2024-2025學年廣東省清遠市清城區九年級（上）開學數學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

2.老師在黑板上寫了下列式子：①7-121；②—2<0；③。3；④，+2；⑤，—尹=0；@x+2y^0.

你認為其中是不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.在平面直角坐標系中,將點4（1,-2）向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點4。則

點A的坐標是（）

A.（-5,-3）B.(-3,-5)(3,-5)D.(5,-3)

4.若分式已1有意義,

則x滿足的條件是（)

x-2

A.x—2B.re7^2/排±2D.x>2

5.下列從左到右的變形哪個是分解因式（)

A.10/_5x_1=5c(2/-1)-1B.32+3y=dxy

C.—ci+6=—(b—a)D.x2—8a:+16=(a?—4)2

6.如圖，在口/BCD中，。E平分/4D。，AD=6.3E=2,則CD的長是（

A.2

B.3

C.4

D.5

7.如圖，在△48。中，AB=AC,ABAC=120°,。是8c的中點,

OELAB于點E,若石4=2，則_8石=（）

A.3B.4C.6D.8

8.下列不能判定四邊形是平行四邊形的條件是（）D

第1頁，共19頁

B

A.ZA=ZC.ZB=ZD

B.AB//CD,AD//BC

C.AB//CD,AD=BC

D.AB=CD，AD=BC

9.如圖，在△48。中，NC=90°,點￡是NC上的點，且/1=/2,垂直

平分垂足是D,如果EC=3cm，則/E等于（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

10.一次函數見=丘￡+6與92=力+。的圖象如圖，則下列結論

?k>0;?a>0；③b>0；④當/<3時，ko；+b>c+a中，正

確的是（）

A.③④

B.①②

C.①③

D.②④

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.不等式組］:>7的解集是____.

IoX>0

7,-I-THT

12.若關于x的分式方程匕萬—4=-1無解，則用的值是____.

x—22—x

13.分解因式：x5y2-x3y2=.

14.如圖，在口48CD中，的平分線交4D于點E,的平分線交

ZD于點尸，若4B=3,AD=4,則昉的長是.

15.如圖，在△AB。中，AB=BC，將△48。繞點2順時針旋轉a

度，得到△AiBCi,4歸交/C于點E,4Qi分別交/C,8c于點D,

第2頁，共19頁

F,下列結論：①NCDF=a，②&iE=CP，③DF=FC，④AD=CE，⑤4F=CE其中正確的

是（寫出正確結論的序號）.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題8分）

X—3（/—2）24

1+2c.

{1

17.（本小題8分）

2

先化簡再求值：（x+3-7-?r——S竺r，再從2WcW4中選一個適合的整數代入求值.

a:—3x—3

18.（本小題8分）

如圖，（W平分/POQ,MAWP，AfBLOQ,4,2為垂足，A3交（W于點N.求證：AOAB=AOBA.

19.（本小題9分）

如圖，在△?46。中，AB=4cm,AC=6cm.

（1）作圖：作邊的垂直平分線分別交與NC,3C于點。，E（用尺規作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作

法）；

（2）在（1）的條件下，連結2。，求△AB0的周長.

20.（本小題9分）

如圖，△48。三個頂點的坐標分別為A。/），3（4,2）,C（3,4）.

（1）請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△48iQ；

第3頁，共19頁

(2)請畫出△AB。關于原點。成中心對稱的圖形44232c2；

⑶在x軸上找一點尸，使P4+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標.

J--」與j—

21.(本小題9分)

媛媛爸爸銷售工、2兩種品牌的衣服，8月份第一周售出/品牌衣服3件和2品牌衣服4件，銷售額為1000

元，第二周售出N品牌衣服17件和3品牌衣服8件，銷售額為4200元.

(1)求/、2兩種品牌衣服的售價各是多少元？

(2)已知8月份/品牌衣服和8品牌衣服的銷售量分別為1000件、500件，9月份是衣服銷售的旺季，為拓

展市場、薄利多銷,媛媛爸爸決定9月份將/品牌衣服和B品牌衣服的銷售價格在8月份的礎上分別降低m%?

|m%,9月份的銷售量比8月份的銷售量分別增長300件、100件.若9月份的銷售額不低于233000元，求

m的最大值.

22.(本小題12分)

如圖，在四邊形48C。中，AD//BC,延長3C到￡,使=連接交CD于點尸，點尸是CO

的中點.

求證：

(l)AADF2AECF.

(2)四邊形ABCD是平行四邊形.

第4頁，共19頁

23.(本小題12分)

如圖1,已知中，AB=BC，=2,把一塊含30°角的三角板。斯的直角頂點。放在/C

的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為0F),點C在。￡上，點2在。尸上.

