1.1.3集合的基本運算第一章集合與常用邏輯用語人教B版（2019）情境與問題學校高一年級準備成立一個科學興趣小組，招募成員時要求：（1）中考的物理成績不低于80分；（2）中考的數學成績不低于70分．如果滿足條件（1）的同學組成的集合記為P，滿足條件（2）的同學組成的集合記為M，而能成為科學興趣小組成員的同學組成的集合為S，那么這三個集合之間有什么聯系呢？可以看出，集合S中的元素既屬于集合P，又屬于集合M.1.交集一般地，給定兩個集合A，B，由既屬于A又屬于B的所有元素（即A和B的公共元素）組成的集合，稱為A與B的交集．記作：A∩B，讀作“A交B”.兩個集合的交集可用如圖所示的陰影部分形象地表示.

因此，上述情境與問題中的集合滿足P∩M

=

S.例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}=

{3，4，5}在平面直角坐標系內，x軸與y軸相交于坐標原點，用集合語言可以表示為{(x，y)|y=0}∩{(x，y)|x=0}={(0，0)}從定義可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法則構造出一個新集合，因此“交”可以看成集合之間的一種運算，通常稱為交集運算.交集運算具有以下性質，對于任意兩個集合A，B，都有：（1）（2）（3）（4）如果，則，反之也成立.例1

求下列每對集合的交集：解：（1）因為A和B的公共元素只有-3，所以A∩B={-3}.（2）因為C和D沒有公共元素，所以C∩D=?.（3）在數軸上表示出區間E和F，如圖所示，

由圖可知E∩F

=(1,2).例2

已知A

={x

|

x是菱形}，B

={x

|

x是矩形}，求A∩B.解:A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}.情境與問題某班班主任準備召開一個意見征求會，要求所有上一次考試中語文成績低于70分或英語低于70分的同學參加.如果記語文成績低于70分的同學組成的集合為M，英語成績低于70分的所有同學組成的集合為N，需要去參加意見征求會的同學組成的集合為P，那么這三個集合之間有什么聯系呢？可以看出，集合P中的元素，要么屬于集合M，要么屬于集合N.2.并集一般地，給定兩個集合A，B，由這兩個集合的所有元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作：A∪B，讀作“A并B”.兩個集合的并集可用圖（1）或（2）所示的陰影部分形象地表示．由A，B構造出A∪B，通常稱為并集運算．

因此，上述情境與問題中的集合滿足

N∩M

=

P.例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6}=

{1，2，3，4，5，6}注意：同時屬于A和B的元素，在A∪B中只出現一次.嘗試與發現類比交集運算的性質，探索得出并集運算的性質，對于任意兩個集合A，B，都有：B∪AAAB例3已知區間A=（-3，1），B=[-2，3]，求A∩B，A∪B.解：在數軸上表示出A和B，如圖所示.

由圖可知

A∩B=

，A∪B=

.[-2，1）(-3，3]探索與研究（1）設有限集M所含元素的個數用card（M）表示，并規定card（?）＝0．已知A＝{x|x是興趣小組的成員}，B＝{x|x是數學興趣小組的成員}，且card（A）＝20，card（B）＝8，card（A∩B）＝4，你能求出card（A∪B）嗎？（2）設A，B為兩個有限集，討論card（A），card（B），card（A∩B），card（A∪B）之間的關系．card（A∪B）=

16

+

4

+

4

=

24card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）情境與問題如果學校里所有同學組成的集合記為S，所有男同學組成的集合記為M，所有女同學組成的集合記為F，那么：（1）這三個集合之間有什么聯系？（2）如果

x∈S且

x

?M，你能得到什么結論？可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果

x∈S且

x

?M，則一定有x∈F.3.補集在研究集合與集合之間的關系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，全集通常用U表示.

如果集合A是全集U的一個子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補集.記作：?UA，讀作：“A在U中的補集”.由全集U及其子集A得到?UA，通常稱為補集運算.集合的補集也可用維恩圖形象地表示，其中全集通常用矩形區域代表，如圖所示：

因此，上述情境與問題中的集合滿足?SF=M，?SM=F.例如，如果U

={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則

?UA={2，4，6}.注意，此時?UA仍是U的一個子集，因此?U(?UA)={1，3，5}=A.

事實上，給定全集U及其任意一個子集A，補集運算具有如下性質：分析：注意U中的元素都是自然數，而且A，B

都是U的子集.解：在數軸上表示出A和B，如圖所示.

由圖可知?RA=__________，?RB=__________.(-∞，-1](2，+∞)探索與研究給定三個集合A，B，C，式子(A∪B)∩C的意義是什么？(A∩C)∪(B∩C)呢？作維恩圖研究這兩個式子之間的關系，并研究(A∩B)∪C和(A∪C)∩(B∪C