ABE；

(II)求證：平面ABEL平面班)￡;

(III)求該幾何體E-ABDC的體積.

20.(12分)某調查機構為了了解某產品年產量*(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響，對近五年該產品的年產量和

價格統計如下表：

x12345

y17.016.515.513.812.2

(1)求y關于x的線性回歸方程y=%+6；

(2)若每噸該產品的成本為12千元，假設該產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤w取到最大值？

〃n

參考公式：B=上，-----------=*-------------,a=y-bx

之片_忒2之可2

Z=1Z=1

21.(12分)已知拋物線。：丁2=20尤(°>0)的焦點為w，點P(2M(〃>0)在拋物線C上，|P同=3,直線/過點

F,且與拋物線C交于A,6兩點.

(1)求拋物線。的方程及點P的坐標；

(2)求麗.麗的最大值.

22.(10分)設/(x)=xe*-?？，g(x)=In%+%-%2+1-—(?>0)

a

(1)求g(x)的單調區間；

(2)設〃(X)=/(￡)—ag(x)20恒成立，求實數。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用雙曲線C：W—2^=1（。〉0］〉0）的焦點到漸近線的距離為走,，求出a，b的關系式，然后求解雙曲線的

a~Zr2

漸近線方程.

【詳解】

雙曲線C：g—孑=1（a〉0］〉0）的焦點（G0）到漸近線bx+ay=0的距離為與c，

可得：/兒=里,可得2=走，-=73,則。的漸近線方程為'=±氐.

+尸2c2a

故選A.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，構建出的關系是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題.

2.D

【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積,

5.

利用重要不等式求得U取得最大值時有a=b,從而求得其離心率.

【詳解】

2222

yx

雙曲線3―3二1與一=1互為共軌雙曲線,

abb2a

四個頂點的坐標為（±〃,0）,（0,±份，四個焦點的坐標為（±c,0）,（0,士。）,

四個頂點形成的四邊形的面積A=-x2ax2b=2ab

2f

1

92

四個焦點連線形成的四邊形的面積52=-X2CX2C=2C,

S.2ababab1

所以每二小二不7〈.=5,

S

當U取得最大值時有a=b,c=缶，離心率e=f=J5,

?2CL

故選：D.

該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共朝雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式

求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.

3.B

【解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設會旗中五環所占面積為S,

，丁Sn一…-60〃

由于——=一,所以S=——,

60NN

故可得尸=」士=四.

5萬7rN

故選：B.

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.

4.A

【解析】

cbeBT7i

易得6（-7,丁），過3作x軸的垂線，垂足為T,在△耳中，利用言：=tanw即可得到c的方程.

22a3

【詳解】

chec

由已知，得3（—過B作x軸的垂線，垂足為T,故片T=—,

22a2

be

又NBF[F,=%，所以[J=tang=6，即2&=0=G，

-3FJ3ca

2

所以雙曲線。的離心率e=Jl+（與=2.

Va

故選：A.

本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.

5.D

【解析】

根據線面垂直的性質，可知TPLPB；結合*=2函即可證明AP7AMABQ5I，進而求得7A.由線段關系及平面

UUUUUL

向量數量積定義即可求得7P-43.

【詳解】

長方體ABCD—A[B[CQ]中，2AB=3A4]=6,

點T在棱A為上，若TP,平面尸5C.

則7PJ_P5，即=2西

則ZPT^=NBPB],所以APTA^=ABPB1,

則％=PB]=1,

uiruuuuiruuu

所以TPB]B=TP-BXBcosZPTX

(]、

=v22+12x2x—/=—2,

IVFTFJ

故選：D.

本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.

6.A

【解析】

先確定集合A中的元素，然后由交集定義求解.

【詳解】

A={.y=，2-x}=1x|%<2|,B=|x|-3<%<3},AnB=-3<x<2}.

故選：A.

本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關鍵.

7.C

【解析】

x>0,y>0,

+而，當且僅當x=2y時取等號.

故"x=2,且y=1”是“*+2y=2J語”的充分不必要條件.選C.

8.D

【解析】

先計算集合3,再計算AC8,最后計算電(Ac5).

【詳解】

解：,.?B=1x|x2—7x+10<0j

:.B=[x\2<x<5],

1.,A=1x|3<x<7}

AQB={x\3?x<5},

.?.3b(AnB)=(-ao,3)U[5，H.

故選：D.

本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題.

9.C

【解析】

根據等差數列性質得到%+。6=8=2生，再計算得到答案.

【詳解】

已知等差數列{4}中，%+。6=8=2%=>。5=4

a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20

故答案選C

本題考查了等差數列的性質，是數列的常考題型.

10.B

【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補形為長方體，由此計算出幾何體外接球的直徑，進而求得球的表面積.

【詳解】

根據題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2,側棱長為2且與底面垂

直，因為直三棱柱可以復原成一個長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對角線就是外接球直徑，

則(2R)2=4R2=2?+2?=8,那么S外接球=4兀F=8萬.

故選：B

本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關計算，屬于基礎題.

11.C

【解析】

設出兩人到達小王的時間，根據題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.