(1)求重疊部分△B。。的面積；

(2)如圖2,將直角三角板。即繞。點按順時針方向旋轉30度，DE交BC于點、M,DF交AB于點、N,①請

說明。M=ON;②在此條件下重疊部分的面積會發生變化嗎？若發生變化，請求出重疊部分的面積，若

不發生變化，請說明理由；

(3)如圖3,將直角三角板。跖繞。點按順時針方向旋轉a度(0<a<90),DE交BC于點、M,DF交AB

于點N,則。刊=ON的結論仍成立嗎？重疊部分TN的面積會變嗎？(請直接寫出結論不需說明理

由)

第5頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A,此圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

2、此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B.

根據中心對稱圖形的定義：旋轉180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如

果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對

稱軸，即可判斷出答案.

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念即可，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：根據不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，

所以：①7—1)1；②一2<0；③的?；⑥x+24(0.為不等式，共有4個.

故選：C.

主要依據不等式的定義一--用“>"、“》"、“<”、"W"、?等不等號表示不相等關系的式子是

不等式來判斷.

本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解答此類題關鍵是要識別

常見不等號：六

3.【答案】C

【解析】解：將點力。,一2)向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點若。則點A的坐標

是(1+2,—2—3),即4(3,—5).

故選：C.

利用點平移的坐標規律，把/點的橫坐標加2,縱坐標減3即可得到點A的坐標.

此題主要考查坐標與圖形變化-平移，熟練掌握平移的性質是解答本題的關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：根據題意得：x-2^0,

辦2,

第6頁，共19頁

故選：B.

分式有意義的條件是分母不等于0.

本題考查了分式有意義的條件，根據分母不等于0列出不等式是解題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】解：/、沒把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，故/錯誤；

B、是整式的加法，且3x,3y不是同類項，不能合并，故8錯誤；

C、是整式的添括號，且運算本身錯誤，故C錯誤；

。、把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，故。正確；

故選：D.

因式分解是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，注意區分因式分解與整式乘法的區別.根據因式分解

是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，可得答案.

本題考查了因式分解的意義，理解因式分解的意義是關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：?.?四邊形N2CD是平行四邊形，

：,AB=CD,AD=BC=6,AD//BC,

:"ADE=/DEC，

平分NAD。，

：.ZADE=ZCDE,

:"CDE=NDEC，

:.CE=DC，

?.-BC=6-BE=2,

，。。=。石=6-2=4,

故選：C.

根據平行四邊形的性質得出AB=CD，AD=BC=6,根據平行線性質求出AADE=ADEC，

根據角平分線定義求出NAOE=NODE,推出/COE=NOE。，推出求出CD即可.

本題考查了平行四邊形的性質，角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的性質和判定的應用，解此題

的關鍵是求出CA的長，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，難度適中.

7.【答案】C

【解析】解：?.?在△ABC中，AB=AC^120°，。是8C的中點，

：.AD±BC>NB=NC=30°，

第7頁，共19頁

.?.ZADC=90%

?.?。石，48于點￡,EA=2,

，NOE4=90°，/DEB=90°，

：,ABAD=60°，AEDA=30°>

：,AD=2AE=4：,

AB=2AD=8)

：,BE=AB-AE^8-2=6,

故選：C.

根據在△43。中，AB=AC^/BA。=120°，。是BC的中點，DE上AB于點E,EA=2,可以求得

ADIBC>/8=/C，以及/8和/C的度數，從而可以求得43的長，從而可以求得BE的長，本

題得以解決.

本題考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

8.【答案】C

【解析】解：/、?.?/4=/。，乙B二LD,

,四邊形N3CD是平行四邊形，故本選項不符合題意；

B、-.-AB//CD,AD//BC,

二,四邊形/BCD是平行四邊形，故本選項不符合題意；

C,-.-AB//CD,AD=BC,

二四邊形N3CD可能是等腰梯形，故本選項符合題意；

D、?：AB=CD,AD=BC，

二四邊形N3CD是平行四邊形，故本選項不符合題意.

故選：C.

根據平行四邊形的判定定理和平行線的性質判斷即可.

本題考查了平行四邊形的判定定理和平行線的性質，判定一個四邊形是平行四邊形的方法有：①有一組對

邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有兩組對角分別

相等的四邊形是平行四邊形，④有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形

是平行四邊形.

