平行如邊形中的最值問題

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學難題進程中，可以靈活轉換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每

一類分別進行研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標準劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?典例分析

【典例1】如圖，菱形4BCD中，AB=4,乙4BC=60。，點P為4）邊上任意一點（不包括端點），連結

AC,過點尸作PQII4C邊CD點0,點R線段4C上的一點.

（1）若點火為菱形4BCD對角線的交點，PQ為△4CD的中位線，求PR+QR的值；

（2）當PR+QR的值最小時，請確定點R的位置，并求出PR+QR的最小值；

（3）當PR+QR+PQ的值最小時，在備用圖中作出此時點尸，。的位置，寫作法并寫出PR+QR+PQ的最

小值.

【思路點撥】

（1）由菱形的性質可得△ABC,△ACD均為等邊三角形，點R為力C的中點，連接PR,QR,利用三角形中

位線定理即可求解;

(2)由題可知△ABC,AXCD,△「￡?(?為等邊三角形，由菱形性質可知，AB與4D關于4C對稱，在4B上,

取點P的對應點P)連接PR,則PR=PR,AP=AP',連接PQ,交AC于點。，過點。作垂直于48的直線交AB

于Po,交CD于Qo,可得△AOP，三△COQ(AAS),可得。A=0C=a4C=2,則點。為力C中點，利用含30°的

直角三角形可得。Po=g，OQ0=V3,由三角形三邊關系及垂線段最短可知PR+QR=P'R+QRWP'QW

PoQo=2V3,當P',R,Q三點在同一直線上，且P，與Po重合時取等號，即當點R為4c中點，點P關于4C對

稱的點P'與點R坐在直線垂直于力B時，PR+QR有最小值28；

(3)同(2),與4。關于4C對稱，在48上，取點P的對應點P,連接P7?,則P7?=PR,連接PQ,交4C

于點0,由(2)可得點。為4C中點，作4。關于CD對稱的線段4D,取點P的對應點P",連接QP”,則

QP=QP",由對稱可知：/.P"QD=^PQD=60°,則PR+QR+PQ=PR+QR+QP"2PP",當P，，R,Q,

P”在同一條直線上時取等號，此時點R為4C中點，可知aCRQ,為等邊三角形，進而即可求解.

【解題過程】

(1)解：?.?四邊形48CD是菱形，/.ABC=60°,AB=4,

：./.ABC=ZD=60°,AB=BC=CD=AD=4,則△ABC,△2CD均為等邊三角形,

-.AD=AC=CD=4,

???點R為菱形4BCD對角線的交點，

.?.點R為AC的中點，

連接PR,QR,

???PQ為△4CD的中位線，

.■.PR,QR也為△2CD的中位線，

則PR=|C￡)=2,QR=^AD=2,

.-.PR+QR=4；

(2)由(1)可知△4BC,△2CD均為等邊三角形,

貝此BAC=AACD=ACAD=ZD=60°,AB=BC=CD=AD=AC=4

■■PQIIAC,

:/DPQ=ZCXD=60°,則△PDQ為等邊三角形，

：.PD=QD,貝必P=CQ,

由菱形性質可知，AB與4D關于4c對稱，在AB上，取點P的對應點P,連接PR,則PR=PR,AP=AP',

連接PQ,交AC于點0,過點。作垂直于力B的直線交4B于Po，交CD于Qo，

APD

■：AP=CQ,則AP=AP'=CQ,

又?.zaop,=Z_COQ,

△AOP三△COQ（AAS）,

：.OA=OC=\AC=2,則點。為ac中點，

?.ZBAC=Z-ACD=60°,Z-AP0O=/.CQ0O=90°,

：.Z.AOPQ=Z,COQQ=30°,

：.APo=^OA=1,CQ0=l0C=l,由勾股定理可得：0Po=g,OQ0=V3,

-'-PoQo=2V3,

■:P'R=PR,

.-.PR+QR=P'R+QR<P,Q<P0Q0=243,當P',R,Q三點在同一直線上，且P與P0重合時取等號，即:

R與點。重合（點R為4C中點），P'與Po重合時取等號，

綜上，當點R為4C中點，點P關于4c對稱的點P與點R坐在直線垂直于力B時，PR+QR有最小值2班；

（3）同（2）,4B與2D關于力C對稱，在2B上，取點P的對應點P,連接PR,則PR=PR,連接PQ,交力C

于點。，由（2）可得點。為力C中點，

作力。關于CD對稱的線段4。，取點P的對應點P",連接QP”,則QP=QP",

P'/0

BC'、4

???△PDQ為等邊三角形，

;/PQD=60°,由對稱可知：乙P"QD=乙PQD=60°,

貝|JPR+QR+PQ=P7?+QR+QP"2PP”,當P,R,Q,P”在同一條直線上時取等號,

此時點R為4C中點，

■：Z.P"QD=乙PQD=60°=AADC,貝!jQP"IIAD

??.PP”過點。（點R）,且P，P"II40,

可知△CRQ,△ARP為等邊三角形，CQ=RC=QR=2,QD=PD=PQ=2,AP=AR=PR=2,即P,

R,Q,分別為4D,AC,CD的中點，

止匕時PR+QR+PQ=6,

作圖，如下：

作法：取4。的中點為P,作PQII4C交CD于Q；

綜上，PR+QR+PQ的最小值為6.

