一元二次方程的應用

?典例分析

【典例1】正月十五是中華民族傳統的節日——元宵節，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習

俗.位于北關古城內的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節前用21天的時間生產袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓

需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產450斤湯圓餡或300斤湯圓粉(每天只能生產其中

一種).

(1)若這21天生產的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產了多少袋手工湯

圓？

(2)為保證手工湯圓的最佳風味，湯圓店計劃把達21天生產的湯圓在10天內銷售完畢.據統計，每袋手

工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋.湯圓店

按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格

全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應降價多少元？

【思路點撥】

(1)設總共生產了a袋手工湯圓，利用這21天生產的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關系列出方程即可;

(2)設促銷時每袋應降價x元，利用最終獲利40500元做等量關系列出方程即可.

【解題過程】

解：(1)設總共生產了a袋手工湯圓，

依題意得，鬻+繇=21

解得a=9000,

經檢驗a=9000是原方程的解，

答：總共生產了9000袋手工湯圓

(2)設促銷時每袋應降價x元，

當剛好10天全部賣完時，

依題意得,225X2x(25-13)+8(25-13-x)(225+yX)=40500

整理得：x2-6x+45=0

△=62-4X45<0,

.?.方程無解

??.10天不能全部賣完

???第10天結束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為(15—13)

9000-2x225-8(225+年久)]=12600-600%

???依題意得，225X2x(25-13)+8(25-13-%)(225+年久)+12600-600%=40500

解得=l,x2=3

???要促銷

.,.x=3

即促銷時每袋應降價3元.

?學霸必刷

1.(23-24九年級上?廣東深圳?階段練習)五個連續整數，前三個數的平方和等于后兩個數的平方和，你能

求出這五個整數分別是.

【思路點撥】

設五個連續整數為x,x+l,x+2,x+3,x+4,根據題意列方程求解即可.

【解題過程】

解：將這五個連續整數中的第一個數設為X,

那么其余四個數依次為x+1,X+2,x+3,x+4,

根據題意，得/+(x+1尸+(%+2)2=(x+3)2+(%+4)2.

也就是二一8%-20=0.

根據方程久2-8%-20=0,

所以比=—2或x=10.

因此這五個連續整數依次為一2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

故答案為：一2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

2.(23-24九年級上?四川成都?期末)已知，數軸上從左到右有三點4B,C,它們在數軸上對應的數分別

為a,b,c(a,b,c均不為整數)，且6<c-a<7,k<b<k+1(k為正整數).在點4與點B之間的所

22

有整數依次記為P1，P2，P3……，Pm；在點B與點C之間的所有整數分別記為01義2迎3,…….qn-^Pl+P2+

+……+Pm=Ql2+?22+Q32+……+q，，則/C的值為.

【思路點撥】

本題考查了一元二次方程的應用，數軸上兩點距離；根據題意得出/c之間共有6個或7個整數，進而可得

m>3,設4C之間的數分別為久一2,%—1,工,工+1,%+2,%+3,%+4,根據題意列出一元二次方程，解方程,

得出整數解，進而即可求解.

