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文檔簡介

2024-2025學年吉林省吉林市普通高中高三第二次模擬考試數學試題(文理)合卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.若復數(2a+D(l+i)(i為虛數單位)在復平面內所對應的點在虛軸上,則實數a為()

11

A.—2B.2C.-------D.一

22

2.已知數列{a,,}的前“項和為S",且(S"+1)(S.+2+1)=(S“M+1)2("CN*),。1=1,g=2,則"=()

A.—-------LB.2C.2n-1D.2+1

2~~

3.設(1+,)+=1+初,其中a,8是實數,則|a+冽=()

22

5.過橢圓C:j+4=l(a〉6〉0)的左焦點尸的直線過C的上頂點3,且與橢圓C相交于另一點A,點A在V軸

a2b2

上的射影為4,若\F局O\=“3。是坐標原點,則橢圓。的離心率為()

A.3B.且C.-D.—

2322

6.設函數/(x)=ln(l+|x|)—不二,則使得成立的x的取值范圍是().

A.(1,+℃)B.(^o,-l)U(l,+co)

C.(-1,1)D.(-1,O)U(O,1)

7.(x+呸工)的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為

A.-40B.-20C.20D.40

8.8知函數/(九)=如“尤2+1_為+3-_3、,不等式/(a+4)+/(/+5),,0對%eR恒成立,則。的取值范

圍為()

rc、z「5)(5

A.[-2,+00)B.(-00,-2]C.--,+coID.I-CQ,--

9.已知向量a與人的夾角為6>,定義ax6為a與b的“向量積”,且ax6是一個向量,它的長度卜義0=卜|卜卜也。,

若“=(2,0),“—v=—石卜貝“"x(〃+v)|=()

A.473B.V3

C.6D.273

10.執行如圖所示的程序框圖若輸入〃=1,則輸出的九的值為()

25

A.B.2C.D.3

22

11.已知集合〃={》|/=1}.N為自然數集,則下列表示不正確的是()

A.IGMB.M={-1,1}C.D.MyN

12.已知集合AnlxeZlfwo],則集合A真子集的個數為()

[x+3J

A.3B.4C.7D.8

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.設集合A={1,3},B={X|X2-2X-3<0},則AB=.

14.已知拋物線C:/=4》的焦點為尸,過點/且斜率為1的直線與拋物線C交于點AB,以線段AB為直徑的圓E

上存在點RQ,使得以PQ為直徑的圓過點。(-2"),則實數/的取值范圍為.

15.已知函數/(九)=;dnx—2。在點(1,/(I))處的切線經過原點,函數g(x)=&的最小值為加,貝|

X

m+2a=.

16.在三棱錐S—ABC中,S4,SB,SC兩兩垂直且&1=S5=SC=2,點/為S—ABC的外接球上任意一點,

則?M3的最大值為.

三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在直角坐標平面中,已知AABC的頂點A(—2,0),8(2,0),C為平面內的動點,且sinAsin5+3cosC=0.

(1)求動點C的軌跡。的方程;

(2)設過點尸(1,0)且不垂直于x軸的直線/與。交于p,R兩點,點P關于x軸的對稱點為S,證明:直線RS過x

軸上的定點.

18.(12分)已知/(x)="

(1)若曲線y=lnx在點02,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切,求實數機的值;

(2)試討論函數/(尤)零點的個數.

19.(12分)如圖,已知E,歹分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點,"與AC交于點。,PA,NC都垂直

于平面ABC。,且B4=AB=4,NC=2,〃是線段K4上一動點.

N

(1)當MOJ_平面ERV,求的值;

(2)當M是K4中點時,求四面體M—E7W的體積.

20.(12分)隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強,人民的生活水平逐步提高,為了進一步改善民生,2019年1

月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應納稅所得

額(含稅)=收入一個稅起征點-專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括①贍養老人費用②子女教育費用③繼續教育

費用④大病醫療費用……等.其中前兩項的扣除標準為:①贍養老人費用:每月扣除2000元②子女教育費用:每個

子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內容如下:

級數一級二級三級四級

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額(含稅)元的部分

部分部分部分

稅率(%)3102025

(1)現有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養老人,除此之外,無其它專項附加扣除.請問李某月應繳

納的個稅金額為多少?