?學霸必刷

1.（23-24八年級下?江蘇泰州?期中）如圖，在矩形48CD中，4B=4,BC=10,點￡為CD中點，尸、。

為BC邊上兩個動點，且PQ=2,則四邊形力PQE周長的最小值為（）

A.10+2V26B.10+2V13C.12+2V26D.2V26

【思路點撥】

本題考查了矩形的性質，軸對稱-最短路線問題的應用，正確做出輔助線確定出P和。點的位置是解答本題

的關鍵.要使四邊形力PQE的周長最小，由于力E與PQ都是定值，只需4P+EQ的值最小即可.為此，先在BC

邊上確定點尸、Q的位置，可在4。上截取線段4F=PQ=2,作凡點關于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一

點即為Q點，過4點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時力P+EQ=EG最小，即四邊形4PQE的周

長最小.

【解題過程】

解：在4。上截取線段4F=PQ=2,作F點關于8c的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過4點作FQ

的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點.則四邊形4PQF是平行四邊形,

：.PA=FQ=GQ,

???E為CD邊的中點，

.,.DE=EC=2,

：.AE=7AD2+DE2=V102+22=2V26

■：GH=DF=8,EH=EC+CH=2+4=6"=90°,

.■.EG=7GH2+EH2=V82+62=10,

.1四邊形4PQE的周長的最小值=QE+EA+PQ+AP

=2V26+EQ+2+AP

=2屬+EQ+2+QG

=2V26+EG+2

=2V26+2+10

—12+2V26,

故選C.

2.（2024?河南安陽?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.點E在邊力D上，且ED=6,

M,N分別是邊AB、BC上的動點，P是線段CE上的動點，連接PM,PN,使PM=PN.當PM+PN的值最

小時，線段PC的長為（）

A.2B.2V2C.4D.4夜

【思路點撥】

本題主要考查了矩形的性質與判定，軸對稱的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，先證明△CDE是

等腰直角三角形，作點N關于EC的對稱點M,則N，在直線CD上，連接PM,則PN=PM,則當P、M、N三

點共線，且MV1CD時，PM+PM有最小值，即PM+PN有最小值，可證明四邊形是矩形，得到MV

=AD=8,貝=PM==4,再證明△PCM是等腰直角三角形，即可得到PC==4五.

【解題過程】

解：???四邊形4BCD是矩形，

：.AB=CD=6,ND=90°,

:.DE=CD=6,

.?.△CDE是等腰直角三角形，

:/DCE=45°,

作點N關于EC的對稱點則M在直線CD上，連接PM,如圖：

：.PM+PN=PM+PN',

.?.當P、M、V三點共線，且MM1CD時，PM+PM有最小值，即PM+PN有最小值,

二四邊形4MM。是矩形，

.-.MN'=AD=8,

；.PN'=PM=^MN'=4,

,:乙PNC=90°,乙PCN'=45°,

.?.△PCM是等腰直角三角形，

:.PC=y[2PN'=4VL

故選：D.

3.（23-24九年級上?貴州貴陽?期中）如圖，在矩形4BCD中，AD=3,=4,￡是CD邊上一點，連接

AE,沿4E翻折△4DE,得至連接CF.當CF長度最小時，△CEF的面積是（）

A.7B.JC.|D.2

4D

【思路點撥】

連接2C,如圖，根據(jù)折疊的性質得到AF=4。，DE=EF,當點2、F、C三點共線時，4F+CF最小，此時

CF的最小值^AF+CF-AF=AC-AD,根據(jù)勾股定理得到AC=7AD2+CD2=5,得到CF長度的最小值

=5-3=2,設DE=EF=x,貝。CE=4—x,根據(jù)勾股定理得到EF=|根據(jù)三角形的面積公式得到△CEF

1QQ

的面積是5x-x2=-.

【解題過程】

解：連接4C,如圖，

二

???△4DE1沿/E翻折至△AFE,

：.^ADE=/\AFE,

^AF=ADfDE=EF,

vAF+CF>AC,

???當點4、F、C三點共線時,AF+CF最小，此時CF的最小值=AF+CF-AF=AC-AD,

???四邊形力BCD是矩形,

???"=90°,

-AD=3,CD=4,

???AC—y/AD2+CD2=5,

???CF長度的最小值=5—3=2,

設DE=EF=x,貝lJCE=4一%,

vZ-AFE—乙D=90°,

???乙CFE=90°,

???CE2=EF2+CF2,

???(4—%)2=%2+22,

解得，％=|，

3

???EF=-

1QQ

CEF的面積是:x|x2=I，

故選：C.

