2025屆湖南省衡陽四中高二數學第一學期期末聯考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2C. D.2．中國古代有一道數學題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數構成等差數列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文3．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.4．在等比數列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.35．已知直線，，若，則實數的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-36．直線l經過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.7．已知隨機變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.8．關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為A. B.C. D.9．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題10．下列說法正確的個數有（）個①在中，若，則②是，，成等比數列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數的導函數是，若，則是函數的極值點A.0 B.1C.2 D.311．設，向量，，，且，，則（）A. B.C.3 D.412．已知直線和直線互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在點處的切線斜率為，則___________.14．已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上的點P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________15．復數的共軛復數是__________16．設實數、滿足約束條件，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）18．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體（1）求該幾何體中間一個空心球表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積19．（12分）已知命題：；：.（1）若“”為真命題，求實數的取值范圍；（2）若“”為真命題，求實數的取值范圍.20．（12分）已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值21．（12分）設：實數滿足，：實數滿足（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍22．（10分）已知橢圓E：的離心率，且右焦點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）四邊形的頂點在橢圓上，且對角線，過原點，若，證明：四邊形的面積為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.2、C【解析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，再根據題意列方程組可解得結果.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.3、A【解析】應用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A4、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C5、C【解析】由，結合兩直線一般式有列方程求解即可.【詳解】由知：,解得：或故選：C.6、B【解析】聯立已知兩條直線方程求出交點，再根據兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.7、C【解析】根據分布列性質計算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C8、B【解析】設，解集為所以二次函數圖像開口向下，且與交點為，由韋達定理得所以的解集為，故選B.9、B【解析】根據正弦函數的性質判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B10、B【解析】根據三角函數、等比數列、雙曲線和導數知識逐項分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數在上單調遞減，所以，故①正確，②當且時，此時，但是，，不成等比數列，故②錯誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯誤，④“”是“是函數的極值點”的必要不充分條件，故④錯誤.故選：B.11、C【解析】根據空間向量垂直與平行的坐標表示，求得的值，得到向量，進而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因為，可得，解得，即，又因為，可得，解得，即，可得，所以.故選：C.12、D【解析】利用直線垂直系數之間的關系即可得出.【詳解】解：直線和直線互相垂直，則，解得：.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由導數的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：114、【解析】由題意分析為直角三角形，得到關于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因軸，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：15、【解析】利用復數除法化簡，由共軛復數的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：16、2【解析】畫出不等式組對應的可行域，平移動直線后可得目標函數的最小值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：將初始直線平移至點時，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設直線方程為，，，，，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；18、（1）；（2）.【解析】根據旋轉體的軸截面圖，根據已知條件求球的半徑與長，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計算即可.【小問1詳解】連接，則，設，在中，，；【小問2詳解】，∴圓錐球.19、（1）;（2）.【解析】（1）先分別求出命題為真命題時的取值范圍，再由已知“”為真命題進行分類討論即可求解；（2）由（1）可知，當同時為真時，即可求出的范圍.試題解析：若為真，則，所以，則若為真，則，即.（1）若“”為真，則或，則.（2）若“”為真，則且，則.20、（1）（2）【解析】（1）：根據正弦定理由邊化角和三角正弦和公式即可求解；（2）：根據余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面積公式即可求解【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵，∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，∴，當且僅當時等號成立，∴的面積的最大值為21、（1）（2）【解析】（1）根據二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時實數x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據是的必要不充分條件可得，再根據集合包含關系，根據區間端點列不等式求解即可【小問1詳解】當時，，解得，即p為真時，實數x的取值范圍為．由，解得，即q為真時，實數x的取值范