(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現收集了某城市500名的公司白領的相關資料,通過整理資料可知,

有一個孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個孩子的人中有300人需要贍養老人,沒有孩子的人中有50人需

要贍養老人,并且他們均不符合其它專項附加扣除(受統計的500人中,任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入

均為20000元,依據樣本估計總體的思想,試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額X的分布列與期望.

21.(12分)已知集合4={L2,,n},nvN*,n>2,將4的所有子集任意排列,得到一個有序集合組

其中加=2".記集合中元素的個數為處,keN*,k<m,規定空集中元素的個數為0.

(1)當〃=2時,求生+/++%〃的值;

(2)利用數學歸納法證明:不論〃(在2)為何值,總存在有序集合組(必,叫「,/”),滿足任意QN*,三加一1,

都有k一4+1|=1.

22.(10分)在開展學習強國的活動中,某校高三數學教師成立了黨員和非黨員兩個學習組,其中黨員學習組有4名

男教師、1名女教師,非黨員學習組有2名男教師、2名女教師,高三數學組計劃從兩個學習組中隨機各選2名教師參

加學校的挑戰答題比賽.

(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數;

(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數,求X的概率分布和數學期望.

參考答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡,再由實部為0求得。值.

【詳解】

解:(2a+i/l+i)=(2a—l)+(2a+l)i在復平面內所對應的點在虛軸上,

...2a—1=0,即@=一.

2

故選D.

本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的代數表示法及其幾何意義,是基礎題.

2.C

【解析】

根據已知條件判斷出數列{"+1}是等比數列,求得其通項公式,由此求得

【詳解】

由于(S.+l)(S〃+2+l)=(S〃+i+l)2(〃eN*),所以數列{s,,+l}是等比數列,其首項為1+1=6+1=2,第二項為

4

$2+1=。1+。2+1=4,所以公比為5=2.所以S"+l=2",所以臬=2"—1.

故選:C

本小題主要考查等比數列的證明,考查等比數列通項公式,屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據復數相等,可得d。,然后根據復數模的計算,可得結果.

【詳解】

由題可知:(1+,)4=1+人力,

即a+ai=l+沅,所以。=1/=1

貝皿+2叫=|1+2z|=Vl2+22=百

故選:D

本題考查復數模的計算,考驗計算,屬基礎題.

4.D

【解析】

先判斷函數的奇偶性可排除選項AC,當X.0+時,可分析函數值為正,即可判斷選項.

【詳解】

y=sinIx-?ln|A|=-cosxln|A|,

/.-cos(-x)ln|-%|=-cosxln\x\,

即函數為偶函數,

故排除選項A,C,

當正數x越來越小,趨近于。時,-cosx<0,ln|x|<0,

所以函數y=sin^x-^J-ln|x|>0,故排除選項B,

故選:D

本題主要考查了函數的奇偶性,識別函數的圖象,屬于中檔題.

5.D

【解析】

3UULUUUU

求得點3的坐標,由島=丁,得出8/=3E4,利用向量的坐標運算得出點A的坐標,代入橢圓C的方程,可得

\AA\4

出關于。、b.c的齊次等式,進而可求得橢圓C的離心率.

【詳解】

由題意可得8(03)、F(-c,0).

3回33

-貝t-

4-4-un1-

IBA

而=所以融=(一右一所以點

4i\22

7在橢圓。:=+2=1上,

因為點A3C,

37ab

整理可得3.£.=§,所以e2=:=J_,所以e=Y2.

9a29er22

Ji

即橢圓。的離心率為注

2

故選:D.

本題考查橢圓離心率的求解,解答的關鍵就是要得出〃、b,c的齊次等式,充分利用點A在橢圓上這一條件,圍繞

求點4的坐標來求解,考查計算能力,屬于中等題.

6.B

【解析】

由奇偶性定義可判斷出/(九)為偶函數,由單調性的性質可知/(%)在[0,+8)上單調遞增,由此知“X)在(-8,0]上

單調遞減,從而將所求不等式化為國>1,解絕對值不等式求得結果.

【詳解】

由題意知:/(%)定義域為人,

=+卜止]+(、『=也(1+兇)_£^=/3,.?./(%)為偶函數,

當x?0時,/(x)=ln(l+x)----二,

y=In(1+%)在[0,+oo)上單調遞增,y=在[0,+oo)上單調遞減,

.-./(%)在[0,+8)上單調遞增,則/(X)在(《,0]上單調遞減,

由/(%)>/。)得:上|>1,解得:或無>1,

\X的取值范圍為(7,—l)U(l,+8).

