專題18三角形及全等三角形（40題）

一、單選題

1.（2024?陜西?中考真題）如圖，在ABC中，ABAC=90°,AO是BC邊上的高，E是。C的中點(diǎn)，連接4E,

則圖中的直角三角形有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】本題主要考查直角三角形的概念.根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷.

【詳解】解：由圖得△AB。，ABC,AADC,VADE為直角三角形，

共有4個(gè)直角三角形.

故選：C.

2.（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段3。一定是ABC的（）

A.角平分線B.高線C.中位線D.中線

【答案】B

【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得3。，AC,從而可得答案.

【詳解】解：由作圖可得：BD1AC,

線段BD一定是,ABC的高線；

故選B

3.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）將一個(gè)含30。角的三角尺和直尺如圖放置，若4=50。，則N2的度

數(shù)是（）

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【答案】B

【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求

解.

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故選：B.

4.（2024.四川涼山.中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)43,連接作AB的垂直平分線8交48于點(diǎn)。，交A?于點(diǎn)C,

測(cè)出"=40cm,10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí).由垂徑定理，可得出50的長(zhǎng)；設(shè)圓心為。，連接08,在

及△08。中，可用半徑表示出0。的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的

直徑長(zhǎng).

【詳解】解：：8是線段48的垂直平分線，

直線CO經(jīng)過(guò)圓心，設(shè)圓心為0,連接03.

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RtAOBD中,BD=-AB=20cm,

2

根據(jù)勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即：

（C?B-10）2+202=（9B2,

解得:08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.（2024?云南?中考真題）已知AF是等腰ABC底邊上的高，若點(diǎn)尸到直線的距離為3,則點(diǎn)尸到

直線AC的距離為（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到"平分/B4C,再角平分線的性質(zhì)定理即可求解.

【詳解】解:如圖，

是等腰ASC底邊上的高，

?e?AF平分^BAC,

/.點(diǎn)尸到直線AB,AC的距離相等，

???點(diǎn)尸到直線48的距離為3,

點(diǎn)尸到直線AC的距離為3.

故選：C.

6.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90,DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)。，若ACD

的周長(zhǎng)為50cm,貝i]AC+3C=（）

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45cmC.50cmD.55cm

【答案】c

【分析】本題考查了線段垂直平分線的的性質(zhì)，由線段垂直平分線的的性質(zhì)可得A3=血，進(jìn)而可得二ACD

的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CD+=AC+3C=50cm,即可求解，掌握線段垂直平分線的的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：垂直平分A3,

/.AD=BD,

ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CD+3D=AC+3C=50cm,

故選：C.

7.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點(diǎn)A,點(diǎn)8為圓心，大

于［AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)E,尸作直線交AC于點(diǎn)O,連接80,則△BCD的周

2

長(zhǎng)為（）

8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明AD=BD,根據(jù)△3CD的

周長(zhǎng)=3￡）+8+3。=4）+8+小7=4。+30即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，E尸垂直平分A8,

AD=BD,

.,.△BCD的周長(zhǎng)=+CD+3C=+CD+8C=AC+3C,

AB=AC=6,BC=4,

.?.△BCD的周長(zhǎng)=6+4=10,

故選：C.

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8.（2024?湖北.中考真題）平面坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,6）,將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（4,6）B.（6,4）C.（Y,—6）D.（―6,Y）

【答案】B

【分析】本題考查坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn).過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)A分別作x軸的垂線，證明Q4'C（AAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6?據(jù)此求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)4分別作％軸的垂線，垂足分別為BC,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,6）,

OB=4,AB=6,

??,將線段Q4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IJ04,

r

：.OA=OAfZAOA=90°f

ZAOB=90°-ZA'OC=ZOAC,

.AO3-OA'C（AAS）,

A'C=OB=4,OC-AB=6,

?e?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,4）,

故選：B.

9.（2024.北京?中考真題）下面是“作一個(gè)角使其等于NAOB”的尺規(guī)作圖方法.