4.（23-24九年級下?安徽合肥?期中）如圖，在長方形2BCD中，AB=1,BC=2,點尸在線段4D（包括

端點）上運動，以線段8P為邊，向右側作正ABPE,連接EC.下列結論正確的是（）

A.當點尸與點/重合時，CE最小B.當點尸與點。重合時，CE最小

C.當CE最小時，A、E、C三點共線D.當CE最小時，乙PEC=75°

【思路點撥】

以4B為邊向右作等邊△力BF,連接EF.利用全等三角形的性質證明NBFE=90。，推出點E在射線FE上運動,

且FELBF,設FE交于點。，再證明BF=4B=EF=4P=1,利用等腰三角形的性質，可得結論.

【解題過程】

解：如圖，以為邊向右作等邊△4BF,連接EF.

???△BPE是等邊三角形，

???乙ABF=Z.PBE=60°,BP=BE,BA=BF,

???Z-ABP=乙FBE,

???△ABPzAFBE(SAS),

???乙BAP=乙BFE=90°,AP=BF,

.??點E在射線FE上運動，且FE1BF,設FE交BC于點。，

貝lUFB。=900-AABF=30°,

當CE_LFE時，CE的長最小，此時CEIIBF,則NFB。=NOCE=30。,

；.尸。=迦,OE=《OC,

EF=FO+OE=^OB+=|fiC=1,

8F=48=EF=AP=1,即：點P為中點

:.乙FBE=乙FEB=4ABp=45°,

??"EC=45°+90°=135。，

???乙PEC=乙BEC-乙BEP=135°-60°=75°.

綜上，當點P為力。中點時，CE的長最小，此時NPEC=75°；

故選：D.

5.（2023?遼寧盤錦?模擬預測）如圖，在矩形A8CD中，對角線AC、8D相交于點O,

AAOD=120°,AB=2,點E是BD上一動點，點尸是4E的中點，連接PB、PO,則PB+P。的最小值為

AD

A.V5B.3C.V7D.V13

【思路點撥】

取4B的中點尸，作直線PF,易得PF||BE,作點8關于直線PF的對稱點X,連接交直線P尸于點G,連接

0H,得到「。+。”2。"，根據(jù)矩形的性質，軸對稱的性質結合勾股定理求出。H的長即可.

【解題過程】

解：取48的中點尸，作直線PF,

r點尸是4E的中點，

.-.PF||BE,

作點8關于直線PF的對稱點〃，連接交直線PF于點G,連接。H,

：.PB=PH/PGB=90°,

???四邊形ABC。是矩形，AB=2,

...BF=4F=1,02=0C=/c,OB=OD=池,AC=BD,

：.OA=OB,

-AAOD=120°,

：.Z-AOB=180°-Z,AOD=60°,

是等邊三角形，

.-.OB=AB=2f乙BFG=A.ABO=60°,

"FBG=30°,

??.FG==I，乙HBO=90°,

：.BH=2BG=V3,

■■.OH=7BH2+0B2=(V3)2+22=V7,

■■■PO+PH>OH,

■■.PO+PB>47,

■-PO+PB的最小值為V7,

故選：c.

6.（23-24八年級下?河南周口?期中）如圖，在菱形4BCD中，E,尸分別是邊2D,BC上的動點，P是對角

線2C上的動點，且PEIICD.若AB=4,<8=45。，貝l」PE+&PF的最小值是（）

【思路點撥】

本題考查菱形的性質，勾股定理，根據(jù)菱形的性質和平行線的性質可得48==4AEP=45°,過P作

PMlAD^M,貝|PE=?PM,PE+y/2PF=V2（PM+PF）,當P、M、F三點共線且與4。垂直時PE+迎PF

最小，最小值為菱形的高，求解即可.

【解題過程】

過P作于M,過4作2N1BC于M,

：.Z-B—乙D=45°,

-PEWCD,

；/D=AAEP=45°,

.-.EM=PM,PE=yjEM2+PM2=立PM,

..PE+V2PF=42PM+V2PF=V2（PM+PF）,

.?.當P、M、F三點共線且與AD垂直時PE+最小，最小值為菱形的高2N,

,"=45。，，

■.AN=BN,

■,■AB=4,AN2+BN2=AB2,

.-.2AN2=42

.-.AN=2V2,

即PE+&PF的最小值是2vL

故選：D.

7.（22-23八年級下?山東泰安?期末）如圖，菱形4BCD的邊長為4,且=60°,E是BC的中點，P為BD

上一點且aPCE的周長最小，則4PCE的周長的最小值為（）

A.2上+2B.V7+1C.2V3+2D.2夕+1

【思路點撥】

由菱形的性質可得點力與點C關于BD對稱，連接AE交BD于點P,連接PC,則aPCE的周長

=PC+PE+CE=AE+CE,此時APCE的周長最小，過點E作EG14B交力B的延長線于G,由菱形的性質

和=60。可得NE8G=60。，從而可得BG=1,EG=遍,最后由勾股定理計算得出4E=2近，即可

得出答案.

