2025屆貴州省銅仁市西片區高中教育聯盟數學高一上期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學有30人，則的值為A.300 B.200C.150 D.1002．已知平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為、、，為所在平面內的一點，且滿足，則點的坐標為（）A. B.C. D.3．給出下列命題：①函數為偶函數；②函數在上單調遞增；③函數在區間上單調遞減；④函數與的圖像關于直線對稱．其中正確命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.44．設函數y＝，當x＞0時，則y（）A.有最大值4 B.有最小值4C有最小值8 D.有最大值85．下列選項中，兩個函數表示同一個函數的是（）A.， B.，C.， D.，6．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=07．函數在區間的圖象大致是（）A. B.C. D.8．函數的單調遞增區間為（）A.， B.，C.， D.，9．公元263年左右，我國數學有劉徽發現當圓內接多邊形的邊數無限增加時，多邊形的面積可無限逼近圓的面積，并創立了割圓術，利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．某同學利用劉徽的“割圓術”思想設計了一個計算圓周率的近似值的程序框圖如圖，則輸出S的值為（參考數據：）A.2.598 B.3.106C.3.132 D.3.14210．已知函數是定義域為的奇函數，且滿足，當時，，則A.4 B.2C.-2 D.-4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，若，則實數的取值范圍為______.12．給出下列命題“①設表示不超過的最大整數，則；②定義：若任意，總有，就稱集合為的“閉集”，已知且為的“閉集”，則這樣的集合共有7個；③已知函數為奇函數，在區間上有最大值5，那么在上有最小值.其中正確的命題序號是_________.13．已知函數，對于任意都有，則的值為______________.14．已知函數，若，則實數的取值范圍是__________.15．已知函數，則______，若，則______.16．如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為4的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，則四棱錐外接球的表面積是____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數是定義在上的奇函數，且當時，（1）求實數的值；（2）求函數在上的解析式；（3）若對任意實數恒成立，求實數的取值范圍18．已知函數的定義域為（1）求的定義域；（2）對于（1）中的集合，若，使得成立，求實數的取值范圍19．已知函數（1）試判斷函數的奇偶性并證明；20．已知正方體ABCD-的棱長為2.（1）求三棱錐的體積；（2）證明：.21．閱讀與探究人教A版《普通高中課程標準實驗教科書數學4（必修）》在第一章小結中寫道：將角放在直角坐標系中討論不但使角的表示有了統一的方法，而且使我們能夠借助直角坐標系中的單位圓，建立角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，從而用單位圓上點的縱坐標、橫坐標來表示圓心角的正弦函數、余弦函數.因此，正弦函數、余弦函數的基本性質與圓的幾何性質（主要是對稱性）之間存在著非常緊密的聯系.例如，和單位圓相關的“勾股定理”與同角三角函數的基本關系有內在的一致性；單位圓周長為與正弦函數、余弦函數的周期為是一致的；圓的各種對稱性與三角函數的奇偶性、誘導公式等也是一致的等等.因此，三角函數的研究過程能夠很好地體現數形結合思想.依據上述材料，利用正切線可以討論研究得出正切函數的性質.比如：由圖1.2-7可知，角的終邊落在四個象限時均存在正切線；角的終邊落在軸上時，其正切線縮為一個點，值為；角的終邊落在軸上時，其正切線不存在；所以正切函數的定義域是.（1）請利用單位圓中的正切線研究得出正切函數的單調性和奇偶性；（2）根據閱讀材料中途1.2-7，若角為銳角，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據頻率分布直方圖的面積和1,可得的頻率為P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.選D.2、A【解析】設點的坐標為，根據向量的坐標運算得出關于、的方程組，解出這兩個未知數，可得出點的坐標.【詳解】設點的坐標為，，，，，即，解得，因此，點的坐標為.故選：A.【點睛】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】①函數為偶函數，因為是正確的；②函數在上單調遞增，單調增是正確的；③函數是偶函數，在區間上單調遞增，故選項不正確；④函數與互為反函數，根據反函數的概念得到圖像關于對稱.是正確的.故答案為C.4、B【解析】由均值不等式可得答案.【詳解】由,當且僅當，即時等號成立.當時，函數的函數值趨于所以函數無最大值，有最小值4故選：B5、C【解析】根據函數的定義域，即可判斷選項A的兩個函數不是同一個函數，根據函數解析式不同，即可判斷選項B，D的兩函數都不是同一個函數，從而為同一個函數的只能選C【詳解】A.的定義域為{x|x≠0}，y=1的定義域為R，定義域不同，不是同一個函數；B.和y=|x|的解析式不同，不是同一函數；C．y=x的定義域為R，y=lnex=x的定義域為R，定義域和解析式都相同，是同一個函數；D.=|x-1|,=x-1,解析式不同，不是同一個函數故選C【點睛】本題考查同一函數的定義，判斷兩函數是否為同一個函數的方法：看定義域和解析式是否都相同6、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為7、C【解析】判斷函數非奇非偶函數，排除選項A、B，在計算時的函數值可排除選項D，進而可得正確選項.【詳解】因為，且，所以既不是奇函數也不是偶函數，排除選項A、B，因為，排除選項D，故選：C【點睛】思路點睛：函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.8、C【解析】利用正切函數的性質求解.