第1頁/共17頁龍巖一中2025屆高三上學期第一次月考數學試題考試時間：120分鐘總分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接由并集的概念即可求解.【詳解】由，得.故選：A.2.設，為實數，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用指數函數與對數函數的單調可判大小，但要注意對數函數的定義域是正數.【詳解】當成立時，由對數函數的單調性可得，即，再根據指數函數的單調性可得：，所以是的充分條件；當成立時，根據指數函數的單調性可得：，但由于，為實數，所以不能推出，所以是的不必要條件；故選：A.3.已知，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據對數的運算及，，，即可得出，，，然后根據對數函數的單調性即可得出，，的大小關系．【詳解】，，．故選：A．4.聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB.若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（）A.120dB B.100dB C.80dB D.60dB【答案】D【解析】【分析】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，根據題意得出和，算出，可計算出.【詳解】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，由題意可得，解得，因為，所以，所以，所以一般說話時聲音的等級約為60dB.故選：D5.已知為正實數，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把化簡為為，然后利用基本不等式即可求出最小值【詳解】因為，則，由于，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故選：C6.設函數，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數奇偶性與單調性，再根據奇偶性與單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】函數的定義域為，且，所以為偶函數，當時，因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增，則在上單調遞減，不等式，即，等價于，解得或，所以不等式的解集為.故選：C7.已知函數是R上的偶函數，且，當時，，函數f（x）在區間的零點個數為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據的對稱軸和對稱中心，結合函數的圖象即可判斷的零點個數.【詳解】因為函數是R上的偶函數，所以，所以關于直線對稱，因為，x=2時，由，當時，，故，又關于直線對稱，所以，由對稱性可得在上的大致圖象如下圖所示，則在區間的零點個數為9.故選：C.8.已知可導函數的定義域為，為奇函數，設是的導函數，若為奇函數，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由為奇函數，結合導數運算可得，由為奇函數，可得，整理可得，進而分析可得，即可得結果.【詳解】因為為奇函數，則，即，兩邊求導得，則，可知關于直線對稱，又因為為奇函數，則，即，可知關于點1,0對稱，令x=1，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可知，，根據對數函數的單調性可知D錯誤；，可知A正確；利用基本不等式可知，化簡整理可知B正確；在根據，利用不等式的性質，即可判斷C正確.【詳解】由題可知，，又，所以，D錯誤；因為，有．所以A正確；由基本不等式得，所以，當且僅當時，取等號；又因為，，所以，故，B正確；由于，，所以，C正確.故選：ABC．10.設函數，則（）A.當時，有三個零點B.當時，無極值點C.，使在上是減函數D.圖象對稱中心的橫坐標不變【答案】BD【解析】【分析】利用導數求出函數的極大值判斷A；由恒成立判斷B；由的解集能否為R判斷C；求出圖象的對稱中心判斷D.【詳解】對于A，當時，，求導得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，因此最多有一個零點，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數在R上單調遞增，無極值點，B正確；對于C，要使在R上是減函數，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯誤；對于D，由，得圖象對稱中心坐標為，D正確.故選：BD11.已知函數的定義域為，則（）A B.C.是偶函數 D.【答案】ABD【解析】【分析】A.令求解判斷；B.分別令，求解判斷；C.令利用函數奇偶性定義判斷；D.令求解判斷.【詳解】令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數，C錯誤.令，得，所以D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數（且）的圖象恒過定點P，點P在冪函數的圖象上，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】令便可得到函數圖象恒過點，將點代入冪函數中，解得的解析式，然后計算的值.【詳解】函數中，令，解得，此時，所以函數y的圖象恒過定點，又點P在冪函數的圖象上，所以，解得，所以，.故答案為：.13.