【解題過程】

解：,??四邊形48CD是菱形，

???點4與點C關于BD對稱，

如圖，連接4E交BD于點P,連接PC,

D

則PE+PC=PE+PA=AE,

??.APCE的周長=PC+PE+CE^AE+CE,此時△PCE的周長最小，

???E是BC的中點，菱形力BCD的邊長為4,

BE=CE=2,

過點E作EG1ZB交48的延長線于G,

???四邊形/BCD為菱形，邊長為4,

-.AD||BC,AB=4,

???乙EBG=4BAD=60°,

EG1AB,

???乙EGB=90°,

:?乙EBG+乙BEG=90°,

???乙BEG=30°,

???BG=^BE=1,EG=y/BE2—BG2=V22—l2=V3,

:.AG=AB+BG=4+1=5,

2

AE=VXG2+EG=J52+（遮）2=2V7,

PCE的周長的最小值=AE+CE=2y[7+2,

故選：A.

8.（23?24九年級上?安徽合肥?開學考試）如圖，在菱形ABCO中，48=4,E是43邊上一點，且

ZX=AEDF=60°,有下列結論：①△DEF是等邊三角形；②乙ADE=4BEF；③△BEF周長的最小值

為4+2仃；④ZiBEF面積的最大值為8.其中正確結論有（）

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】

根據(jù)等邊三角形與菱形的性質解答即可.

【詳解】解：連接

?.?菱形中，=60°,

???△4DB與△CD8是等邊三角形，

???乙DBE=ZC=60°,BD=DC,

-Z.EDF=60°,：.Z,BDE=2CDF,

(乙DBE=zf

在ABOE和△COF中，［BD=CD,

V^BDE=乙CDF

??.△DBE=△OCF(ASA),

.-.DE=DF,乙BDE=4CDF,BE=CF,

.-.Z.EDF=(BDC=60°,

??.△OEF是等邊三角形，故①正確；

"DEF=60°,：./-AED+乙BEF=120°,

?.^AED+Z.ADE=180°-N/=120°,

：.Z-AED+乙BEF=Z.AED+Z-ADE,

^^.ADE=Z.BEF,故②正確；

△BEF的周長=BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

???等邊三角形△DEF的邊長最小時，△BEF的周長最小，

當DEI時，DE最小=28，

△周長的最小值為4+26，故③正確；

?.?菱形4BCD邊長為4,/.BAD=60°；

△48。與△BCD為正三角形，

:.△BDFwAADE,

：.AE=BF,

'：AB=4,

：.BE+BF=4,

過F作交48延長線于點H,設BE=%,貝/尸=4一%,

；/BHC=90°,

?.?四邊形ABC。是菱形，

=乙4=60°,

在RS8FH中，由勾股定理得：尸”=孚（4一支），

△BEF的面積=.F"=3?孚（4—%）=—等+后=一同（x—2）2+W,

當x=2時，

△BE尸的面積最大值為：—fx（2—2A+遍=遮，

故④正確；

綜上正確的有①②③④共4個，

故選：D.

9.（2024?安徽合肥?一模）如圖，正方形2BCD的邊長為4,點E,尸分別在邊DC,BC上，且4E平分NCAD,

DE=CF,連接DF,分別交4E,2C于點G,點M.P是線段力G上的一個動點，過點P作PN14C,垂足為N,

A.2V2—1B.2V2C.2V3D.2V3+1

【思路點撥】

本題考查了正方形的性質、三角形全等的判定與性質、角平行線的定義，線段垂直平分線的判定與性質、

勾股定理，連接8。與4C交于點。，交4G于點連接HM,PD,證明△40E三△OtT(SAS),得到

乙4GM=90。，^AGM=AAGD,進而可證明△4GM三△AGD(ASA),得到GM=GD,推導出力E是線段DM

的垂直平分線，得到=由兩點之間線段最短可得，當點P與點H重合時，PM+PN的值最小，進而

由PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO,求出即可求解，確定出點P與點H重合時，PM+PN的值最

小是解題的關鍵.

【解題過程】

解：如圖，連接BD與2C交于點。，交4G于點H,連接HM,PD,

AD

BFC

???四邊形/BCD為正方形，

'.AD=DC=BC,Z-ADC=乙DCB=90°,

???DE=CF,Z.ADE=乙DCF,AD=DC,

.??△4DEwZ\DCF(SAS),

：.Z-DAE=乙CDF,

-Z.CDF+Z.ADG=90°,

：./LDAE+/-ADG=90°,

：.Z-AGD=90°,

??.乙4GM=90°,

：.Z.AGM=Z-AGD,

???/E平分NC4。，

：.Z.MAG=Z.DAG,

'：AG—AG,

??.△AGM=△4GD(ASA),

???GM=GD,

.ME是線段DM的垂直平分線，

.-.HM=HD,

當點P與點H重合時，PM+PN的值最小，

此時PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO,

即PM4-PN的最小值是D。的長，

???正方形4BCD的邊長為4,

.-.BD=V42+42=4V2,

:.D0=|B￡）=2A/2

.■.PM+PN的最小值為2vL

故選：B.

