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文檔簡介
浙教版八年級上第4招數學建模之“雙平等腰”01典例剖析02分類訓練目
錄CONTENTS教你一招
在解決有關三角形的證明與計算問題時,若遇到角平分
線、平行線或等腰三角形中的其中兩個條件,常常可以通過
推理得到第三個結論.
如圖,在△
ABC
中,已知∠
ABC
和∠
ACB
的平分線
相交于點
F
,過點
F
作
DE
∥
BC
,交
AB
于點
D
,交
AC
于
點
E
.
若
BD
=5,
CE
=3,求線段
DE
的長.
有角平分線時,要善于利用相關的平行線(或
過角平分線上一點作角的一邊的平行線)構造等腰三角形,
它能為證明結論提供更多的條件.∴∠
DFB
=∠
DBF
,∠
CFE
=∠
ECF
,∴
BD
=
DF
=5,
FE
=
CE
=3,∴
DE
=
DF
+
FE
=5+3=8.解:∵∠
ABC
和∠
ACB
的平分線相交于點
F
,∴∠
DBF
=∠
FBC
,∠
ECF
=∠
BCF
.
∵
DE
∥
BC
,
∴∠
DFB
=∠
FBC
,∠
EFC
=∠
BCF
,
已知角平分線、平行線1.
如圖,在△
ABC
中,
BD
,
CD
分別是∠
ABC
,∠
ACB
的平分線,
DE
∥
AB
,
DF
∥
AC
,若△
DEF
的周長為
100
cm,則
BC
的長為
cm.100
1234562.
如圖,∠
ABC
的平分線
BF
與△
ABC
中的∠
ACB
的相鄰
外角的平分線
CF
相交于點
F
,過點
F
作
DF
∥
BC
,交
AB
于點
D
,交
AC
于點
E
.
(1)找出圖中所有的等腰三角形,并加以證明.123456【解】圖中有2個等腰三角形,即△
BDF
和△
CEF
.
證明如下:∵
BF
,
CF
分別平分∠
ABC
,∠
ACM
,∴∠
DBF
=∠
CBF
,∠
FCE
=∠
FCM
.
∵
DF
∥
BC
,∴∠
DFB
=∠
CBF
,∠
EFC
=∠
FCM
,∴∠
DBF
=∠
DFB
,∠
FCE
=∠
EFC
,∴
BD
=
FD
,
EF
=
CE
,∴△
BDF
和△
CEF
為等腰三角形.123456(2)線段
BD
,
CE
,
DE
之間存在著怎樣的數量關系?為
什么?【解】
BD
-
CE
=
DE
.
理由如下:由(1)可知,
DF
=
BD
,
CE
=
EF
,∴
BD
-
CE
=
FD
-
EF
=
DE
.
1234563.
如圖,在長方形
ABCD
中,
AB
>
AD
,把長方形沿對角
線
AC
所在直線折疊,使點
B
落在點
E
處,
AE
交
CD
于點
F
,連結
DE
.
(1)求證:△
ADE
≌△
CED
;123456
123456(2)求證:
DE
∥
AC
.
【證明】∵△
ADE
≌△
CED
,∴∠
DEA
=∠
EDC
,由折疊的性質,可得∠
EAC
=∠
BAC
.
易知
DC
∥
BA
,∴∠
ACD
=∠
BAC
,∴∠
ACD
=∠
EAC
.
又∵∠
DFE
=∠
AFC
,∴∠
ACD
=∠
EAC
=∠
DEA
=∠
EDC
,∴
DE
∥
AC
.
123456
已知角平分線、等腰三角形4.
如圖,
AE
平分∠
BAC
,
AC
=
CE
.
(1)求證:
AB
∥
CD
;【證明】∵
AE
平分∠
BAC
,∴∠
BAE
=∠
CAE
.
∵
AC
=
CE
,∴∠
CAE
=∠
CEA
,∴∠
BAE
=∠
CEA
,∴
AB
∥
CD
.
123456(2)若∠
C
=50°,求∠
AED
的度數.【解】∵∠
C
=50°
,∴∠
CAE
+
∠
CEA
=180°-∠
C
=130°.由(1)可知,∠
CAE
=∠
CEA
,∴∠
CEA
=∠
CAE
=130°÷2=65°.∴∠
AED
=180°-∠
CEA
=115°.1234565.
如圖,在△
ABC
中,
AB
>
AC
,
AF
是∠
BAC
的平分
線,
D
是
AB
上一點,且
AD
=
AC
,
DE
∥
BC
交
AC
于點
E
,連結
DF
,
DC
.
求證:
CD
平分∠
EDF
.
123456【證明】∵
AD
=
AC
,∴△
ACD
是等腰三角形.
∵
AF
是∠
BAC
的平分線,∴
AF
垂直平分
DC
,∴
DF
=
FC
,∴∠
FDC
=∠
FCD
.
∵
DE
∥
BC
,∴∠
FCD
=∠
EDC
,∴∠
EDC
=∠
FDC
,即
CD
平分∠
EDF
.
123456
已知平行線、等腰三角形6.
如圖,在等腰三角形
ABC
中,
AB
=
AC
,過點
C
作
CQ
∥
AB
,
P
為
BC
上任意一點,連結
AP
,
PQ
,使∠
APQ
=∠
BAC
,
PQ
交
CQ
于點
Q
.
求證:
PA
=
PQ
.
123456【證明】如圖,過點
P
分別作
PM
⊥
AC
,垂足為
M
,
PN
⊥
CQ
,垂足為
N
.
∵
AB
=
AC
,∴∠
B
=∠
ACB
.
∵
CQ
∥
AB
,∴∠
BCQ
=∠
B
,∴∠
BCQ
=∠
ACB
,∴
CP
平分∠
ACQ
,∴
PM
=
PN
,∴△
CPM
≌△
CPN
,123456∴∠
MPC
=∠
NPC
.
∵∠
BAC
=180°-∠
B
-∠
ACB
=180°-2∠
B
,∠
MPN
=2∠
MPC
=2(90°-∠
ACB
)=180°-2∠
B
,∠
APQ
=∠
BAC
,∴∠
MPN
=∠
BAC
=∠
APQ
,
∴
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