【詳解】解：令，解得，所以函數的單調遞增區間為，，故選：C9、C【解析】閱讀流程圖可得，輸出值為：.本題選擇C選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環結構(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題(3)按照題目要求完成解答并驗證10、B【解析】先利用周期性將轉化為，再利用奇函數的性質將轉化成，然后利用時的函數表達式即可求值.【詳解】由可知，為周期函數，周期為，所以，又因為為奇函數，有，因為，所以，答案為B.【點睛】主要考查函數的周期性，奇偶性的應用，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】令，分析出函數為上的減函數且為奇函數，將所求不等式變形為，可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】令，對任意的，，故函數的定義域為，因為，則，所以，函數為奇函數，當時，令，由于函數和在上均為減函數，故函數在上也為減函數，因為函數在上為增函數，故函數在上為減函數，所以，函數在上也為減函數，因為函數在上連續，則在上為減函數，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.12、①②【解析】對于①，如果，則，也就是，所以，進一步計算可以得到該和為，故①正確；對于②，我們把分成四組：，由題設可知不是“閉集”中的元素，其余三組元素中的每組元素必定在“閉集”中同時出現或同時不出現，故所求的“閉集”的個數為，故②正確；對于③，因為在上的最大值為，故在上的最大值為，所以在上的最小值為，在上的最小值為，故③錯．綜上，填①②點睛：（1）根據可以得到，因此，這樣的共有，它們的和為，依據這個規律可以寫出和并計算該和（2）根據閉集的要求，中每組元素都是同時出現在閉集中或者同時不出現在閉集中，故可以根據子集的個數公式來計算（3）注意把非奇非偶函數轉化為奇函數或偶函數來討論13、【解析】由條件得到函數的對稱性，從而得到結果【詳解】∵f＝f，∴x＝是函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．∴f＝±2.【點睛】本題考查了正弦型三角函數的對稱性，注意對稱軸必過最高點或最低點，屬于基礎題.14、【解析】先確定函數單調性，再根據單調性化簡不等式，最后解一元二次不等式得結果.【詳解】在上單調遞增，在上單調遞增，且在R上單調遞增因此由得故答案為：【點睛】本題考查根據函數單調性解不等式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.15、①.15②.－3或【解析】根據分段函數直接由內到外計算即可求，當時，分段討論即可求解.【詳解】,,時，若，則，解得或（舍去），若，則，解得，綜上，或，故答案為：15；－3或【點睛】本題主要考查了分段函數的解析式，已知自變量求函數值，已知函數值求自變量，屬于容易題.16、##【解析】先根據面面垂直，取△的外接圓圓心G，梯形的外接圓圓心F，分別過兩點作對應平面的垂線，找到交點為外接球球心，再通過邊長關系計算半徑，代入球的表面積公式即得結果.【詳解】如圖，取的中點，的中點，連，，在上取點，使得，由是邊長為4的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，可得，，即梯形的外接圓圓心為F，分別過點、作平面、平面的垂線，兩垂線相交于點，顯然點為四棱錐外接球的球心，由題可得，，，則四棱錐外接球的半徑，故四棱錐外接球的表面積為故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3)【解析】(1)由題利用即可求解；（2）當x＜0，則﹣x＞0，根據函數為奇函數f（﹣x）＝﹣f（x）及當x＞0時，，可得函數在x＜0時的解析式，進而得到函數在R上的解析式；（3）根據奇函數在對稱區間上單調性相同，結合指數函數的圖象和性質，可分析出函數的單調性，進而將原不等式變形，解不等式可得實數的取值范圍．【詳解】解：（1）函數是定義在上的奇函數,解得（2）由(1)當,又是奇函數，(3)由及函數是定義在上的奇函數得由的圖像知為R上的增函數，，【點睛】本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合，其中熟練掌握函數奇偶性的性質，及在對稱區間上單調性的關系是解答本題的關鍵．18、（1）（2）【解析】（1）的定義域可以求出，即的定義域；（2）令，若，使得成立，即可轉化為成立，求出即可.【小問1詳解】∵的定義域為，∴∴，則【小問2詳解】令，，使得成立，即大于在上的最小值∵，∴在上的最小值為，∴實數的取值范圍是19、（1）為奇函數；證明見解析；（2）.【解析】（1）利用奇函數的定義即證；（2）由題可得當時，為增函數，法一利用對勾函數的性質可得，即求；法二利用函數單調性的定義可得成立，即求.【小問1詳解】當時，，則，當；當時，，滿足；當時，，則，，所以對，均有，即函數為奇函數；【小問2詳解】∵函數為R上的奇函數，且，，，所以函數在上為增函數，則在定義域內為增函數，解法一：因函數為奇函數，且在定義域內為增函數，則當時，為增函數當時，因為，只需要，則；解法二：因為函數為奇函數，且在定義域內為增函數，則當時，為增函數設對于任意，且，則有因為，則，又因為，則，欲使當時，為增函數，則，所以，當時，；；，所以，為R上增函數時，20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將問題轉化為求即可；（2）根據線面垂直證明線線垂直.【小問1詳解】在正方體ABCD-中，易知⊥平面ABD，∴.【小問2詳解】證明：在正方體中，易知，∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.又∵，、平面，∴BD⊥平面.又平面，∴21、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）在單位圓中畫出角的正切線，觀察隨增大正切線的值得變化情況，再觀察時，正切線的值隨增大時的變化情況，發現正切函數在區間上單調遞增.（2）當是銳角時，有，由此得到.解析：（1）當時