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文檔簡介

江蘇省宿遷市2025屆高三上學期第一次調研考試數學試題

一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合M={%|-2<x<1},N=[-2,-1,0,1},則MnN=()

A.{-1,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,-2,0,1)

2.命題'勺x6R,x2+x+1<0”的否定為()

A.mx€R,久2+久+i2oB.3x?/?,x2+x+1>0

C.VxG/?,x2+x+1>0D.Vxg/?,x2+x+1>0

3.若a>0,b>O,a+26=3,貝哈+輔最小值為()

A.9B.18C.24D.27

4.已知函數/(%)的值域為[—2,3],則函數/Q—2)的值域為()

A.[-4,1]B.[0,5]C.[-4,1]U[0,5]D.[-2,3]

5.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為/型,比如:當久一0時,亍的極限即為號型.兩個無窮小

之比的極限可能存在,也可能不存在,為此,洛必達在1696年提出洛必達法則:在一定條件下通過對分

子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.=lim^e=lim^-=1,貝!|lim譽E=

()

A.0B.1C,1D.2

6.2018年9月24日,阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主,英國89歲高齡的著名數學家阿蒂亞爵士宣布自己證明

了黎曼猜想,這一事件引起了數學界的震動.在1859年,德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于

某值的素數個數》的論文并提出了一個命題,也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數學家歐拉也曾研究

過這個何題,并得到小于數字久的素數個數大約可以表示為兀(久)的結論.若根據歐拉得出的結論,估計

10000以內的素數個數為()(素數即質數,Ige=0.43,計算結果取整數)

A.1079B,1075C.434D,2500

7.已知f(x)=口號尤?亭:?1,若方程/(X)=儂meR)有四個不同的實數根卬久2,久3,乂4,貝帆?久2

,刀3,久4的取值范圍是()

A.(3,4)B.(2,4)C.[0,4)D.[3,4)

8"(x)是在[0,1]上的連續函數,設4n=貝lj()

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A.AnW^2nB.AnWAn+mC.224rl3^2nD.2An<An+m.

二、多選題:本題共3小題,共15分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。

9.已知函數/(久)=比3+會2-4比,貝!]()

A.x=2是f(x)的極小值點B./Q)有兩個極值點

Cj(x)的極小值為1Dj(x)在[0,2]上的最大值為2

10.下列命題正確的有()

A.函數/(2乃定義域為[一2,2],則/(/)的定義域為[-2,2]

B.函數/'(久)=In?/+1+%)是奇函數

C.已知函數/'(%)=|坨刈一/(:存在兩個零點X1,久2,則萬62=k

D,函數/(K)=x+?在(0,+8)上為增函數

11.已知x>0,y>0,2%+y=1,貝!|()

X

A.4+2y的最小值為2也B.log2x+Zog2y的最大值為一3

C.y—x—xy的最小值為一1D.^+用的最小值為:

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

12.VxGR,函數/(%)=x3+ax2+3ax+4沒有極值的充要條件為.

13.已知函數/(%)=lg(x2-ax+12)在上單調遞減,則實數Q的取值范圍是.

n

14.設集合S=(xER\x=n,nGN+,x>0}則集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素是

四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知集合P={x|2x2—3%+l40},Q={x|(%—a)(%—a—1)<0].

(1)若a=l,求PCQ;

(2)若%€產是%EQ的充分條件,求實數a的取值范圍.

16.(本小題12分)

已知函數/(%)=ax2+bx+18,/(%)>0的解集為(一3,2).

(1)求/(%)的解析式;

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(2)當x>—1時,求y="七,的最大值.

17.(本小題12分)

如圖,在四棱錐P—71BCD中,底面48CD為梯形,AB//DC,AB=2BC=2CD=2,4ABD=60°,

PB1AD,PB=PD=1.

(1)求點P到平面4BCD的距離;

(2)在棱PC上是否存在點F,使得平面DBF與平面P8C夾角的余弦值為《?若存在,求出點F的位置;若不存

在,請說明理由.

