三年真題

14坐標系與參照方程、系萼式迄褂

目制魯港。絹施留

考點三年考情（2022-2024）命題趨勢

考點1:不等式選講之2023年高考全國甲卷數學（理）真題

面積問題

2023年高考全國乙卷數學（理）真題

2024年高考全國甲卷數學（理）真題

考點2：不等式選講之

高考對選做題的考查相對穩定，

證明不等式、范圍問題2022年高考全國甲卷數學（理）真題

考查內容、頻率、題型、難度均

2022年高考全國乙卷數學（理）真題

變化不大.不等式選講主要以證

明不等式為主，坐標系與參數方

2023年高考全國甲卷數學（理）真題

程主要以考察直角坐標方程與極

考點3：直角坐標方程

2023年高考全國乙卷數學（理）真題坐標方程互化為主.

與極坐標方程互化

2022年高考全國甲卷數學（理）真題

2022年高考全國乙卷數學（理）真題

考點4：的幾何意義2024年高考全國甲卷數學（理）真題

曾窟饗綴。闔滔運溫

考點1:不等式選講之面積問題

1.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設a>0,函數/(x)=2|x-4-a.

⑴求不等式〃x)<x的解集；

⑵若曲線y=〃x)與尤軸所圍成的圖形的面積為2,求

【解析】(1)若xVa,貝ljf(x)=2a-2x-a<x,

即3*>即解得即■|<xVa,

若%>4,貝|J/(%)=2%-2。一Q<%,

解得％v3a,即av%v3a,

綜上，不等式的解集為

[-2x+a,x<a

(2)〃x)=.

\2x-3a,x>a

畫出fM的草圖，則f(x)與x軸圍成AABC,

△ABC的高為。,叱,0),《吊,0),所以|明=凡

所以S.c=口4例4=：/=2,解得。=2.

2.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)已知〃x)=2國+|x-2].

⑴求不等式〃x)W6-x的解集；

f/(x)<

(2)在直角坐標系中，求不等式組；y/八所確定的平面區域的面積.

[x+y—640

3x-2,x>2

【解析】(1)依題意，/(%)=x+2,0<x<2,

—3x+2,%<0

x>20<x<2fx<0

不等式/(x)46-x化為:或

3x-2<6-x^%+2?6-xI-3x+2W6-x

x>2|0<x<2Ix<0

解得無解；解e6*得0g'解3+2-得一2"<0,因此-2X2,

3x-2<6-x

所以原不等式的解集為：［-2,2］

ff(x)<y

(2)作出不等式組八表示的平面區域，如圖中陰影AABC,

［x+y—640

由\y二=-3=x+62，解得…由\「y=x+坨2解得以2,又的,2",

所以AABC的面積￡枷=3|8。岡％-乙|=；|6-2岡2-(-2)|=8.

考點2：不等式選講之證明不等式'范圍問題

3.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)己知實數。力滿足a+6'3.

⑴證明：2a2+2">°+6；

(2)證明：,一2殘+卜一2a2t6.

2222

【解析】(1)^2a+2b-(a+bf=a-2ab+b=(a-bf>0,

當a=6時等號成立，貝。2/+2/2(4+6)2,

因為〃+人之3,所以2〃2+2從之(〃+與2>Q+b；

2212

(2)，-2町+1—2々2|>^a—2b+b—2a^=^2a+2Z?—(4z+Z?)|

—2cr+2b2—(Q+b)之(a+Z?)2—(a+Z?)=(〃+b)(a+Z?—1)23x2=6

4.(2022年高考全國甲卷數學(理)真題)已知a,b,。均為正數，且〃2+〃+公2=3,證明:

(l)a+Z?+2c<3；

(2)若Z?=2c,則一+—23.

ac

【解析】(1)［方法一］:【最優解】柯西不等式

由柯西不等式有[a2+b2+(2C)2](12+12+12)>(G+Z?+2C)2,

所以a+b+2c<3,當且僅當a=〃=2c=l時，取等號，所以a+b+2cK3.

[方法二]:基本不等式

由。2+22ab，b2+4c2>4bc，a1+4c2>4ac，

(Q+Z?+2cJ=a2+b2+4c2+2ab+4bc+4ac<3(a1+/?2+4c2j=9,

當且僅當a=h=2c=l時，取等號，所以a+〃+2cK3.

(2)證明：因為b=2c,a>0fZ?>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

BP0<a+4c<3,所以一-—>—,

a+4c3

由權方和不等式知工+工=上+2Jl+2)：923,

aca4ca+4ca+4c

當且僅當上1=7:，即。=1,c=1:時取等號，

a4c2

所以’+123.

ac

333

5.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)已知a,6,c都是正數，且C二L+I方U+IC*_-1，證明:

(l)a&c<^；

abc,1

(2)----1---------------1------------<—/；

b+ca+ca+blyjabc

333

【角軍析】(1)證明：因為a>0,b>0,c>0,貝(1/>0，房>o，c2>0

333

所以正士巳

3

BP(?Z?c)2<1,所以赤當且僅當即4=8=C=R時取等號.

(2)證明：因為a>0,b>0,c>0,

所以b+c2l4bc,a+c>2ac,a+b>2y[ab,

333

所以a￡a_”，bb僑cc_c2

----------———=—,.

b+c2y[bc2y1abca+c2y[ac2y1abca+blyfablyjabc

333333

abca1"9層->^+^_1

-------------1---------------1-------------——/

b+ca+ca+b2y1abc2yjabc2y[abc2abclyJabc

當且僅當a=/?=。時取等號.