10.（22-23八年級下?江蘇無錫?期末）如圖，￡為正方形ABC。中BC邊上的一點，且48=12,BE=4,

M.N分別為邊CD、4B上的動點，且始終保持MN1AE,則4M+NE的最小值為（）

A.8B.8V3C.8V5D.12

【思路點撥】

由勾股定理可求4E的長，由“ASA”可證△A8E三可得￡）H=力5=4祗，通過證明四邊形NEGM是

平行四邊形，可得NE=MG,MN=EG=AE=4V10,由AM+NE=4M+MG,可得當點力,點點G

三點共線時，4M+NE的最小值為4G,由勾股定理即可求解.

【解題過程】

解：過點。作DHIIMN,交AB于點過點E作EGIIMN,過點M作MGIINE,直線EG、MG交于點G,連接

AG,如圖,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AB||CD,CB=/.BAD=90°,

-AB=12,BE=4,

-AE=7AB2+BE2="44+16=4V10,

???DH||MN,AB\\CDf

???四邊形OHNM是平行四邊形,

??.DH=MN,

-MNlAEfDH||MN,EG11MN,

：.DHLAE,/ElEG,

：./LBAE+AAHD=90°=乙AHD+乙ADH,^AEG=90°,

：.^LBAE=2LADH,

(^BAE=Z.ADH

在△/BE和中，｛AB=AD

l乙B=乙BAD

△ABE=△DAH(ASA),

:.DH—AE—4410,

.?.MN=DH=AE=4V10，

-EGWMN,MGWNE,

???四邊形NEGM是平行四邊形，

??.NE=MG,MN=EG=AE=4V10,

,-.AM+NE=AM+MG>AG,

???當點4,點M,點G三點共線時，ZM+NE的最小值為ZG,

???/G=VEG2+AE2=8V5.

故選：c.

11.（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）正方形4BCD,BEFG如圖放置，AB=6,AG,CE相交于點尸，0為

4。邊上一點，且DQ:4Q=l:2,貝葉Q的最大值為（）

A.3V2+3B.3V2+V10C.7D.V53

【思路點撥】

如圖，連接力C,取4C的中點。，連接0Q,延長4D至E,使DE=2,連接CE,0P,利用等腰直角三角形性

質可得4C=內。=6近，由DQ:4Q=1:2,可得DQ=2,AQ=4,利用勾股定理可得CE=271萬，再由

三角形中位線定理可得。Q=V1U,再證得△力BG三△CBE（SAS）,進而得出。P是△4CE的中線，即

OP-3V2,由PQWOP+OQ=3魚+06，即可求得答案.

【解題過程】

解：如圖，連接AC,取力C的中點O,連接0Q,延長2D至E,使DE=2,連接CE,0P,

?.?四邊形ABC。、BEFG是正方形，AB=6,

：.AD=CD=AB=BC=6,BG=BE,4ADC=4ABe=乙CBE=90°,

.'.AC=y/2AD=6V^,

'：DQ\AQ=1:2,

；.DQ=3。=2,AQ=，￡)=4,

???QE=DQ+DE=2+2=4,

.??/Q=QE,即0是TIE的中點，

又,??點O是/C的中點，

??.0Q=1CF,

?:乙CDE=90°,

??.CE='CD?+DE2=462+22=2V10,

??.OQ==V10,

(AB=BC

在△ABG和△CBE中，\/-ABC=/-CBE=^Q,

IBG=BE

：.AABG=ACBE(SAS),

：.Z-BAG=乙BCE,

MBCE+Z.CEB=90°,

：,/,BAG+乙CEB=90°,

：.^APC=乙BAG+乙CEB=90°,

??,點O是AC的中點,

.-.OP==3V2,

在△OPQ中，PQ<OP+OQ=3y/2+V10,

???PQ的最大值為3?+VTU,

故選：B.

12.(2023?江蘇宿遷?一模)如圖，已知四邊形ZBCD中，AD\\BC,Z4=90°,AB=BC=4,AD=2,點

E,F分別是邊4D,8c上的兩個動點，且4E=CF,過點8作BG1EF于G,連接CG,貝UCG的最小值是

()

A.2V10-V2B.V10+V2C.V10D.V10-V2

【思路點撥】

過點C作CM1BC,交2D延長線于連接BM,交EF于O,則構造的四邊形2BCM為正方形，由ASA可證

△MEO=ABFO,得出OM=OB,則。是正方形ZBCM的中心，由正方形的性質得出=4五，0B=2

V2,取。B中點N,連接NC、NG,過點N作NHJ.BC于H,由勾股定理求出CN=怖，由直角三角形的中

線性質得出NG=^08=VL由三角形三邊關系得CGNCN—NG=可一VL則當C、G、N三點共線時,

CG最小，即可得出結果.