【詳解】

x<y

設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為xy,以12：0。點為開始算起，則有<「，在平面直角

10?101創010-工倉65a

p—_______22_______?

'10'108

故選：C

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區域，考查了數學運算能力.

12.B

【解析】

設出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷歹是AG的中點推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線AG與CD所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設棱長為：2,對于①連結AB一則做=AG=2VL.?.44。田產90。即4￡與瓦。|不垂直，又BCHB、G，

二①不正確;

對于②，連結AD，DQ,在AADG中，AD=DCl=y/5,而,二支是AQ的中點，所以AF=RC］，二②

正確；

對于③由②可知，在中，￡>尸=百，連結。/，易知。尸=，5，而在口火^口中，C￡>=石，;.DF-+CF-=CD-,

即。F_LCF,又D尸，A￡,面AC￡A，.?.平面"CjJ"平面ACC】A，，③正確；

以A為坐標原點，平面431cl上過A點垂直于的直線為X軸，AC所在的直線為y軸，AA所在的直線為z軸,

建立如圖所示的直角坐標系；

4（0,0,0）,4（后1,0）,Q（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,。（國，小

禧=（0,2,-2）,CD=（A/3,-1,-1）;

AQ.CD

異面直線AG與CD所成角為。，cos0==0,故夕=90°.④不正確.

\AC;\\CD\

故選：B.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結構特征，直線與平面垂直，直線與直線的位

置關系的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

把（x—y）5按照二項式定理展開，可得（x+2y）（x—丁了的展開式中Y；/的系數.

【詳解】

解：（x+2y）（x-4=（x+2y）.（竦.%5-C武勺+C；-C?x2y3+C；.Vj；4-C；?ys）,

故它的展開式中三y3的系數為一或+2C；=10,

故答案為：10.

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.

14.60

【解析】

根據樣本容量及各組人數比，可求得c組中的人數；由c組中甲、乙二人均被抽到的概率是(?可求得c組的總人數,

即可由各組人數比求得總人數.

【詳解】

AB,。三組人數之比為5:3:2,現用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，

則AB,C三組抽取人數分別10,6,4.

C2121

設。組有〃人，則。組中甲、乙二人均被抽到的概率U=1―八=77，

”1)11

「?解得〃=12.

12

，該部門員工總共有耳*(5+3+2)=60人.

故答案為：60.

本題考查了分層抽樣的定義與簡單應用，古典概型概率的簡單應用，由各層人數求總人數的應用，屬于基礎題.

1/八

15.-(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函數的解析式代入求值即可得到/(-2),分x>0和x<0兩種情況討論可得;

【詳解】

解：S>9/W=F(X-0),

[12-3x(x>0)

所以/'(—2)=2-=一，

V/?>0,

.??當尤<0時，0</00=2'<1滿足題意，；.尤<0；

當x>0時，由/(x)=12—3x>。,

解得x<4.綜合可知：滿足/(x)>0的x的取值范圍為(-8,4).

故答案為：一；(—8,4).

4

本題考查分段函數的性質的應用，分類討論思想，屬于基礎題.

16.10

【解析】

由題意結合正態分布曲線可得120分以上的概率，乘以100可得.

【詳解】

解：P(<^>120)=1[1-2P(80<<^<100)]=0.10,

所以應從120分以上的試卷中抽取100x0.10=10份.

故答案為：10.

本題考查正態分布曲線，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)3%—丁+1=0；(2)當一4<%<!一°時，在[一a,，一a]上是減函數；當時，/z(九)在

上是增函數；(3)證明見解析.

【解析】

(1)當。=1時，/(x)=(x+l)ln(x+l)+/+x,求得其導函數/'(X),/(0),/(0),可求得函數f(x)的圖象在

x=0處的切線方程；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-e*-X=(x+a)ln(x+a)(x>-a),得出導函數"(x)=ln(x+a)+l,并得出導函數取得

正負的區間，可得出函數的單調性；

(3)當a=0時，/z(x)=xlnx,/i'(x)=lnx+l,由(2)得/z(x)的單調區間，以當方程〃(%)=根有兩個不相等的

實數根%，不妨設％<%，且有0<玉<工，,<*2<1，--<m<0,構造函數//(X)=0<x<，

分析其導函數的正負得出函數的單調性，得出其最值,所證的不等式可得證.