【解題過程】

解：v6<c—a<7,

"C之間共有6個或7個整數，

2222222

,?,6個連續的整數滿足pF+p2+p3+......+Pm=Ql+<72+Q3+.......+Qn

>3,

當m=3時，4c間有7個整數，貝IJ48之間的3個整數設為1—2,%—1以，8,C之間的4個整數為

%+l,x+2,x+3,x+4,

???(%—2)2+(x—I)2+x2=(x+I)2+(%+2)2+(x+3)2+(%+4)2,

解得：x=—25或%=—1

當4C上有6個整數，(%—2)2+(%—1)2+%2=(%+1)2+(%+2)2+(%+3)2,無整數解；

當m=4時，ZC間有7個整數，貝之間的4個整數設為％—2,%—SC之間的3個整數為

x+2,x+3,x+4,

/.(x—2)2+(%—l)2+/+(%+1)2=(%+2)2+(x+3)2+(%+4)2,

解得：％=23或%=—1,

當血=4,4c間有6個整數，貝IJ4B之間的4個整數設為久一2,%—1丹%+1,SC之間的2個整數為

x+2,x+3,

??.(%—2)2+(X—I)2+/+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,無整數解；

當m=5時,則43之間的5個整數設為％—2,%—1陽%+1,%+2,之間的2個整數為％+3握+4,

/.(%—2>+(%—I)24-%2+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,無整數解

或(％—2)2+(%—I)2+%24-(%+I)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,無整數解

當爪=6時，貝"1刀之間的5個整數設為％—+之間的2個整數為％+4,

.,.(%—2)2+(%—I)2+%2+(%+I)2+(%+2)2+(%+3)2=(x+4)2,無解，

綜上所述，%=—25或%=23或%=—1,

則一25<b<一24或24<b<25或0<b<1,

.?.k=—25,k=24或k=0

?是正整數，

：.k=24

故答案為：24.

3.(23-24九年級上?江蘇?期中)己知3個連續整數的和是小，它們的平方和是打，且幾=女2爪+3),求這3

個連續整數.

【思路點撥】

本題考查有理數的加法和二元一次方程的應用，根據題意列出方程再進行計算即可.

【解題過程】

解：設這3個連續整數為％,%+1,%+2,

由題意可得，x+x+l+x4-2=3x+3=7n,

x2+(%+I)2+(%+2)2=3久2+6%+5=n,

又知九=^(2m+3),

*7

即3/+6%+5=-(6%+9),

解得x=4或—g(舍去)，

故％=4,

%+1=5,%+2=6.

故這3個連續整數為4,5,6.

4.(23-24九年級上?山東德州?期中)今年4月，多國禽流感大暴發，大量蛋雞被撲殺，導致世界級的“雞

蛋荒”，若某國有一只蛋雞患有禽流感，經過兩輪感染后共有64只蛋雞患病.

(1)每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了幾只健康的蛋雞？

(2)如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會不會超過500只？

【思路點撥】

本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數四則混合計算的實際應用，正確理解題意列出方程和算

式求解是解題的關鍵.

(1)設每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了x只健康的蛋雞，則第一輪中有x只健康的蛋雞被傳染，第二

輪中有x(l+%)只健康的蛋雞被傳染，根據經過兩輪感染后共有64只蛋雞患病列出方程求解即可；

(2)根據(1)所求求出三輪傳染后，患病的蛋雞的數量即可得到答案.

【解題過程】

(1)解：設每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了X只健康的蛋雞，則第一輪中有X只健康的蛋雞被傳染，

第二輪中有x(l+X)只健康的蛋雞被傳染，

根據題意得：1+X+x(l+%)=64,

整理得：(1+x)2=64,

解得：=7,x2=—9(不符合題意，舍去)，

答：每輪傳染中平均每只患病蛋雞傳染了7只健康的蛋雞；

(2)解：64+64X7

=64+448

=512(只)，

???512>500,

??.如果不及時控制，那么三輪傳染后，患病的蛋雞會超過500只.

5.(23-24九年級上?河南洛陽?階段練習)暑假期間，河北涿州的洪澇災害，牽動著全國人民的心.某單位

開展了“馳援涿州，我們在路上”賑災捐款活動，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

(2)按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？

【思路點撥】

本題主要考查了一元二次方程的應用，掌握題意是解題的關鍵.

(1)設捐款增長率為x,根據題意列出方程進行求解即可；

(2)根據增長率進行計算即可.

【解題過程】

(1)解：設捐款增長率為x.由題意得：8000(1+%)2=11520,

(1+?X)X?2=—36,

1+x=+|,

x=±|-1,

Xi=I，%2=-三■（不合題意，舍去）,

20%.即捐款增長率為20%.