【解題過程】

解：過點。作CMLBC,交40延長線于連接BM,交EF于O,如圖所示：

?"CM=90。,

-ADWBC,乙4=90°,

：.Z-ABC4-=180°,

-./.ABC=90°.

-Z.ABC=^A=乙BCM=90°,

???四邊形48cM為矩形.

-AB=BC,

??.四邊形ZBCM為正方形，

.-.AM=BC.

-ADWBC,

：.Z.EMO=乙FBO,乙MEO=乙BFO,

-AE=CF,

.'.EM=BF,

又?.?乙EMO=^FBO,乙MEO=^BFO,

???AMEONABFO,

??.OM=OB,

??.O是正方形4BCM的中心.

??,AB=BC=4,

.-.BM=4V2,OB=2V2,

取。B中點N,連接NC、NG,過點N作NH18C于〃，

?:BN=10B=V2,

.-.NH=BH=1,

.-.CH=4—1=3,

在Rt中，由勾股定理得：CN=7cH2+NH2=V32+12=怖,

在RtaBG。中，N是。B的中點，

.-.NG=|05=V2.

■：CG>CN-NG=V10-V2,

當C、G、N三點共線時，CG最小為：V10-V2.

故答案為：V10-V2.

13.（22-23九年級下?江蘇宿遷?期中）如圖，在正方形2BCD中，E為BC邊上一動點（點E,8不重合），AAEP

是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接OP.若力B=1時，則△4DP周長的最小值為（）

A.3B.V5C.V5+1D.V7+1

【思路點撥】

如圖所示，在48上取一點G使得BG=BE,連接EG,CP,由正方形的性質得到AB=BC=AD=CD=1,

ZB=^BCD=90°,證明△力GE三△ECP得至ljNECP=N4GE=135。，進而推出點尸在直線CP上運動；如

圖所示，作點。關于直線CP的對稱點R連接CF,AF,PF,則DP=FP,CF=CD=1,/DCP=NFCP=45。,

即NDCF=90。，即可證明8、C、尸三點共線，進一步推出當4、P、F三點共線時，△AOP的周長有最小值,

最小值為4尸+1，由勾股定理得4尸=而，則△力DP的周長最小值為代+L

【解題過程】

解：如圖所示，在4B上取一點G使得BG=BE,連接EG,CP,

???四邊形是正方形，

：.AB=BC=AD=CD=1,LB=乙BCD=90°,

,：Z-AEP=90°,

：,Z.BAE+/-BEA=90°=^BEA+(CEP,

：.Z-GAE=乙CEP,

-BG=BE,

"BGE=乙BEG=45°,

??.4GE=90°,

-AB-BG=BC-BE,

.,.AG=EC,

又?.?ZE=EP,

△AGE=△ECP(SAS),

,"ECP=乙AGE=135°,

???(DCP=45°,

???點尸在直線CP上運動，

如圖所示，作點。關于直線CP的對稱點尸，連接CF,AF,PF,

:.DP=FP,CF=CD=1,/.DCP=Z.FCP=45°,即/DCF=90。，

.-.^DCF+^BCD=180°,即B、C、尸三點共線,

△4DP的周長=AD+DP+AP=1+DP+AP=AP+PF+1,

???當人P、F三點共線時，△ADP的周長有最小值，最小值為AF+1,

在Rt△力BC中，由勾股定理得4F=7AB2+BF2=712+(1+1)2=V5,

△4DP的周長最小值為遙+1,

故選C.

14.（2024?四川成都一模）如圖,在矩形2BCD中，BC=2AB,點M,N為直線AD上的兩個動點，且

NMBN=30。,將線段BM關于BN翻折得線段BM',連接CM'.當線段CM'的長度最小時，NMM'C的度數(shù)為

【思路點撥】

將線段BA繞點2順時針旋轉60。后點/落在點E,連接BE,得到△ABM三△EBMQ再由當CM1E尸時，

CM有最小值，可得aEBG與aMCG均為30。、60。、90。直角三角形，再證明△2BM為等腰直角三角形，

△是等邊三角形，進而得到=N4MB=60。，最后當CMUEF于〃時，CM，有最小值，由此可

以求出乙MMC=AEM'C-乙EM'M=90°-15°=75°.