18.(本小題12分)

已知函數/(久)=2久,若點P(x(),yo)在y=/(x)的圖象上運動,貝。點Q(yo+1,2孫+1)在y=。(比)的圖象上運

(1)求口>)=/(無)+/(—久)的最小值,及相應的x值

(2)求函數y=g(久)的解析式,指出其定義域D,判斷并證明GQ)=/(%)+g(x)在。上的單調性

(3)在函數y=/。)和y=g(x)的圖象上是否分別存在點4B關于直線y=x-1對稱,若存在,求出點

48的坐標;若不存在,請說明理由

19.(本小題12分)

帕德近似是法國數學家亨利?帕德發明的用有理多項式近似特定函數的方法.給定兩個正整數n,函數

/(X)在無=。處的|m,初階帕德近似定義為:

R(x)=7:黑二:北%且滿足:/(0)=R(0),f(o)=R(0),廣(0)=R"(0),…,f(m+文0)=

R(m+n)(0).

(注:f"(X)=[f(%)1,/(4)(X)=/⑸⑺=[/(4)(X)r,…,⑺(X)為fST)(X)

的導數)

777v

已知/(%)=ln(x+1)在久=0處的[L1]階帕德近似為9(%)=1+nx-

(1)求實數租,九的值;

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(2)證明:當x20時,/(%)Ng(x);

(3)設a為實數,討論方程/(久)-加0)=0的解的個數.

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參考答案

l.c

2.C

3.X

4.D

5.D

6.B

7.0

8.4

9.BD

IQ.AB

11.ABD

12,0<a<9

13.[6,7)

14.1;那

-1

15.解:(1)P={x\2x2-3x+1<0}={x\-<x<1},

當a=1時,Q={%|(x-l)(%-2)<0}={%|1<%<2},

則PnQ={l};

(2)va<a+1,?,.Q={x|(x—a)(x—a—1)<0}={x|a<%<a+1},

???%eP是xeQ的充分條件,??.PQQ,

11

???a-2'0<a<

1<a+1,2

即實數a的取值范圍是靖].

16.解:(1)因為函數/(%)=a/+力%+18,/(%)>。的解集為(-3,2),

那么方程a/+力%+18=。的兩個根是一3,2,且aVO,

b

-3+2=—1-afa=—3

由韋達定理有,1臺£=_3,

-3x2=-6

a

所以/(%)=-3x2—3%+18.

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(2)y=二一3久2?3=_3.x(x+?+1=—3、+^-)=-3[(x+1)+^—-1],

x+1%+1x+1V%+1>L'7%+1J

由%>-1,則%+1>0,

根據基本不等式有:%+1+^>2,當且僅當x+l=+,即x=0時取等號,

???當%=0時,Vmax=-3.

17.解:(1)由題設,知AB"DC,所以=NBDC=60°.

又BC=CD=1,所以△BCD為等邊三角形,所以BD=BC=1.

在△4BD中,AB=2,BD=1,

fff\^AD2=AB2+BD2-2ABXBDXcos^ABD,

即=22+12-2x2x1xcos60°=3,則4。=邪.

所以+B£)2=482,即4。1BD.

又PB1AD,PBCBD=B,PBu平面PBD,BDu平面PBD,

所以AD1平面PBD.

因為ADu平面48CD,

所以平面PBD1平面力BCD.

如圖1,設。為BD的中點,連接PO,

因為PB=PD,所以P。1BD.

又因為平面PBD_L平面4BCD,平面PBDC平面48CD=BD,POu平面PB。,

所以P。,平面ABCD,所以P。的長度,即為點P到平面4BCD的距離.

在RtaPOB中,PB=1,BO=1,所以P。="爐一8。2=史,

即點P到平面4BCD的距離為圣

(2)如圖2,連接OC,則OC1BD,

又P。1平面ABCD,OCu平面ABCD,

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所以P。10C,所以P。,BD,0c兩兩互相垂直.

以。為原點,OB,0C,0P所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。-孫z.