（1）如圖，以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交Q4,。3于點(diǎn)C,D；

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B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等

【答案】A

【分析】根據(jù)基本作圖中，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，解答即可.

本題考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，熟練掌握作圖的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)上述基本作圖，可得OC=O'C',OD=O'iy,CD=C'D',

故可得判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊，

故選A.

10.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點(diǎn)。為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影

部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線是否過(guò)點(diǎn)

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。判斷即可.

【詳解】解：由圖形可知，陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱的是C,

故選：C.

H.（2024?青海?中考真題）如圖，0c平分/A03,點(diǎn)P在0c上，PDLOB,PD=2,則點(diǎn)尸到。4的

距離是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理.過(guò)點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=BD,

即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作PELOA于點(diǎn)E,

D

平分/AO3,PD1OB,PELOA,

：.PE=PD=2,

故選：C.

12.（2024.四川涼山?中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放,點(diǎn)E在A8的延長(zhǎng)線上,當(dāng)DFAB

時(shí)，NEDF的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.證明

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ZAED=ZFDE=30°,再利用NED3=NABC-NAED,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：Z￡E）F=30°,ZABC=45°,

,/DF//AB,

ZAED=ZFDE=30°,

Z.EDB=ZABC-ZAED=45°-30°=15°；

故選B.

13.（2024?天津?中考真題）如圖，Rt^AfiC中，ZC=90°,ZB=40°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

交A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸；再分別以點(diǎn)為圓心，大于;EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧（所在圓的半徑

相等）在ZB4c的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫(huà)射線相，與BC相交于點(diǎn)。，則—ADC的大小為（）

A不B

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

【分析】本題主要考查基本作圖，直角三角形兩銳角互余以及三角形外角的性質(zhì)，由直角三角形兩銳角互

余可求出N54C=50。，由作圖得440=25。，由三角形的外角的性質(zhì)可得/ADC=65。，故可得答案

【詳解】解:VZC=90°,ZB=40°,

ABAC=90°—NB=90°-40°=50°,

由作圖知，AP平分/B4C,

/.ABAD=-ABAC=-x50°=25°,

22

XZA￡>C=ZB+ZBAD,

ZADC=400+25°=65°,

故選：B

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在ABC中，AB=3y/2,AC=2,以2C為邊作RtBCD,BC=BD,

點(diǎn)。與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，則AD的最大值為（）

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A.2+372B.6+20C.5D.8

【答案】D

【分析】如圖，把ABC繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到乙HBD,求解AH=VAB2+BH2=6，結(jié)合AD4DH+AH，

（A,H,。三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），從而可得答案.

【詳解】解：如圖，把，ABC繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△HBD,

ZABH=90°,

?*-AH=VAB2+BH2=6，

'：AD<DH+AH,（A",。三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）,

的最大值為6+2=8,

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，二次根式的乘法運(yùn)算，做出合

適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

15.（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）某班開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下,

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)

和判定，根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的方法，OP為/A08的平分線;

第二個(gè)圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

AC=BD,

'：ZAOD^ZBOC,

：./\AOD^/\BOC,

第9頁(yè)共31頁(yè)

NOAD=NOBC,

?：AC=BD,ZBPD=ZAPC,

：.BPD^tAPC,

：.AP=BP,

'：OA=OB,OP=OP,

：.△AOP^ABOP,

：.ZAOP=ZBOP,

；.0P為/AC?的平分線；

第三個(gè)圖，由作圖可知NACP=NAOB,OC=CP,

CP//BO,/COP=NCPO,

：.?CPO?BOP

：.ZCOP=ZBOP,

為NAOB的平分線；

第四個(gè)圖，由作圖可知：OP1CD,OC=OD,

為NAOB的平分線；

故選D.

16.（2024?安徽?中考真題）在凸五邊形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,尸是CO的中點(diǎn).下列條件中，

不能推出AF與CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB./RAF=/FAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形

的判定的方法是解題的關(guān)鍵.

利用全等三角形的判定及性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定，結(jié)合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證得結(jié)論.