【詳解】

(1)當a=l時，f(x)-(%+l)ln(x+l)+ex+x,

所以/'(x)=ln(x+l)+l+"+l=ln(x+l)+"+2,.?./(())=3,/(0)=l,

所以函數/(尤)的圖象在尤=0處的切線方程為y—l=3(x—0),即3x—y+l=0；

(2)由已知得力(%)=/(九)一/一九=(jr+〃)ln(%+Q)(%>一。)，，/z(%)=ln(%+。)+1,令/z'(x)=O,得％=—a,

e

所以當一a<%<—a時，h(x)<0,當九〉—〃時，/z'(x)>0,

ee

所以力(x)在'上是減函數，在［，-兄+幻］上是增函數；

(3)當〃=0時，h(x)=xlnx,/z'(x)=lnx+l,由(2)得領%)在0,'］上單調遞減，在［士+④］單調遞增,

所以/z(x)2/z且x-0時，力(%)-0,當”時，/z(x)f+QO,/z(l)=0,

所以當方程力(%)二加有兩個不相等的實數根石,％2，不妨設玉<%2，且有0<%〈!-<%2<1，--<m<0,

eee

構造函數H(%)="(%)-力則“'(%)=2+Inx

當0<%<工時,=二,所以“'(尤)<0,

e

.?.”(X)在0,，)上單調遞減，且H[J]=O,”(x)〉o[o<x<：

由0<%〈工，〃(藥)=丸(％1)_〃[2_%]]〉0,/2(%)=/2(々)〉丸(2_%]〉,,2_苞〉L,/z(x)在

[g,+s]上單調遞增，

22,/、，-,

%2>—Xj,Xj+%2>—,「.In(X]+/)>In2—1.

ee一

所以Ini%+x2)>ln2-l.

本題考查運用導函數求函數在某點的切線方程，討論函數的單調性，以及證明不等式，關鍵在于構造適當的函數，得

出其導函數的正負，得出所構造的函數的單調性，屬于難度題.

18.(1)a“=即『；(2)見解析.

【解析】

Sn=l

⑴令S"=§,〃=五",利用〃=可求得數列出｝的通項公式，由此可得出數列｛4｝的通項

公式;

1411

(2)求得-----=--一~,利用裂項相消法求得北，進而可得出結論.

aHall+l33”+53(”+1)+5

【詳解】

n

（1）令S,=gb”=

2a“一5

當“22時，b=S-S^=；

nnn333

,,,,1,,7n13n+5

當77=1時，b=~,則r----,故/=一:

x32。“一532

1________4_________4_L________]

anan+1（3/I+5）[3（H+1）+5]33n+53（H+1）+5'

p（3x1——+53x2M+5）+（P3x2——+53x3+5）（3x〃+53（〃+\l）+5,]

41_____1____<_4x_1—_1_

383（n+l）+5j38-6

本題考查利用Sn求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.

19.(I)見解析；(H)見解析；(III)73.

【解析】

(I)取3E的中點G,連接AG,FG,通過證明四邊形AGFC為平行四邊形，證得CE//AG,由此證得C廣〃平面ABE.

(ID利用C?LED,CFYBD,證得CF,平面BOE，從而得到AG，平面,由此證得平面A5E_L平面

BDE.(Ill)作EHLCD交CD于點H,易得EHL面利用棱錐的體積公式，計算出棱錐的體積.

【詳解】

(1)取5后的中點6,連接AG,/G,則尸GIlgBD,AC\\^-BD,

=2=2

故四邊形AGFC為平行四邊形.

故an”.

又CFa面ABE,AGu平面ABE,所以。尸||面ABE.

(II)△￡T€!)為等邊三角形，尸為OE中點，所以CFLED.又CFLBD,

所以面3DE.

又b||AG,故AG,面5￡>E,所以面ABEL平面

(Ill)幾何體ABECD是四棱錐E—A8DC,作EHLCD交CD于點H,即石"，面ABDC,

VE-ABDC=1--(1+2)-2-A/3=V3.

本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.

20.(1)y=18.69-1.23%(2)當％=2.72時，年利潤z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z關于x的回歸直線方程，由此求得y關于x的回歸直線方程.方法二：根據回歸

直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數值較小.

(2)求得?的表達式，根據二次函數的性質作出預測.

【詳解】

(1)方法一：Wz=y—10,則得x與z的數據關系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

x=|(l+2+3+4+5)=3,

z=1(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

5

Zx/j=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=l

5

222222

J；XZ=1+2+3+4+5=55.

Z=1

5

b=------------=62.7-5x3j5=_123,

^x,2-5x255-5x3

Z=1

a=^-bx=5-(-1.23)x3=8.69，

??.Z關于X的線性回歸方程是z=8.69-1.23%即夕―1。=Z=8.69-1.23%,

故y關于1的線性回歸方程是y=18.69-l.23x.

方法二：因為元=g(l+2+3+4+5)=3,

y=1(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

Z=1

5

=儼+22+32+42+52=55,

Z=1

5

孫212.7—5義3義15.

?*tz<、<L.ZD,

2c—255—5x3

i=\

所以d=]—皎=15—(—1.23)x3=18.69,

故y關于x的線性回歸方程是》=18.69-1.23%,

(2)年利潤w=x(18.69—1.23x)—12x=—1.23/+6.69x,根據二次函數的性質可知:當x=2.72時，年利潤z最大.

本小題主要考查回歸直線方程的求法，考查利用回歸直線方程進行預測，考查運算求解能力，屬于中檔題.

21.(1)>2=4%,P(2,20)；(2)1.

【解析】

(1)根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，可得「值，即可求拋物線C的方程從而可得解；

(2)設直線/的方程為：x+my-1=0,代入y2=4x,得，y2+4my-4=0,設A(xi,yi),B(必>2),則yi+y2=-4

2

yiy2=-4,xi+x2=2+4m,?X2=1,PA=(%—2,%—2應)，而二(X2-2,y2-2^2),由此能求出