故選:B.

本題考查利用函數的單調性和奇偶性求解函數不等式的問題;奇偶性的作用是能夠確定對稱區間的單調性,單調性的

作用是能夠將函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系,進而化簡不等式.

7.D

【解析】

令x=l得a=l.故原式=(x+-)(2x--)5.(x+-)(2x--)5的通項[刊=Cs'Qxy筌'JxTy=25Tx‘仁,,

XXXX

由5-2r=l得r=2,對應的常數項=80,由5-2r=l得r=3,對應的常數項=-40,故所求的常數項為40,選D

解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘,若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出X,選3個提出-;

X

若第1個括號提出從余下的括號中選2個提出,,選3個提出x.

XX

故常數項=x?C;(2X)2)3+—-C;(-—)2?C;(2X)3=40+80=40

XXX

8.C

【解析】

-x2-5

確定函數為奇函數,且單調遞減,不等式轉化為------=,利用雙勾函數單調性求最值

Jf+4

得到答案.

【詳解】

/(-%)=In心+1+尤)+3,-3-Y=-/(%),/(x)是奇函數,

/(%)=ln(Vx2+l—x)+3r—3工=ln(1—)+3f-3”

Nx2+1+x

易知y=ln(-^==-),丁=3,y=-3、均為減函數,故〃尤)且在人上單調遞減,

X+1+X

不等式/(aV%2+4)+/(%2+5)?0,即/(aV%2+4)?f(-x2-5),

._____-V2-S

結合函數的單調性可得小+4..V—5,即〃.下=

+4

/+1單調遞減,故-5

設f=&+4,故y=一

t>2,5'

當/=2,即x=0時取最大值,所以〃…—9

2

故選:C.

本題考查了根據函數單調性和奇偶性解不等式,參數分離求最值是解題的關鍵.

9.D

【解析】

先根據向量坐標運算求出“+v=(3,石)和cos(〃,〃+v),進而求出sin《,M+v),代入題中給的定義即可求解.

【詳解】

與,得sin(a,a+v〉=g,由定義知

由題意v=〃一(〃一丫)=(1,右),則〃+v=(3,百),C0S(4,M+U)=

++v卜+V)=2乂26乂;=2石,

wx

故選:D.

此題考查向量的坐標運算,引入新定義,屬于簡單題目.

10.C

【解析】

由程序語言依次計算,直到a時輸出即可

【詳解】

程序的運行過程為

£22

n12

222

531

a—21—

222

ini

bIn-0ln2In-

222

當〃=2時,1>In2;n=—時,一<In—,此時輸出〃=—.

2222

故選:C

本題考查由程序框圖計算輸出結果,屬于基礎題

11.D

【解析】

集合M={x|Y=i}={_i,l}.N為自然數集,由此能求出結果.

【詳解】

解:集合"={。4=1}={—1,1}.N為自然數集,

在A中,IwM,正確;

在B中,M={-1,1},正確;

在C中,0=M,正確;

在D中,M不是N的子集,故D錯誤.

故選:D.

本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.

12.C

【解析】

解出集合A,再由含有九個元素的集合,其真子集的個數為2"-1個可得答案.

【詳解】

解:由4=1%€2|f<o|,得人={兀62|—3<xW0}={—2,—1,0}

所以集合A的真子集個數為23-1=7個.

故選:C

此題考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用,含有九個元素的集合,其真子集的個數為2"-1個,屬于基礎題.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.{1}

【解析】

先解不等式爐—2%-3<0,再求交集的定義求解即可.

【詳解】

由題,因為X2一2%—3<0,解得-l<x<3,即3={x[—1<%<3},

則AB={1},

故答案為:{1}

本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.

14.[-1,3]

【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點D恒在圓E外,即圓E上存在點P,Q,使得DP±DQ,則當DP,DQ

與圓E相切時,此時NP'DQ'N',由此列出不等式,即可求解。

【詳解】

x=y+1,

由題意可得,直線A5的方程為工=丁+1,聯立方程組12,可得y一4y—4=0,

=4x

設,則為+%=4,%%=_4,

設£(/,%),則為=-;%=2,xE=yE+1=3,

又|=石+々+2=%+1+%+1+2=8,

所以圓E是以(3,2)為圓心,4為半徑的圓,所以點。恒在圓E外.