【詳解】解:A、連接AC、AD,

第10頁(yè)共31頁(yè)

.AC3烏ADE(SAS),

AC=AD

又：點(diǎn)廠為CD的中點(diǎn)

AAFLCD,故不符合題意;

B、連接BREF,

VAB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

.ABF^AEF(SAS),

:.BF=EF,ZAFB^ZAFE

又：點(diǎn)尸為CO的中點(diǎn)，

CF=DF,

'：BC=DE,

；._CBF￡DEF(SSS),

NCFB=ZDFE,

：.ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

：.AF1CD,故不符合題意；

C、連接3REF,

;點(diǎn)尸為C￡＞的中點(diǎn)，

CF=DF,

'：NBCF=Z.EDF,BC=DE,

第11頁(yè)共31頁(yè)

；..CBF且ADEF(SAS),

:.BF=EF,NCFB=ZDFE,

VAB=AE,AF=AF,

：..ABF^AEF(SSS),

/.ZAFB=ZAFE,

：.ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

AAFLCD,故不符合題意；

D、ZABD=ZAEC,無(wú)法得出題干結(jié)論，符合題意；

故選：D.

17.(2024?浙江?中考真題)如圖，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形(△A8E,ABCRZ\CDG,ADA//)和

中間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE.若AE=4,5E=3,則DE=()

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的信紙，求得HE的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可

解答，利用全等三角形的性質(zhì)得到“E=1是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:是四個(gè)全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB,DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=1,

四邊形EFG”為正方形，

:.ZDHE=90°,

DE=[DH?+HE，=而，

故選：C.

18.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程/_10x+21=0的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形

的周長(zhǎng)為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

第12頁(yè)共31頁(yè)

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長(zhǎng)，由方程可得再=3,

%=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長(zhǎng)為3,腰長(zhǎng)為7,進(jìn)而即可求出三角形的周長(zhǎng)，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程一一10刀+21=0得，為=3,x2=7,

V3+3<7,

???等腰三角形的底邊長(zhǎng)為3,腰長(zhǎng)為7,

.,?這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+7+7=17,

故選：C.

二、填空題

19.（2024?四川成都?中考真題）如圖，AABC沿ACDE,若NO=35。，/ACB=45。，則/OCE的度數(shù)

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出

NCED=ZACB=45。，再利用三角形內(nèi)角和求出/DCE的度數(shù)即可.

【詳解】解：由八旬。絲△CDE,ZD=35°,

：.NCED=ZACB=45°,

'：ZD=35°,

：.ZDCE=180°-ZD-ZCED=180°-35°-45°=100°,

故答案為：100。

20.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，在.ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（3,4）,點(diǎn)。在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△AB。與，ABC全等，點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

第13頁(yè)共31頁(yè)

【答案】（1,4）

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，三角形全等的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點(diǎn)O在第一

象限（不與點(diǎn)C重合），且△鈿￡＞與ABC全等，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形的對(duì)稱性可直接得出

【詳解】解：：點(diǎn)。在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△ABD與二ABC全等，

AAD=BC,AC=BD,

.?.可畫(huà)圖形如下，

由圖可知點(diǎn)C、D關(guān)于線段AB的垂直平分線x=2對(duì)稱，則。（1,4）.

故答案為：。,4）.

21.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，ABC中，。是AB上一點(diǎn)，CF//AB,D、E、P三點(diǎn)共線,

請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得=（只添一種情況即可）

【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答.根

據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫(xiě)出添加的條件，注意本題答案不唯一.

第14頁(yè)共31頁(yè)

【詳解】解：：CF〃AB

ZA^ZECF,ZADE=ZCFE,

；?添加條件DE=EF,可以使得。ADE^CFE（AAS）,

添加條件AD=CF,也可以使得:ADE%CFE（ASA）,

AE=CE；

故答案為：DE=EF或AD=CF（答案不唯一）.

22.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，ABC中，BCD=30°,N4CB=80。，CD是邊AB上的高，AE是

/C4S的平分線，則NAEB的度數(shù)是.

