函數的概念與基本初等函數第二

章第一節函數概念及其表示考點高考試題考查內容核心素養分段函數2017·全國卷Ⅲ·T15·5分分段函數的應用及不等式求解數學運算

2015·全國卷Ⅱ·T5·5分分段函數求值數學運算2013·全國卷Ⅰ·T11·5分不等式恒成立求參數的范圍數學運算邏輯推理函數的定義域五年未考命題分析表示函數的解析法、圖像法，分段函數以及函數與其他知識的綜合問題是高考的熱點，各種題型均有可能考查，難度中等偏上.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．函數與映射的概念函數映射兩集合A，BA，B是兩個____________A，B是兩個____________對應關系f：A→B如果按照某個對應關系f，對于集合A中任何一個數x，在集合B中都存在唯一確定的數f(x)與之對應兩個非空集合A與B間存在著對應關系f，而且對于A中的每一個元素x，B中總有唯一的一個元素y與它對應名稱稱____________為從集合A到集合B的一個函數稱對應____________為從集合A到集合B的一個映射記法y＝f(x)，x∈A對應f：A→B非空數集非空集合f：A→B

f：A→B

2．函數的有關概念(1)函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的____________；與x的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的_________.顯然，值域是集合B的子集．(2)函數的三要素：____________、_______和____________.(3)相等函數：如果兩個函數的____________和____________完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．(4)函數的表示法表示函數的常用方法有：____________、____________、____________.定義域值域定義域值域對應關系定義域對應關系解析法圖像法列表法3．分段函數若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的____________，這樣的函數通常叫作分段函數．分段函數雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數．對應關系提醒：(1)三個易誤點①解決函數的一些問題時，易忽視“定義域優先”的原則；②易混“函數”與“映射”的概念：函數是特殊的映射，映射不一定是函數，從A到B的一個映射，A、B若不是數集，則這個映射便不是函數；③誤把分段函數理解為幾種函數組成．(2)對函數定義域的基本要求①開偶次方時要求被開方數非負；②分式分母不為零；③零次冪的底數不為零；④對數的真數大于零；⑤指數、對數的底數大于零且不等于1；⑥實際問題需考慮使題目自身有意義．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數是建立在其定義域到值域的映射．(

)(2)函數f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數．(

)(3)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．(

)(4)分段函數是由兩個或幾個函數組成的．(

)(5)分段函數的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集．(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√2．(教材習題改編)各個圖形中，不可能是函數y＝f(x)的圖像的是(

)解析：因為垂直x軸的直線與函數y＝f(x)的圖像至多有一個交點，故選A．A

C

4．已知f(x＋1)＝x2－2x，則f(3)＝__________.解析：令x＋1＝3，得x＝2，由f(x＋1)＝x2－2x可得f(3)＝4－4＝0.答案：0[明技法]函數y＝f(x)的定義域02課堂·考點突破

求函數的定義域D

(2)已知函數f(x)的定義域是[－1,1]，則f(log2x)的定義域為__________.[母題變式]

將本例(2)變為：若函數f(x2＋1)的定義域為[－1,1]，則f(lg

x)的定義域為__________.解析：因為f(x2＋1)的定義域為[－1,1]，則－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因為f(x2＋1)與f(lg

x)是同一個對應關系，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函數f(lg

x)的定義域為[10,100]．答案：[10,100]解析：因為函數f(x)的定義域為R，所以2x2＋2ax－a－1≥0對x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0]答案：(0,2]求函數的解析式B

[析考情]分段函數是一類重要的函數，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為中低檔題．分段函數C

解析：y＝|f(x)|的圖像如圖所示，y＝ax為過原點的一條直線，當|f(x)|≥ax時，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原點處的切線的斜率，顯然，k＝－2.所以a的取值范圍是[－2,0]．D

[悟技法]分段函數題型的求解策略(1)根據分段函數解析式求函數值首先確定自變量的值屬于哪個區間，其次選定相應的解析式代入求解．(2)已知函數值或函數值范圍求自變量的值或范圍應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