圓E上存在點尸,Q,使得以PQ為直徑的圓過點。(―2j),即圓E上存在點P,Q,使得。設過。點的兩

直線分別切圓E于P',Q'點,

要滿足題意,則NPDQ'N,,所以歷=J(3+2)2:(2T)2y'

整理得產―4/—3<0,解得2—J7</<2+J7,

故實數t的取值范圍為[2-J7,2+"]

本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用,以及直線與圓的位置關系的應用,其中解答中準確求得圓E的方程,

把圓E上存在點尸,Q,使得以PQ為直徑的圓過點。(—2/),轉化為圓E上存在點尸,。,使得DP,。。是解答的

關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題。

15.0

【解析】

求出廣(幻,/'(1),/(1),求出切線點斜式方程,原點坐標代入,求出。的值,求g'(x),求出單調區間,進而求出極小

值最小值,即可求解.

【詳解】

/'(x)=l+lnx,尸⑴=1,f(1)=-2a,

切線4的方程:y+2a=x-l,

又4過原點,所以2a=-1,/(x)=xlnx+l,

1111x—1

g(x)=lnx+—,gf(%)=------r=

XXXX

當無£(0,1)時,gr(x)<0;當X£(l,+oo)時,g'(x)>0.

故函數g(x)=以工的最小值g⑴=1,所以加=l,m+2a=0.

x

故答案為。

本題考查導數的應用,涉及到導數的幾何意義、極值最值,屬于中檔題.

16.273+2

【解析】

先根據三棱錐的幾何性質,求出外接球的半徑,結合向量的運算,將問題轉化為求球體表面一點到?以€:外心距離最

大的問題,即可求得結果.

【詳解】

因為SA,SB,SC兩兩垂直且S4=S3=SC=2,

故三棱錐S-ABC的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對角線的中點。,如下圖所示:

容易知外接球半徑為

設線段的中點為。一

故可得MAMB=(MOi+0]A)?+

=(MO{+qA).(MQ-QA)

222

=|MO1|-|O1A|=|MO1|-2,

故當|取得最大值時,MA-MB取得最大值.

而當”,A,8在同一個大圓上,且

點M與線段A6在球心的異側時,取得最大值,如圖所示:

此時,=百,0。13=1—20(應+『—=/+

故答案為:20+2.

本題考查球體的幾何性質,幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運算以及數量積運算,屬綜合性困難題.

三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(1)—+^=1(y/O);(2)證明見解析.

43

【解析】

yy

(1)設點。(x,y),分別用14a表示sinA、表示sin5和余弦定理表示cos。,將sinAsin5+3cosC=0表

IAC|IBC|

示為x、V的方程,再化簡即可;

⑵設直線方程代入。的軌跡方程,得(3/+4)V+6叫y—9=0,設點。(玉,%),r(々,%),S(/—y),表示

出直線RS,取y=0,得x=4,即可證明直線RS過%軸上的定點.

【詳解】

(1)設。(x,y),由已知sin4sinB+3cosc=0,

./|AC|2+|BC|2-|AB|2_

??+3x—,

\AC\-\BC\2\AC\-\BC\

3x(x+2)2+/+-2)2+416=0

-2

22

化簡得點。的軌跡。的方程為:—+^=1(y/0);

43

(2)由(1)知,過點尸(1,0)的直線/的斜率為。時與Q無交點,不合題意

故可設直線/的方程為:x=my+l(mwO),代入。的方程得:

(3rrr+4)y?+6沖—9=0.

設尸(七,%),r(乙,%),則

6m9

%+%=—%%=一

3m2+43m2+4

???直線⑹y+

令y=o,得x=x(々—?)?%=xz+%%=y(加,+1)+(切i+1)%

2年%%+(乂+%)=2mxy2+]=I3/^+4)

%+%%+%6m

3m2+4

直線RS過x軸上的定點(4,0).

本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應用和利用直線和圓錐曲線的位置關系求定點問題,考查學生的計算能力,

屬于中檔題.

18.(1)m=l-e~2(2)答案不唯一具體見解析

【解析】

(1)利用導數的幾何意義,設切點的坐標(為,蟾-加/),用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質為同一

e"一m—e"

條,從而得到方程組{,一,再構造函數研究其最大值,進而求得加=1-"2;

eA°-x^=1

(2)對函數進行求導后得/'(x)=靖-加,對機分三種情況進行一級討論,即/n<0,m=Q,

m>0,結合函數圖象的單調性及零點存在定理,可得函數零點情況.