【答案】100。/100度

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義.先求出NACD=5O。，結(jié)合高的定義,

得NZMC=40。，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得NC4E=20。，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答.

【詳解】解：V^BCD=30°,/ACB=80。，

ZACD=50°,

：8是邊A8上的高，

AZADC=90°,

ZZMC=40°,

：AE是的平分線，

ZCAE=-ZDAC=20°,

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20°+80°=100°.

故答案為：100。.

23.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，直線。b,直線Ua,Zl=120°,則N2=

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【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出/3的度數(shù),

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得至！］/3=90。+/2,即可求出N2的度數(shù).

【詳解】解:?:ab,

：.Z3=Z1=12O°,

I±a,

：./3=/2+90。，

Z2=30°；

故答案為：30.

24.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.則NA=

【答案】66

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得NE=NC=33°,

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得NOOE=66。，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：：OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

ZDOE=ZE+ZC=66°,

'：AB//CD,

：.ZA=ZDOE=66°,

故答案為：66.

25.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知NAO3=50。，點(diǎn)尸為/AO3內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線Q4、

點(diǎn)N為射線02上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)cPMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則.

第16頁(yè)共31頁(yè)

A

【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)尸關(guān)于。4,

02的對(duì)稱點(diǎn)跖P2.連接。耳OP2.則當(dāng)N是《舄與Q4,02的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，根據(jù)

對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：作P關(guān)于。4,的對(duì)稱點(diǎn)與P2.連接。耳OP2.則當(dāng)N是耳￡與。4,。8的交點(diǎn)

時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最短，連接《尸、P2P,

P、［關(guān)于Q4對(duì)稱,

NROP=2/MOP,OF[=OP,P{M=PM,ZOP{M=ZOPM,

同理，/P20P=2/NOP,OP=OP2,AOP2N=ZOPN,

,APXOP2=/ROP+/ROP=2(NMOP+NNOP)=2ZAOB=100°,OPX=OP2=OP,

△《Og是等腰三角形.

AOP2N=AOP{M=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+NO《M=80°

故答案為：80°.

26.（2024?四川廣元?中考真題）點(diǎn)方是正五邊形ABCD￡邊。石的中點(diǎn)，連接5廠并延長(zhǎng)與CD延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)G,則/3GC的度數(shù)為.

第17頁(yè)共31頁(yè)

A

【分析】連接8。，8E,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證ABE^CBD（SAS）,得至115￡=血，進(jìn)而得到BG是。E

的垂直平分線，即/?G=90。，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到/FDG=72。，

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解：連接80,BE,

:五邊形ABCDE是正五邊形，

AS=5C=CD=AE,ZA=ZC

.ABE^_CBD（SAS）,

/.BE=BD,

:點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，

?*.3G是。E的垂直平分線，

ZDFG=90°,

52xl8

:在正五邊形ABCDE中，ZCDE=（-）°=1080；

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

Z.G=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案為：18。

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角

和定理，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

27.（2024?湖南?中考真題）如圖，在銳角三角形A3C中，AO是邊3c上的高，在胡，BC上分別截取線

段8E,BF,使BE=BF；分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于;EP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在/ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)

P,作射線3尸，交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N.若MN=2,AD=4MD,則AM=.

第18頁(yè)共31頁(yè)

c

p

一

ANyEB

【答案】6

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)作圖可知平分/ABC,根據(jù)角平分線的

性質(zhì)可知AM=MV=2,結(jié)合A￡>=4A/D求出AD,AM.

【詳解】解：作圖可知3P平分，ABC,

：A￡）是邊8c上的高，MNJ.AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

'：AD=4MD,

：.AZ）=8,

AM=AD-MD=6,

故答案為：6.

28.（2024.重慶?中考真題）如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)。，使C￡>=C4,過(guò)點(diǎn)。作D底〃CB,且DE=OC,

連接AE交3c于點(diǎn)b.^ZCAB=ZCFA,CF=1,則防=.