【解題過程】

解：將線段B力繞點3順時針旋轉60。后點/落在點E,連接BE,設EM交BC于G點，如下圖所示：

AMD

F

在矩形/8C0中，2LA=Z.ABC=90°,AD=BC,

根據(jù)折疊可知，=60°,BM=BM',

：.^LABM=2ABE一乙MBE=60°-乙MBE,

乙EBM，=乙MBM，一乙MBE=60°-乙MBE,

：.Z-ABM=乙EBM',

-BA=BE,BM=BM',

??.△ABM=△EBM'(SAS),

：.AM=EM',Z,E=￡.A=90°,

MEBG=90°-60°=30°,

=乙EBG+乙BEG=90°+30°=120°,

"EGC=120°,

=乙EGB=180°-120°=60°,

???點M在EF上，

???垂線段最短，

???當CMUEF時，CM，有最小值，

.?.△￡186與4M￡6均為30。、60。、90。直角三角形，

設EG=x,BC=2y,

則BG=2EG=2%,CG=BC-BG=2y-2x,GM'=^CG=y-x,

.'.EM'=EG+GM'=x+(y—%)=y=

-：BC=2AB,

：.AB=匏C,

.-.EM'=AB,

??.4M=EM',

.t.AB=AM,

???△/BM為等腰直角三角形，

：,Z.EM'B="MB=45°,

-Z-MBM'=60°,BM=MB

??.△MBM是等邊三角形，

=60°,

.?ZEM'M=/-BM'M-Z.EM'B=60°-45°=15°,

.?ZMM'C=Z.EM'C-￡.EM/M=90°-15°=75°,

故答案為：75.

15.（22-23九年級上?山西運城?期中）如圖,在矩形ABC。中,E是BC上一動點，△ABE沿AE折疊后得到△AFE,

點/在矩形/BCD內部，延長/F交CD于點G,AB=6,AD=8.當點￡是8。的中點時，線段GC的長

；點后在運動過程中，當ACFE的周長最小時，CE的長為

圖2

【思路點撥】

第一填空，連接GE,根據(jù)中點性質以及翻折性質可以求出BE=EF=EC,然后利用“HL”證明△GFE和

△GCE全等，得到“=CG,設“=x,表示出4G、DG,然后在RtaADG中，利用勾股定理列式進行計算

即可得解；第二填空，連接4C,根據(jù)勾股定理求出AC=10,根據(jù)EF=BE,得到EF+CE=BC=8,得到

C產值最小時，△0石尸的周長最小，推出點尸在4C上時，CF取得最小值，為CF=4C—4F=4,設

CE=y,得到EF=8—y,根據(jù)NCFE=90°,運用勾股定理求得y=5.

【解題過程】

圖1

?.?在矩形4BCD中，NB=NC=ND=90。，DC=AB=6,BC=AD=8,E是BC的中點,

.-.BE=EC=4,

由折疊知，/-EFA==90°,AF=AB=6,EF=BE=4,

.-.EF=EC,/.EFG=NC=90°,

在Rt△GFE和Rt△GCE中，

(EG=EG

\EF=EC'

.-.Rt△GFEmRt△GCE(HL),

.-.GF=GC,

設GF=GC=x,

則4G=6+x,DG—6—x,

?.?在Rt△4DG中，AD2+DG2=AG2

.-.82+(6-%)2=(6+x)2,

解得久號，

即GC=*

故答案為：*

如圖2,連接4C,貝！MC=7AD2+CD2=10,

：.EF+CE=BE+CE=BC=8,

二當CF值最小時，的周長最小，

當點尸在AC上時，CF值最小，此時，CF=AC-AF=4,

設CE=y,則EF=8—y,

■：/.AFE=90°,

:ZCFE=180°-Z.AFE=90°,

：.CF2+EF2=CE2,

.-.42+(8—y)2—y2,

解得y=5,

即CE=5.

故答案為：5.

16.(22-23八年級下?陜西西安?期末)如圖，矩形ABCD中，AB=2?4。=8,E、尸分別為2D、BC上

兩個動點，且NEFC=60。，連接4尸，CE,當AF+EF+CE最小時，BF的長為.

BFC

【思路點撥】

作EH1BC,可以求得EF的長度，再過A作4GIIEF,且力G=EF,連接EG,則四邊形AGEF為平行四邊形,

AF=EG,貝!JAF+EF+CE最小，就是EG+EC最小，求解即可.

【解題過程】

解：作EH1BC,如下圖：

四邊形48HE和四邊形CDEH為矩形，

則4B=CD=EH=2V3,AE=BH

在Rt△￡1///中，Z.EFH=60°,Z.EHF=90°,EH=2曲

.-.Z.FEH=30。

設FH=%,貝UEF=2%,由勾股定理可得：x2+(2V3)=(2%)2

解得x=2,即FH=2,FF=4

.■.AF+EF+CE最小，就是4F+EC最小，

過4作AGIIEF,且4G=EF,連接EG,GC,如下圖：

則四邊形4GEF為平行四邊形，AF=EG,

則4F+EC最小，就是EG+EC最小，

由三角形三邊關系可得，EG+EC>GC,

即當G、E、C三點共線時，EG+EC最小，如下圖:

.-.ECWAF

又?MEIICF

四邊形AFCE為平行四邊形，

.-.AF=CE,AE=CF=BH

；.BF=CH

：.BF+CH+FH=2BF+FH=BC,即28尸+2=8

解得：BF=3

故答案為：3

17.（23-24八年級下?北京東城?期中）如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8,點M是邊BC的中

點，點N是邊CD上一點，點P是對角線BD上一點，貝IJPM+PN的最小值為.