【詳解】

解:(1)曲線y=lnx在點02,2)處的切線方程為y—2=[(x—e?),即y=[x+l.

ee~

令切線與曲線于(x)=e,—mx相切于點(x0,*—見。),則切線方程為y=(1-m)x-*(x0-l),

.e%-m=e~2

xx

e°-xoe°=1

(m+e-2)[l-ln(m+e-2)]=1,

令根+e」=/,則=

記g?)=,g'(f)=l-(l+lnf)=-lnf

于是,g?)在(01)上單調遞增,在(1,+?0上單調遞減,

;?g?)max=g(D=1,于是/=771+0-2=1'OT=1—e~~-

(2)f\x)-ex-m,

iX

①當田<0時,(。)>0恒成立,F(x)在R上單調遞增,且/(0)=1>0,/(上)="—1<0

m

;?函數f(尤)在R上有且僅有一個零點;

②當〃z=0時,/(x)=e*在R上沒有零點;

③當機>0時,令尸(x)>0,則x>lnw,即函數/(x)的增區間是(lnm,+oo),

同理,減區間是(-℃』11根),

/(x)min=m(l-ln/M).

i)若0<m<e,則/(xLn=7〃(l-lnM)>0,f(x)在R上沒有零點;

ii)若m=e,則/(x)=/-ex有且僅有一個零點;

iii)若〃Z>e,則/⑴而口=7〃(1—lnM<0.

/(21nm)=-2m\nm=m(m-21nm),

2

令h(m)=m-21nm,則〃'(加)=1,

m

.?.當時,M/“)單調遞增,h(m)>h(e)>0.

/(21nzn)=m2-2/7?Inm=m(m-21nz?7)>m(e-2)>0

又:/(0)=l>0,

???/(X)在R上恰有兩個零點,

綜上所述,當0W〃z<e時,函數/(%)沒有零點;當加<0或加=e時,函數/(?恰有一個零點;當〃>e時,“X)恰

有兩個零點.

本題考查導數的幾何意義、切線方程、零點等知識,求解切線有關問題時,一定要明確切點坐標.以導數為工具,研究

函數的圖象特征及性質,從而得到函數的零點個數,此時如果用到零點存在定理,必需說明在區間內單調且找到兩個

端點值的函數值相乘小于0,才算完整的解法.

19.(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用線面垂直的性質得出MOLON,進而得出ZWLO△OCN,利用相似三角形的性質,得出AM,從而

得出的值;

(2)利用線面垂直的判定定理得出所,平面AOV,進而得出四面體E/W的體積計算出

EF,SMON,即可得出四面體〃—EFN的體積?

【詳解】

(1)因為MO,平面ERV,ONu平面EFN,所以MOLQV

又因為R4,NC都垂直于平面ABCD,所以△M4OAOCN

又E,尸分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點,且A4=AB=4,NC=2

AMAOAM372。

所以----=——=>—=----AM=3

OCNC412

(2)因為E,歹分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點,所以即,AC

又因為R4,NC都垂直于平面A3CD,石產u平面ABCD,所以印LOV

因為ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以EF,平面ACN

所以,四面體M—E7W的體積V=

EF-2A/2,S^MON=Wx4^2x2=4A/2

所以v=g.

3

本題主要考查了線面垂直的性質定理的應用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.

20.(1)李某月應繳納的個稅金額為2910元,(2)分布列詳見解析,期望為H50元

【解析】

(1)分段計算個人所得稅額;

(2)隨機變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應的概率,列出分布列,求期望即可.

【詳解】

解:(1)李某月應納稅所得額(含稅)為:29600-5000T000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元,

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應繳納的個稅金額為90+900+1920=2910元,

(2)有一個孩子需要贍養老人應納稅所得額(含稅)為:20000-5000-1000-2000=12000元,

月應繳納的個稅金額為:90+900=990元

有一個孩子不需要贍養老人應納稅所得額(含稅)為:20000-5000-1000=14000元,

月應繳納的個稅金額為:90+900+400=1390元;

沒有孩子需要贍養老人應納稅所得額(含稅)為:20000-

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