【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例證AF=EF,進(jìn)而得DE=CD=AC=2CF=2,AD=4,再證明

CAB^DEA,得BC=AD=4,從而即可得解.

【詳解】解：：CD=C4,過(guò)點(diǎn)。作r>E〃CB,CD=CA,DE=DC,

FACA

：.——=——=1,CD=CA=DE,

FECD

：.AF=EF,

：.DE=CD=AC=2CF=2,

：.AD=AC^CD=4f

■:DE//CB,

:?NCFA=/E,/ACB=ND,

■:ZCAB=ZCFAf

第19頁(yè)共31頁(yè)

:./CAB=/E,

VCD^CA,DE=CD,

，CA=DE,

,CAB^DEA,

BC=AD=4,

：.BF=BC—CF=3,

故答案為：3,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判

定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

29.（2024?陜西?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,E是邊43上一點(diǎn)，連接CE,在BC右側(cè)作"〃AC,

且族=AE,連接CP.若AC=13,3c=10,則四邊形EBFC的面積為.

【答案】60

【分析】本題考查等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理:過(guò)點(diǎn)C作◎7±AB,CNLBF,

根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出=產(chǎn)，進(jìn)而得到aw=OV,得到S<M=SACE，進(jìn)而得

到四邊形￡BFC的面積等于設(shè)AM=X,勾股定理求出0/的長(zhǎng)，再利用面積公式求出ABC的面

積即可.

【詳解】解：=

：.ZABC=ZACB,

'：BF//AC,

：.ZACB=NCBF,

：.ZABC=NCBF,

：.BC^ZABF,

過(guò)點(diǎn)C作◎/_L四，CN±BF,

第20頁(yè)共31頁(yè)

c

**S=—AE-CM,S=—BF-CN,且BF=AE,

ACE22CBF

???Q0,CBF—-QuACE，

J四邊形仍尸。的面積=SCBF+sCBE=SACE+sCBE=S.CBA

AC=13,

AB=13,

設(shè)=則：BM=13-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM1=BC2-BM2,

A132-X2=102-(13-X)2,

SCRA=—AB-CM=60,

四邊形￡BPC的面積為60.

故答案為：60.

30.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

交x軸正半軸于點(diǎn)交y軸正半軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩

弧在第一象限交于點(diǎn)X,畫(huà)射線由，若H(2"l,a+1),則。=

第21頁(yè)共31頁(yè)

【答案】2

【分析】此題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)打在第一

象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可得答案.

【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)打在第一象限角平分線上；點(diǎn)打橫縱坐標(biāo)相等且為正數(shù)；

2a—1=々+1,

解得：a-2,

故答案為：2.

31.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在ASC中，ZDC￡=40°,AE^AC,BC=BD,則/ACB的度

數(shù)為;

【答案】100。/100度

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，角的和差.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NCDE+NCED=140。，根據(jù)AE=AC,3c=3。得至=,

ZBCD=ZBDC,從而/ACE+/BCD=140。，根據(jù)角的和差有/4CB=NACE+/BCD-NCDE,即可解

答.

【詳解】解：：NDCE=40。，

二ZCDE+ZCED=180°-Z.DCE=140°,

'：AE=AC,BC=BD,

：.ZACE^ZAEC,NBCD=NBDC,

：.ZACE+/BCD=ZCDE+NCED=140°

ZACB=ZACE+/BCE=ZACE+/BCD-Z.CDE=140°—40°=100。.

故答案為：100°

三、解答題

32.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）知：如圖，AB平分/CW,AC^AD.求證：NC=/D.

第22頁(yè)共31頁(yè)

AB

D

【答案】見(jiàn)解析

【分析】利用SAS證明ACNB/ADAS,即可證明/C=/O.

【詳解】解：四平分/C4D,

:.ZCAB^ZDAB,

在ACAB和AZMS中,

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

AC4B^ADAB(SAS),

.'.ZC=ZD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角形的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

33.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

⑵若ZA=55。，ZE=45°,求/戶的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練地掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵.