考點3：直角坐標方程與極坐標方程互化

6-（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）已知點石），直線八日+旃為參數），a為,的傾斜

角，/與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于A,8兩點，且|PA|-|PB|=4.

⑴求a;

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求/的極坐標方程.

【解析】（1）因為/與龍軸，y軸正半軸交于AB兩點，所以巳<2<兀，

令％=0,%=---，令y=o,t=--—,

cosasma2

24

所以|尸卻產用=1^1=--------=--=4,所以sin2a=±l,

sinacosasin2a

jrjr1

即2a=5+E,解得a=—+—k7i,keZf

因為兀，所以&=亨.

24

（2）由（1）可知，直線/的斜率為tana=-1,且過點（2,1）,

所以直線/的普通方程為：y-l=-（x-2）,即x+y-3=0,

由％=X7COs6,y=psin夕可得直線/的極坐標方程為夕cos，+/?sine—3=0.

7.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）在直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，龍軸正半軸為極

（Ti兀、1x=2cosa

軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=,曲線。2：c.（a為參數，

[42）[y=2sma

71、

—<a<7i）.

2

⑴寫出C1的直角坐標方程；

（2）若直線,=%+利既與G沒有公共點，也與。2沒有公共點，求加的取值范圍.

【解析】（1）因為夕=2sin，，即夕2=20sin。，可得Y+y2=2y,

整理得爐+（y-1）2=1,表示以（0,1）為圓心，半徑為1的圓，

又因為％=pcos0=2sin0cos=sin20,y=psin0=2sin20=l-cos20,

且:W9?],則方<26W兀，貝Ux=sin28￡[0,1],y=1—cos26G[1,2],

故Ci:x2+（y-l）2=l,xe[0,l],yG[1,2].

fx=2coscrTT

（2）因為。2：｛。.（。為參數，-<^<7l）,

[y=2sma2

整理得f+y2=4,表示圓心為。（0,0）,半徑為2,且位于第二象限的圓弧，

如圖所示，若直線y=尤+加過。,1）,貝|1=1+m，解得機=o；

m\

=2

若直線、=x+根，即x-y+m=0與C?相切，則|忘，解得力=20,

m>0

若直線y=x+，〃與c”c?均沒有公共點,則7〃＞2應或加＜o,

2+/

x=-----

8.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為6。為參

2+s

x=-------

數），曲線C?的參數方程為6（s為參數）.

[>=一

（1）寫出G的普通方程;

（2）以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為2cos，-sin，=0,求G與G

交點的直角坐標，及C3與G交點的直角坐標.

nI*2+/

【解析】（1）因為x=U，y=&,所以尤=,即C1的普通方程為J=6x—2（yW。）.

66

2+s

（2）因為兀=一所以6x=-2-y:即。2的普通方程為/=-6》一2（）；＜0）,

6

由2cose-sine=0n2/?cose-/?sine=0,即C3的普通方程為2x-y=0.

1

x=l

聯立解得：“2或,即交點坐標為（1,2）；

y=2

J=1

1

七龍-2仔）,解得一x=-l

聯立'一一5或,即交點坐標為,（-L-2）.

2x-y=0y=-2

>=T

x=6cos2t/

9.（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為。

y=2sinZ

為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為

0sin〔6>+方+m=0.

（1）寫出/的直角坐標方程;

（2）若/與C有公共點，求，"的取值范圍.

【解析】（）因為：所以1

1/psinl0+|U/?I=0,-^-p-cos0+m=O,

2

又因為0-sinO=y,0-cosd=x,所以化簡為;>+?；（；+m=0,

整理得/的直角坐標方程：JIx+y+2HI=0

(2)［方法一］:【最優解】參數方程

聯立/與C的方程，即將x=V^cos2f,y=2sinr代入氐+y+2〃z=0中，

可得3cos2/■+2sinf+2m=0=>3(1-2sin2?)+2sinr+2m=0,

化簡為-6sin2f+2sinf+3+2根=0，

要使/與C有公共點，則27n=6siE"2sinf-3有解,

令sin/=a,貝令/(a)=6/-2a-3,(-IWaWl),

對稱軸為。=,，開口向上，

6

??/(%=/(-D=6+2-3=5,

1I?19

oo6o

IQ「195-

.-.~<2m<5,即比的取值范圍為

6L122.

［方法二］:直角坐標方程

由曲線C的參數方程為卜=6cos2f,f為參數，消去參數/,可得2=-R1X+2,

［y=2sinf3

?x+y+2m=0

,^3y2-2y-4m-6=0(-2<y<2),QR4m=3y2-2y-6=3(yf-y，即有

聯立273「

y2=-------x+2

3

19IQ5195

-y<4/?i<10,即一萬，山的取值范圍是

12,2

【整體點評】方法一：利用參數方程以及換元，轉化為兩個函數的圖象有交點，是該題的最優解；

方法二：通過消參轉化為直線與拋物線的位置關系，再轉化為二次函數在閉區間上的值域，與方法一本質

上差不多，但容易忽視y的范圍限制而出錯.

考點4：/的幾何意義

10.(2024年高考全國甲卷數學(理)真題)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸

建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為0=/?cosO+l.

(1)寫出C