（2）解：11520x（1+|）=1152013824（元）

即第四天該單位能收到13824元捐款.

6.（22-23九年級上?河南新鄉?階段練習）某種商品的標價為200元/件，經過兩次降價后的價格為162元/

件，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該種商品每次降價的百分率；

（2）若該種商品進價為156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各種

費用150元，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多售出5件，如果每天盈

利1450元，每件應降價多少元？

【思路點撥】

（1）設該種商品每次降價的百分率為x,根據該商品的原價及經過兩次降價后的價格，即可得出關于x的

一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；

（2）每件商品的盈利x（原來的銷售量+增加的銷售量）-150=1450,為了減少庫存，計算得到的降價多

的數量即可.

【解題過程】

（1）解：設該種商品每次降價的百分率為X,

依題意，得：200（1-X）2=162,

解得：=0.1=10%,%2=1-9（不合題意，舍去）；

答：該種商品每次降價的百分率為10%.

（2）解：設每件商品應降價x元，根據題意，得：

（200-156-x）（20+5x）-150=1450,

解方程得=4,x2=36,

??在降價幅度不超過10元的情況下，

■-X=36不合題意舍去，

答：每件商品應降價4元.

7.（22-23九年級上?重慶黎江?期中）溫潤有度，為愛加溫.近年來設計精巧、物美價廉的暖風機逐漸成為

人們冬天必備的“取暖神器”，今年11月下旬某商場計劃購進/、8兩種型號的暖風機共900臺，每臺4型號

暖風機售價為600元，每臺3型號暖風機售價為900元.

(1)若要使得/、8兩種型號暖風機的銷售額不低于69萬元，則至多購進多少臺/型號暖風機？

(2)由于質量超群、品質卓越，11月下旬購進的/、8兩種型號的暖風機全部售完.該商場在12上旬又

購進了/、2兩種型號的暖風機若干臺，并且進行“雙12”促銷活動，每臺4型號暖風機的售價比其11月下

旬的售價優惠/％,/型號暖風機12月上旬的銷售量比其在(1)問條件下的最高購進量增加;a%,每臺8

Z4-

型號暖風機的售價比其n月下旬的售價優惠N％,2型號暖風機12月上旬的銷售量比其在(1)問條件下

的最低購進量增加。％,4、8兩種型號的暖風機在12月上旬的銷售額比(1)問中最低銷售額增加了蔓a%,

求a的值.

【思路點撥】

本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(1)根據各數量之間的關系，

正確列出一元一次不等式；(2)找準等量關系，正確列出一元二次方程.

(1)設購進x臺力型號暖風機，則購進(900-%)臺B型號暖風機，根據總價=單價x數量結合銷售額不低

于69萬元，即可得出關于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出結論；

(2)根據總價=單價X數量，即可得出關于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解題過程】

(1)解：設購進x臺4型號暖風機，則購進(900—x)臺B型號暖風機，

依題意，得：600%+900(900-x)>690000,

解得：x<400.

答：至多購進400臺4型號暖風機.

111

(2)依題意，得：600(1--a%)x400(1+-a%)+900(1--a%)x(900-400)(1+a%)=690000(1+

3%)，

整理，得：150a—12a2=0,

解得:a[=12.5,a2=0(不合題意，舍去).

答:a的值為12.5.

8.(22-23八年級下?廣東江門?期末)我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進價為每千克240元，按每千克

400元出售，平均每周可售出200千克，后來經過市場調查發現，單價每降低10元，則平均每周的銷售量

可增加40千克.

(1)若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：

①每千克茶葉應降價多少元？

②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？

(2)在降價情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達到50000元嗎？請說明理由.

【思路點撥】

(1)①設每千克茶葉應降價x元，利用銷售量x每件利潤=41600元列出方程求解即可；②為了讓利于

顧客因此應下降價80元，求出此時的銷售單價即可確定幾折.