(1)先證明45=。后，再結(jié)合已知條件可得結(jié)論；

(2)證明NA=NFDE=55。，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.

第23頁(yè)共31頁(yè)

【詳解】（1）證明：=

/.AD+DB=BE+DB,^AB=DE

VAC=DF,BC=EF

.ABC區(qū)DEF（SSS）

（2）,/△ABC出ADEF,ZA=55。，

ZA=ZFDE=55°,

NE=45。，

/?ZF=180-ZFDE一NE=80°

34.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則AB=CZX

請(qǐng)從①CE〃。/；②CE=DF；③NE=N尸這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件(寫(xiě)序號(hào))，使結(jié)論成立，并

說(shuō)明理由.

【答案】①或③(答案不唯一)，證明見(jiàn)解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA=/FBD,ND=NEC4,再

由全等三角形的判定和性質(zhì)得出47=3。，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形

的判定得出AEgBFD(SAS),結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：選擇①CE；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=NFBD,ND=NECA,

'：AE=BF,

：..AEC^BFD(AAS),

AC=BD,

；.AC—BC=BD—BC,即AB=CD；

選擇②CE=D產(chǎn)；

無(wú)法證明AAEC絲ABFD,

無(wú)法得出AB=CD；

選擇③NE=NP；

第24頁(yè)共31頁(yè)

9AE//BF,

：.ZA=ZFBD,

?：AE=BF,ZE=NF,

???AEC竺RFD（ASA）,

AC—BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=CD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

35.（2024?廣西?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=45°,AC>BC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線/,分別交AS,AC于點(diǎn)O,E：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法,

標(biāo)明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接BE,若AB=8,求8E的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)詳解

⑵40

【分析】（1）分別以A、8為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，分別交AB,AC于點(diǎn)。，E,作直線OE,則

直線/即為所求.

（2）連接3E,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出班=A￡,由等邊對(duì)等角可得出/EBA=NA=45。，由三角

形內(nèi)角和得出/班A=90。，則得出一ABE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出8E的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：如下直線/即為所求.

（2）連接8E如下圖:

第25頁(yè)共31頁(yè)

VOE為線段A8的垂直平分線，

BE=AE,

：.ZEBA=ZA=45°,

：.ZBEA=9Q0,

???為等腰直角三角形，

..BEy/2

??sinAA=--=-----,

AB2

，BE=AB--=^—=^y[2

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

36.(2024?四川南充?中考真題)如圖，在ABC中，點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作BE〃AC交AD的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：BDE&CDA.

(2)若求證：BA=BE

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：

(1)由中點(diǎn)，得到由3E〃AC,得到NE=ND4C,ND3E=NC,即可得證;

(2)由全等三角形的性質(zhì)，得到即=A￡＞,進(jìn)而推出8￡＞垂直平分AE,即可得證.

【詳解】(1)證明：￡＞為BC的中點(diǎn)，

第26頁(yè)共31頁(yè)

:.BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,ZDBE=ZC；

'/E=NDAC

在.BD石和CZM中，＜NOBE=NC

BD=CD

BDE^OM(AAS)；

(2)證明：

:.ED二AD

AD_LBC,

.?.3。垂直平分AE,

BA=BE-

37.(2024?云南?中考真題)如圖，在ABC和△AED中，AB=AE,ZBAE=ZCAD,AC=AD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.利用“SAS”

證明△ABC也△AED,即可解決問(wèn)題.

【詳解】證明：ZBAE=NCAD,

..ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,ABAC=AEAD,

在，ABC和△AED中，

AB=AE

<ABAC=NEAD,

AC=AD

ABC^AED（SAS）.

38.（2024.江蘇蘇州?中考真題）如圖，,ABC中，AB=AC,分別以8,C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)

2

弧，兩弧交于點(diǎn)D,連接8。，CD,AD,A￡）與BC交于點(diǎn)E.

第27頁(yè)共31頁(yè)

A

⑴求證：△AB￡)四△AGO；

⑵若8￡>=2,ZSDC=120°,求BC的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)BC=2A/3

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知