9.【答案】C

【解析】解：垂直平分

：.AE=BE,

第8頁，共19頁

Z2=ZA，

?.-Zl=N2,

/.A=Zl=Z2，

?.-ZC=90°，

ZA=Zl=Z2=30°，

?.-Zl=Z2，EDLAB,"=90°，

：,CE=DE=3cm,

在RtzXADE中，/ADE=90°，/4=30°，

AE=2DE=6cm<

故選：C.

求出J4E=_BE,推出NA=/I=N2=30°,求出_DE=CE=3cm■,根據含30度角的直角二角形性質求

出即可.

本題考查了垂直平分線性質，角平分線性質，等腰三角形性質，含30度角的直角三角形性質的應用，關鍵

是求出Z4=30°和得出DE的長.

10.【答案】A

【解析】解：?.?一次函數見=+6經過第一、二、三象限，

.-,k<Q,b>0,所以①錯誤，③正確；

?.?直線&的圖象與了軸的交點在x軸下方，

.-.a<0,所以②錯誤；

當2<3時，沙1>。2,即+6>立+a所以④正確.

故選：A.

根據一次函數的性質對①②③進行判斷;利用函數圖象，當/<3時，一次函數以=for+b在直線於=x+a

的上方，則可對④進行判斷.

本題考查了一次函數與一元一次不等式，解答本題的關鍵要明確：一次函數與一元一次不等式的關系從函

數的角度看，就是尋求使一次函數?/=卜2+匕的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角

度看，就是確定直線沙=卜2+匕在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

11.【答案】x>4

2z—1>7①

【解析】解:

3x>6②

由①得：x>4,

第9頁，共19頁

由②得：x>2,

不等式組的解集為：x>4.

故答案為：x>4.

首先分別計算出兩個不等式的解集，再根據大大取大確定不等式組的解集.

此題主要考查了一元一次不等式組的解法，關鍵是掌握解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間

找；大大小小找不到.

12.【答案】—4

3x+m-2

即---------二0,

x—2

71-I-7777,

由方程二K—一=—1無解，則3x2+m—2=0,

x—22—x

解得：m=-4,

2T-I-TD

方程」^=—1,即2/+加=力一2,

x—2

當方程有增根時，力=2,止匕時2x2+m=2—2,

解得：6=一4,

綜上，m=-4,

故答案為：一4.

化簡方程可得過士?=一1，結合題意可知3x2+m-2=0,由此得到〃?的值.

本題考查分式方程的求解及增根問題，掌握解分式方程是解題關鍵.

13.【答案】x3y2(x+l)(x-1)

【解析】解：x5y2-x3y2

=島2(/—])

=x3y2(x+1)(/—1),

故答案為：x3y2(x+l)(a?—1).

直接提取公因式川力，再利用平方差公式分解因式即可.

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如

果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

14.【答案】2

第10頁，共19頁

【解析】解：1?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD//CB,AB=CD=3,AD=BC=4,

：.ADFC=AFCB,

又：CF平分/BCD,

：,ADCF=AFCB,

：,ADFC=ADCF，

：,DF=DC=3,

同理可證：AE=AB=3,

AF=DE

?/AD=4,

AF=4—3=1,

/.EF=4—1—1=2.

故答案為：2.

根據平行四邊形的性質證明。F=。。，AE=AB，進而可得/尸和即的長，然后可得答案.

本題主要考查了平行四邊形的性質，解決本題的關鍵是在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可利用

等腰三角形的性質解題.

15.【答案】①②⑤

【解析】解：①/。=/。1（旋轉后所得三角形與原三角形完全相等）

又：ADFC=NBFG（對頂角相等）

："CDF=NCiBF=a,故結論①正確；

②？AB=BC，A-"：：''/：■■■■y-C,

：,N4=NC,

:.AAX=AC,

在△AiBF和△CBE中

ZAi=AC

ArB=CB

Z.AXBF=ZCBE

...△ApBF之△CBE(ASA),

:,BF=BE,

：.AXB-BE=BC-BF,

第H頁，共19頁

：.AiE=CF,故②正確；

③在三角形DFC中，N。與不一定相等，所以。尸與尸C不一定相等，

故結論③不一定正確；

④?.?4E不一定等于CD,

40不一定等于CE,

故④錯誤.

@ZAi=ZC,BC=AiB,NAiBF=NCBE

/XAiBF^/\CBE{ASA）

那么ArF=CE.

故結論⑤正確.

故答案為：①②⑤.

①兩個不同的三角形中有兩個角相等，那么第三個角也相等；

②根據ASA進而得出博加0/\CBE,即可得出AXE=CF；

③NCDF=a，而NO與順時針旋轉的度數不一定相等，所以。尸與FC不一定相等；

@AE不一定等于CD,則AD不一定等于CE,

⑤用角角邊證明△/iBFgACBE后可得AiF=CE.

