遼寧省大連市莊河高級中學2025屆高二數學第一學期期末預測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，若，若AB的中點到準線的距離為3，則AF的中點到準線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.42．若，都是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．已知“”的必要不充分條件是“或”，則實數的最小值為（）A. B.C. D.4．若直線l與橢圓交于點A、B,線段的中點為,則直線l的方程為()A. B.C. D.5．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線7．2018年，倫敦著名的建筑事務所steynstudio在南非完成了一個驚艷世界的作品一一雙曲線建筑的教堂，白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設計元素賦予了這座教堂輕盈，極簡和雕塑般的氣質，如圖．若將此大教堂外形弧線的一段近似看成焦點在y軸上的雙曲線下支的一部分，且該雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，到漸近線距離為12，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π9．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.10．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態下x=0，d=0，則（）A.當x增大時，θ先增大后減小 B.當x增大時，θ先減小后增大C.當d增大時，θ先增大后減小 D.當d增大時，θ先減小后增大11．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.8012．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.14．如圖，E，F分別是三棱錐的棱AD，BC的中點，，，，則異面直線AB與EF所成的角為______.15．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓上一點，滿足(O為坐標原點)．若，則橢圓的離心率為______16．設為三角形的一個內角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學鼓勵學生積極參與志愿者的選拔．某學院有6名學生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負責滑雪項目服務崗位，那么現將6人分為A、B兩組進行滑雪項目相關知識及志愿者服務知識競賽，共賽10局．A、B兩組分數（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統計學角度看，應選擇哪個組更合適？理由是什么？18．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養節約習慣，在全社會營造浪費可恥、節約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學校食堂從學生中招募志愿者，協助食堂宣傳節約糧食的相關活動．現已有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動．根據活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人？（2）現在要從第一期志愿者中的高二、高三學生中抽取2人粘貼宣傳標語，求抽出兩人都是高二學生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務是記錄學生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節約糧食的效果．在一個周期內，這組志愿者記錄的數據如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統計中的圖、表、數字特征等知識，分析宣傳節約糧食活動的效果（選擇一種方法進行說明即可）20．（12分）某公司有員工人，對他們進行年齡和學歷情況調查，其結果如下：現從這名員工中隨機抽取一人，設“抽取的人具有本科學歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.21．（12分）設集合（1）若，求；（2）設，若是成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍22．（10分）已知橢圓上的點到橢圓焦點的最大距離為3，最小距離為1（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，分別是橢圓的左右頂點，是橢圓上異于，的任意一點，直線，分別交軸于點，，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結合拋物線的定義求得，由此求得線段的中點到準線的距離【詳解】拋物線方程為，則，由于中點到準線的距離為3，結合拋物線的定義可知，即，所以線段的中點到準線的距離為.故選：C2、A【解析】根據充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項.【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.3、A【解析】首先解不等式得到或，根據題意得到，再解不等式組即可.【詳解】，解得或，因為“”的必要不充分條件是“或”，所以.實數的最小值為.故選：A4、A【解析】用點差法即可獲解【詳解】設.則兩式相減得即因為,線段AB的中點為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A5、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.6、C【解析】設動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關系式，化簡，再根據圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系，圓錐曲線的定義，屬于基礎題.7、A【解析】設出雙曲線的方程，根據已知條件列出方程組即可求解.【詳解】設雙曲線的方程為，由雙曲線的上焦點到下頂點的距離為18，即，上焦點的坐標為，其中一條漸近線為，上焦點到漸近線的距離為，則，解得，，即，故選：.8、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進而利用球的表面積計算公式得出結論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題9、D【解析】設切點，點，聯立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉化為函數解析式，可利用導數的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.10、C【解析】以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數研究函數的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數在是為減函數，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數，故為增函數，當時，為增函數，故為減函數，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數，故為減函數，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.11、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.12、B【解析】直接根據圖表得到答案.【詳解】根據圖表：樣本數據均小于等于10，樣本數據均大于等于10，故；樣本數據波動大于樣本數據，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數使，所以，所以，解得，所以，故答案為：214、【解析】取的中點，連結，由分別為的中點，可得(或其補角)為異面直線AB與EF所成的角，在求解即可.【詳解】取的中點，連結由分別為的中點，則所以(或其補角)為異面直線AB與EF所成的角由分別是的中點,則，又在中,，則所以,又，所以在直角中，故答案為：15、##【解析】由可得，再結合橢圓的性質可得為直角三角形，由題意設，則，由勾股定理可得，再結合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以為直角三角形，即，所以設，則，所以，得，因為則，所以，所以，即離心率為，故答案為：16、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見詳解【解析】(1)：把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時可得出，兩人是一男一女的基本事件，計數后可計算概率；(2)：求出兩組數據的均值和方差，比較可得【小問1詳解】設4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1，2表示.基本事件為：，，，，，，，，，，，，共15種，所以所求概率為；【小問2詳解】A組數據的平均數，B組數據的平均數，A組數據的方差，B組數據的方差，所以選擇A隊．理由：A、B兩隊平均數相同，且，A組成績波動小18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質定理可證得；由菱形邊長和角度的關系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）以為坐標原點建立起空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直關系的證明、空間向量法求解二面角的問題；涉及到面面垂直的性質定理、線面垂直的判定與性質定理的應用，屬于常考題型.19、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報名的學生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個學生為1，2，3，4，高三兩個學生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個基本事件，其中高二學生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個基本事件.記抽出兩人都是高二學生為事件，則，所以高二學生都在同