1*12

貝何《,。,0),C(0段0),。(一梟,0),P(0,0,乎),

乙N乙L

所以元=(0察-9,赤=(1,0,0),前=(一鴻0),麗=(-3,*).

若PC上存在點尸滿足題意,不妨設而=APC,

則9(0,爭,貝_初,0<2<1,

所以加=(一.紈忠(1一初.

設帚=(x,y,z)是平面BDF的法向量,

m-BF^--x+走+史(l-4)z=0,

則一—2272I)

m?DB=x=0,

解得y=^-zf不妨取z=A,則y=A-l,

則平面BDF的一個法向量為薪=(0,4-1,4).

同理,設元=是平面PBC的法向量,

^

一1

B-%+z-

尸--151

20,

貝HIn0

JB-1--

uC

--%1+2y1

ln2

解得久1=4%=,不妨取yi=zi=l,則久1=通,

所以平面PBC的一個法向量為元=

.m-n._.0+(A—1)x1+A1

所以|cos<m,n>|hmllnl1=1)2+并*熊1

化簡整理得9"94+2=0,解得4=1或2=|.

即而=次或而=|PC.

故在PC的三等分點處存在點尸,可使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為卷.

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18.解:(1)尸(x)=/(x)+/(-%)^2x+2-x>2yj2x-2-x^2,當且僅當2,=2-,即x=0時,等號成立,

即F(x)的最小值為2,對應的x為0.

(2)設y=g(x)圖象上點Q(x,y),由題:9jji,所以1°=色

LY乙八0T±[yQ=x—1

點PQo,yo)在y=/(X)的圖象上運動,則丫0=2"。,

所以=2%-,y-2log2Qx-l)+1,由比一1>0得其定義域為(1,+8)

所以。(久)=2/0。2(久-1)+1,定義域為(1,+8)

X

GQ)=/(%)+g(x)=2+2log2(:x-l)+1在定義域內為增函數,證明如下:

任取1〈久1<冷,根據指數函數和對數函數單調性有:

2*1-2*<。,log?。1—1)—log2也2—1)<0,

G(xi)-G3)=(2,i+2log2(xx-Y)+1)-(2^+2log2[x2-Y)+1)

=(2、-2叼+2(32(刈-1)-/。92(>2-1))<0,

即G(%I)<G(X2)

所以G(x)=f(x)+g(x)在定義域內是增函數.

(3)假設函數y=f(久)和y=g(久)的圖象上分別存在點4B關于直線y=%-1對稱,

設其坐標4(犯n),B(a,b),則有:

tn=2mfm=-2

_1

b=220g2(。-1)+1n

u=一1解得:

m—aa

ri+b_m+a_]一4

22、b=-3

故在函數y=/(均和丫=9(嗎的圖象上分別存在點4(-2,今,喏,-3)關于直線丫=%-1對稱.

4,4

19.解:⑴由/(%)=ln(x+1),g(x)=77^,有/(。)=g(。),

可知/'(%)=JP,"(")=一(%+1產g'(x)=(1+、汽)2,g"(%)=(1+九%產

由題意,f(0)=g'(0),r(0)=g〃(0),

所以{?2需=一1,所以7n=L71=1-

(2)由(1)知,5(%)=后,

令⑴⑶=/(久)-。(久)=ln(x+1)=77。20),

14比2

則”(久)=7TT-(X+2)2=(X+1)0+2)2>°,

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所以0(x)在其定義域(-1,+8)內為增函數,

又9(0)=f(0)-g(0)=0,

?1?%20時,(p(x)=/(X)-g(X)2"(0)=0;得證.

(3)/i(x)=/(%)-3(%)的定義域是(—1,+°°),

_12a____%2+(4—2d)(x+1)

n⑺=x+l-(%+2)2=(%+1)(%+2)2?

①當a42時,¥(%)>0,所以h(%)在(-1,+8)上單調遞增,且八(0)=0,

所以以%)在(-1,+8)上存在1個零點;

②當a>2時,令t(x)=x2+(4—2a)(%+1)=

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