此題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質.此題難度適中，注意掌握旋轉

前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想的應用.

16.【答案】解：由z—3（2—2）》4,得：7<1,

由—L得：x>4,

則不等式組無解.

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

丁2-o7T—3

17.【答案】解：原式=（一9—-（八

\力一3x-32x{x-4）

x2—16力一3

力一32力（力—4）

（1—4）（優+4）x—3

力一32x{x—4）

第12頁，共19頁

①+4

2x

在24/<4中，整數x有2、3、4,

由題意得：a#3，4,

:.x=2<

當十=2時，原式9=J號-4=1R

【解析】根據分式的減法法則、除法法則把原式化簡，根據分式有意義的條件確定X的值，代入計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，解題的關鍵是掌握分式的混合運算法則.

18.【答案】證明：:OM平分/POQ,MA1OP，MB1OQ,

：.AM=BM.

在Rt/XAOM和中，（?以

Iyiyvz—IDjvi

：,OA^OB,

：,AOAB=AOBA.

【解析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得=然后利用“HL”證明RtA4O&T和

Rtz^BOM全等，根據全等三角形對應邊相等可得。4=。8,再根據等邊對等角的性質即可得證.

本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質，

熟記性質是解題的關鍵.

(2)如圖2,

第13頁，共19頁

?「DE是8C邊的垂直平分線，

：,BD=DC,

-：AB=4：cm<AC=Qcm.

：,△AB0的周長=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm.

【解析】（1）運用作垂直平分線的方法作圖，

⑵運用垂直平分線的性質得出BD=DC，利用△ARD的周長=AB++4。=AB+4。即可求解.

本題主要考查了作圖-復雜作圖及垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟記作垂直平分線的方法.

20.【答案】解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2所示:

第14頁，共19頁

?x;

⑶找出N的關于x軸的對稱點4(1,—1),

連接BA，與x軸交點即為點P；

如圖3所示：點尸坐標為(2,0).

【解析】本題考查了利用平移變換作圖、旋轉變換作圖(關于原點成中心對稱的點的坐標特征)、軸對稱-

最短路線問題有關知識.

(1)根據網格結構找出點/、2、C平移后的對應點的位置，然后順次連接即可；

(2)找出點/、B,。關于原點。的對稱點的位置，然后順次連接即可；

(3)找出點/的關于x軸的對稱點連接BA，與x軸交點即為點P.

21.【答案】解：(1)設/品牌的保暖衣服售價為x元/件，8品牌的保暖衣服售價為y元/件,

根據題意得：｛-XV黑,

解得:｛；湍

經檢驗：符合題意，

答：/、8兩種品牌保暖衣服的售價各是200元和100元;

第15頁，共19頁

(2)由題意得，9月份/品牌保暖衣服銷售量為1000+300=1300(件)，

B品牌保暖衣服的銷售量為500+100=600(件)，

則1300x200(1-m%)+600x100(1-1m%)2233000,

解得：6430,

即:m的最大值為30.

【解析】(1)根據“/品牌保暖衣服3件和8品牌保暖衣服4件，銷售額為1000元，第二周售出/品牌保暖

衣服17件和B品牌保暖衣服8件，銷售額為4200元”建立方程組求解即可得出結論；

(2)先確定出9月份兩種品牌的保暖衣服的單價和銷售量，最后用“9月份的銷售額不低于233000元，”建

立不等式求解即可得出結論.

此題主要考查了一元一次不等式和二元一次方程組的應用，審題題意，找出相等關系和不等關系是解本題

的關鍵.

22.【答案】證明：⑴

:.NDAF=NE,

?.?點尸是CD的中點，

：,DF=CF,

在△4DF與△EOF中，

'ADAF=ZE

<ZAFD=AEFC,

DF=CF

/\ADF^/\ECF{AAS)；

(2)^ADF^/XECF,

：,AD^EC,

-：CE=BC，

：,AD=BC,

-：AD//BC,

四邊形/BCD是平行四邊形.

【解析】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質有關知識.

⑴根據平行線的性質得到NZMF=NE,根據線段中點的定義得到。F=。F，根據全等三角形的判定定

理即可得到結論；

第16頁，共19頁

(2)根據全等三角形的性質得到4。=EC，等量代換得到4。=8。，根據平行四邊形的判定定理即可得

到結論.

23.【答案】解：(1)依題意，點3在。咒上.

在中，ZABC=90°>

-：AB=BC,AC=2,。為NC的中點，

CD=AD=BD=—AC=1,

則