【思路點撥】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質，勾股定理的應用，菱形的面積，解此題的關鍵是能確定出

當QN1CD時有最小值.作M關于BC的對稱點0,連接NQ,交BD于P,連接PM,則PM+PN=QN,要

使PM+PN的值最小，則當QN1CD時，QN有最小值，則連接4C,求出CP、BP,根據(jù)勾股定理求出CD長,

再根據(jù)等面積法即可得出答案.

【解題過程】

解：作M關于BD的對稱點0,連接NQ,交BD于P,連接PM,

:.PQ=PM,

：.PM+PN=PQ+PN=QN

要使PM+PN的值最小，即QN要最小,

四邊形4BCD是菱形，

■.AC1BD,乙QBP=4MBP,

又???”（？,M是邊BC的中點，

即。在48上，且為中點，

???AB||CD

???當QN_LCD時，QN有最小值，

???四邊形/BCD是菱形，

11

.??CP=-AC=3DP=-BD=4

2f2

CD=JBP2+CP2=5

1

S菱形ABCD=~^AC?BD=QN.CD

1

-x6x8=5QN

24

?--QN-

PM+PN的值最小為餐，

故答案為：

18.（23-24八年級下?江蘇南京?階段練習）如圖，四邊形4BCD為平行四邊形，延長4。到點E,使

DE=AD,且BE1DC,若△ADB是邊長為3的等邊三角形，點P、M、N分別在線段2￡、BC、CE上運動,

則PM+PN的最小值為.

E

【思路點撥】

根據(jù)四邊形4BCD為平行四邊形，得到SB=CD/B||=BC/D||BC,結合BE1DC,得到

NEBA=90。，根據(jù)△4DB是邊長為3的等邊三角形，得到4。=DB=4B/4=60。，得到四邊形ABCD是

菱形，結合DE=4。得到4。=DB=AB=ED=BC,得到四邊形BCED是菱形，作點M關于直線BE得對稱

點Q,則。一定在BD上，根據(jù)垂線段最短，過點。作QG1EC于點G,交BE于點R,當尸與R重合，點N

與點G重合時，PM+PN取得最小值，即菱形8CED的高，過點C作CF1B。于點尸，計算CF即可，本題考

查了菱形的判定和性質，線段和最小，垂線段最短，正確構造最短線段是解題的關鍵.

【解題過程】

,四邊形力BCD為平行四邊形，

.-.AB=CD.AB||CD,AD=BC,AD||BC,

'.'BE1DC,

：,/LEBA=90°,

???△/DB是邊長為3的等邊三角形，

：,AD=DB=AB=3,乙4=60°,

???四邊形是菱形，

?，AD=DB=AB=BC=3/BCD=60°

??.△是邊長為3的等邊三角形，

-DE=AD

.-.AD=DB=AB=ED=BC,

二.四邊形BCED是菱形，

作點加關于直線BE得對稱點Q,則。一定在BD上，根據(jù)垂線段最短，過點0作QG1EC于點G,交BE于

點R,當尸與R重合，點N與點G重合時，PM+PN取得最小值，即菱形8CE0的高，

E

-.DF=|SD=

：.CF=y/CD2-DF2=竽

故PM+PN的最小值為竽,

故答案為：苧.

19.（2024?四川成都?二模）如圖，在菱形力BCD中,/.BAD=120°,CD=4,M,N分別是邊4B/D的動

點，滿足4M=DN,連接CM、CN,￡是邊CM上的動點，尸是CM上靠近C的四等分點，連接2E、BE、

NF,當ACFN面積最小時，^BE+/1E的最小值為.

【思路點撥】

連接MN/C,取BE的中點G,連接MG,得到△MCN是等邊三角形，進而判斷當△CFN面積最小時,

CN1BD,根據(jù)E為MC上的動點，當E,M重合時，最小，進而可得匏E+4E的最小值.

【解題過程】

解:如圖，連接MN/C,取BE的中點G,連接MG,

V四邊形4BCD是菱形，4BAD=120°,

???AB=AD=CD,LBAC=ADAC=^ADC=60°,

???△ABC,△ACC是等邊三角形

???AC=DC^ADC=60°

???AM=DN

??.△AMC=△DNC(SAS)

???CM=CN/DCN=/.ACM

???乙MCN=A.MCA+乙ACN

=乙DCN+乙ACN=Z-ACD=60°,

??.△CMN為等邊三角形，

???點F是CM上靠近點C的四等分點，

_1

???SMFN=0ACMN

??.△CMN的面積最小時，△CFN的面積也最小

V3?

???S^CMN—>CM

???當CM最小時，^CMN的面積最小

二當CM_L48時，CM最小

???△ZBC是等邊三角形，CM1AB

MA=MB

??.AE=