若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則______.【答案】【解析】【分析】對于根據導數的幾何意義可得在處的切線是；對于：，結合導數的幾何意義列式求解即可.【詳解】對于：，可得，當，則，可知曲線在處的切線是；對于：，可得，令得，由切點在曲線上得.故答案為：.14.表示三個數中的最大值，對任意的正實數，，則的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】設，因，可得，借助于基本不等式可得，驗證等號成立的條件，即得.【詳解】設，則，，，因，則得．又因，所以，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為2．故答案為：2.【點睛】思路點睛：本題解題的思路在于，先根據的含義，設出，即得，將問題轉化為求的最小值，而這可以利用基本不等式求得，同時需驗證等號成立的條件.四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數為偶函數，（1）求a的值及函數的值域；（2）若命題“”為假命題，求實數m的取值范圍．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先根據函數是偶函數求出參數，再結合基本不等式求出值域；（2）先應用不等式恒成立化簡不等式，再設新參數結合（1）的范圍求出自變量范圍，再應用導數求出最值即可求參.【小問1詳解】∵為偶函數，，，，即對恒成立，．（當且僅當時取等）故值域為．【小問2詳解】若命題“”為假命題，則命題“”為真命題，，令，當且僅當時等號成立；則．對恒成立，即對恒成立．，故原式子又等價于對恒成立．令，則，則在上單調遞增．故，．故m的取值范圍為．16.某企業投資生產一批新型機器，其中年固定成本為1000萬元，每生產x臺，需另投入生產成本萬元.當年產量不足25臺時，；當年產量不小于25臺時，且當年產量為10臺時需另投入成本1100萬元；若每臺設備售價200萬元，通過市場分析，該企業生產的這批機器能全部銷售完.（1）求k的值；（2）求該企業投資生產這批新型機器的年利潤所（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式（利潤＝銷售額－成本）；（3）這批新型機器年產量為多少臺時，該企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）（2）（3）20臺，200萬元【解析】【分析】（1）將代入即可求解，（2）根據銷售額減去成本，即可得利潤，（3）利用二次函數的性質以及基本不等式可分別求得相應范圍上的最大值，進而比較求解.【小問1詳解】當，代入，得；【小問2詳解】由題意可得：當時，，當時，所以年利潤（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式為：；【小問3詳解】由（1）得時，，此時（臺）時，（萬元）當時，，當且僅當，即時等號成立，（萬元）而，故（臺）時，利潤最大，最大利潤是200萬元，綜上所述：年產量為20臺時，該企業所獲利潤最大，最大利潤是200萬元.17.已知函數．（1）當時，求的單調區間和極值；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）單調遞增區間為，遞減區間為；極大值為，無極小值；（2）【解析】【分析】（1）將代入，利用導數的正負與原函數的增減關系，確定函數的單調區間，即可得答案；（2）由題意可得即恒成立，設，利用導數求出的最大值即可．【小問1詳解】當時，，，令，則，故在上單調遞減，而，因此0是在上的唯一零點，即0是在上的唯一零點，當變化時，，的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減所以的單調遞增區間為，遞減區間為；所以的極大值為，無極小值；【小問2詳解】由題意知，即，即，設，則，令，解得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以，所以．所以的取值范圍為．18.已知函數（）.（1）若在其定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；（2）若，且有兩個極值點，其中，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結合導數與函數單調性的關系可轉化條件為在(0,+∞)上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；（2）由題意結合函數極值點的概念可得，，進而可得，轉化條件為，令（），利用導數求得函數的值域即可得解.【詳解】（1）的定義域為(0,+∞)，∵在(0,+∞)上單調遞增，∴在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，又，當且僅當時等號成立，∴；（2）由題意，∵有兩個極值點，∴為方程的兩個不相等的實數根，由韋達定理得，，∵，∴，又，解得，∴，設（），則，∴在上為減函數，又，，∴，即的取值范圍為.【點睛】本題考查了導數的綜合應用，考查了運算求解能力與邏輯推理能力，牢記函數單調性與導數的關系、合理轉化條件是解題關鍵，屬于中檔題.19.設集合或，中元素，，定義：．若為的元子集，對，都存在，使得，則稱為的元最優子集．（1）若，且，試寫出兩個不同的；（2）當時，集合，證明：為的2元最優子集；（3）當時，是否存在2元最優子集，若存在，求出一個最優子集，若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據給定定義直接寫出即可.（2）任取，確定存在的，使得，代入計算證得.（3）先考慮的情況，證明不存在最優子集即可推理