高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市九龍坡區2024屆高三下學期二診數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（）1.設集合，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數中，，解得，即，解不等式，得或，則或，，對于A，或，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.2.已知復數z滿足，則復數z在復平面內的對應點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗設R)，則，由，得，即，所以，解得，故，所以復數z在復平面內對應的點為，位于第二象限.故選：B.3.設為正項等比數列的前n項和，已知，，則的值為（）A.20 B.512 C.1024 D.2048〖答案〗C〖解析〗設正項等比數列的公比為，則當時，由得：，不滿足，所以，則，又因為，,所以可得：，化簡得：，解得，所以，故選：C.4.民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時代遺址中發現．如圖，是一個陀螺的立體結構圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側面積為，圓柱體的側面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：B.5.過拋物線焦點的直線交該拋物線于點M，N，已知點M在第一象限，過M作該拋物線準線的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則的長度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，，則,在中，，故，即點的縱坐標為，代入中，解得，則，因，則直線的斜率為，于是，代入，整理得：，解得或，即.故.故選：C.6.有一組樣本數據0，1，2，3，4，添加一個數X形成一組新的數據，且，則新的樣本數據的第25百分位數不變的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，由于，，所以原數據和新數據的第25百分位數均為第二個數，所以，當X為1，2，3，4時，新的樣本數據的第25百分位數不變，所以，新的樣本數據的第25百分位數不變的概率是.故選：D.7.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，得，即，所以，又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得，所以.故選：A.8.已知函數的定義域是，對任意的，，，都有，若函數的圖象關于點成中心對稱，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由函數圖象關于點中心對稱，知函數圖象關于點中心對稱，所以為奇函數.令，則，所以為偶函數，對于，有，所以在上單調遞增，所以在上單調遞減.由，得，，當時，變形為，即，解得；當時，變形為，即，解得，綜上，不等式的解集為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A：∵，冪函數在上單調遞增，且，∴，故選項A錯誤；對于B：∵，∴函數在上單調遞減，又∵，∴，∴，即，故B正確；對于選項C：∵，則，冪函數在上單調遞減，且，∴，∴，故選項C正確；對于選項D：由選項B可知：，∴，∵，∴，∴，故D錯誤.故選：BC.10.已知函數的圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數C.在上單調遞增D.若，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗由函數的圖象關于直線對稱可得：，解得：，又因為，所以，即選項A是錯誤的；此時，則為偶函數，所以選項B是正確的；當，，此時正弦函數在區間上不單調，所以選項C也是錯誤的；因為，所以，而，則的最小值就是半個周期，即，所以選項D是正確的.故選：BD.11.已知，是雙曲線的左、右焦點，且，點P是雙曲線上位于第一象限內的動點，的平分線交x軸于點M，過點作垂直于PM于點E．則下列說法正確的是（）A.若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為2B.當時，面積為C.當時，點M的坐標為D.若，則〖答案〗AC〖解析〗A：易知，又雙曲線的一條漸近線方程為，則到該漸近線的距離為，又，所以，所以，得雙曲線的離心率為，故A正確；B：在中，，得，由余弦定理得，即，得，所以的面積為，又，所以，故B錯誤；C：因為，，所以，由角平分線定理可得，得，又，所以，又，所以，故C正確；D：延長交于點，連接，如圖，易知，即，所以，又分別是的中點，所以，所以，又點P在第一象限，故直線的斜率必小于漸近線的斜率，設漸近線的傾斜角為，由，得，則，即，整理得，又，所以，解得，故D錯誤.故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平面直角坐標系xOy中，已知點，，是直線上任意一點，則______．〖答案〗12〖解析〗由，，可得，設，可得，因為是直線上任意一點，所以，即，所以.13.有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為_________.（用數字作答）〖答案〗60〖解析〗當人中有三人被錄取，則不同的錄取情況數為，當4人全部被錄取，則不同的錄取情況數為，綜上不同的錄取情況數共有種.14.若函數在定義域內存在使得，則稱為“函數”，為該函數的一個“點”．設，若是的一個“點”，則實數a的值為______；若為“函數”，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗根據定義，若是一個“點”，則，即，得.若“函數”，則存在“點”，設為，則，即.不妨設，則由可知，這得到，所以；若，取，則.所以，故是的“點”，所以為“函數”.綜上，使得為“函數”的的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過棱的中點E作于點，連接．（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．（1）證明；∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點E是的中點，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）解：如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一個法向量，可看成平面的一個法向量．設平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．16.已知函數．（1）當時，求函數在點處的切線方程；（2）設函數的極大值為，求證：．（1）解：當時，，且即函數的導數：，所以函數在點的斜率，又，所以函數在點的切線方程為：，即．（2）證明：由得函數導數為：．所以當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以函數的極大值為：．要證明，即證明，設，且.則導數為：，所以當，，單調遞減，當，，單調遞增，所以，即即，所以．17.某娛樂節目闖關游戲共有三關，游戲規則如下：選手依次參加第一、二、三關，每關闖關成功可獲得的獎金分別為200元、400元、600元，獎金可累加；若某關闖關成功，選手可以選擇結束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續闖關；若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結束．選手甲參加該闖關游戲，已知選手甲第一、二、三關闖關成功的概率分別為，，，每一關闖關成功選擇繼續闖關的概率均為，且每關闖關成功與否互不影響．（1）求選手甲第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；（2）設選手甲所得總獎金為X，求X的分布列及其數學期望．解：（1）根據題意得，選手甲第一關闖關成功，但所得總獎金為零的事件分為兩類情況：第一種情況為：第一關闖關成功，第二關闖關失敗，其概率為：；第二種情況為：第一關闖關成功，第二關闖關成功，第三關闖關失敗，其概率為：；記“選手甲第一關闖關成功，但所得總獎金為零”為事件A，∴．（2）根據題意得：X的可能取值為：0，200，600，1200，∴，，，，∴X的分布列為：X02006001200P∴X的期望為：．18.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，兩焦點，與短軸的一個頂點構成等邊三角形，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與直線交于點D．①設內切圓的圓心為I，求的最大值；②設，，證明：為定值．（1）解：由題意得：解得，∴橢圓C的標準方程是．（2）如圖，①解：因為I為的內切圓圓心，則，顯然∠IAB是銳角，當且僅當∠IAB最大時，最大，即須使最大，又，則須使最小，在橢圓中，，，在中，由余弦定理，．當且僅當時取等號，即當時，為正三角形時，取得最大值，∠IAB取最大值，此時的最大值為；②證明：由（1）知，由條件可知的斜率存在且不為0，設l的方程為，則，令可得．聯立方程得，，設，，則，，由可得，則有，解得，同理．∴．故為定值．19.高斯是德國著名的數學家，近代數學的奠基者之一，享有“數學王