(2)設每千克茶葉應降價y元，列方程整理后為y2—110y+4500=0,代入根的判別式得A<0,方程無

解，故不能達到要求.

【解題過程】

(1)解：①設每千克茶葉應降價x元.根據題意，得：

(400-%-240)(200+盤x40)=41600.

解得：X]=30,%2=80.

答：每千克茶葉應降價30元或80元.

②由①可知每千克茶葉可降價30元或80元.因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克茶葉某應降價80元.

■29(1

此時，售價為：400—80=320元，—X10=8.

答：該店應按原售價的八折出售.

(2)解：該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達到50000元，理由如下：

設每千克茶葉應降價y元.根據題意，得：

(400-%-240)(200+捻x40)=50000,

整理得：y2-110y+4500=0,

=(-110)2-4X1x4500=-5900<0,

原方程沒有實數根，

即該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利不能達到50000元.

9.(22-23八年級下?重慶北倍?期中)甲、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計

劃32小時完成.甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務.

(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；

(2)通過勘察，地下發現大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中,

乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了⑺I+25)小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每

小時下降了36米，而修路時間比原計劃增加加小時，求機的值.

【思路點撥】

(1)設乙兩工程隊每小時鋪設路面x米，則甲工程隊每小時鋪設路面(2x+30)米，根據題意列出方程求解

即可；

(2)根據“甲工程隊鋪設的路面長度+乙兩工程隊鋪設的路面長度=5800”列出方程，求解即可.

【解題過程】

(1)解：設乙兩工程隊每小時鋪設路面x米，則甲工程隊每小時鋪設路面(2x+30)米，

根據題意得，32x+32(2x+30)=4800,

解得：％=40,

則2x+30=110,

???甲工程隊每小時鋪設的路面長度為110米；

(2)解：根據題意得,

40(32+小+25)+(110-3m)(32+m)=4800+1000,

整理得，m2—18m-0,

解得：(舍去)，

mi=18,m2=0

■■m的值為18.

10.(22-23九年級上?重慶合川?期末)2022年暑期，我區遭遇連續高溫和干旱，一居民小區的部分綠化樹

枯死.小區物業管理公司決定補種綠化樹，計劃購買小葉榕和香樟共50棵進行栽種.其中小葉榕每棵680

元，香樟每棵1000元，經測算，購買兩種樹共需38800元.

(1)原計劃購買小葉榕、香樟各多少棵？

(2)實際購買時，經物業管理公司與商家協商，每棵小葉榕和香樟的售價均下降10zn元(MW10)),且

兩種樹的售價每降低10元，物業管理公司將在原計劃的基礎上多購買小葉榕2棵，香樟1棵.物業管理公

司實際購買的費用比原計劃多3600元，求物業管理公司實際購買兩種樹共多少棵？

【思路點撥】

(1)設原計劃購買小葉榕萬棵，則購買香樟50—x棵，根據題意列出方程680x+1000(50—乃=38800即

可得出答案.

(2)根據給出的條件先列出小葉榕與香樟的單價表達式分別為(680-10巾)元每棵，(1000-10巾)元每棵,

再列出實際購買棵樹的表達式，得到(680-10m)X(35+2m)+(1000-10m)X(15+m)=42400方程

式求出滿足條件小的值，即可得出答案.

【解題過程】

(1)設原計劃購買小葉榕X棵，則購買香樟50-久棵，

根據題意，可得680x+1000(50-x)=38800,

解得，x=35.

答：原計劃購買小葉榕35棵、香樟15棵.

(2)根據題意，可得(680-10m)x(35+2m)+(1000-10m)x(15+m)=42400,

整理得，30m2-1860m+3600=0,

解得：巾1=2,m2=60,

?：m<10,：.m—2,

???購買了39棵小葉榕，17棵香樟，

答：物業管理公司實際購買兩種樹共56棵.

11.(2023?重慶?一模)甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米.甲，乙分別從

橋梁兩端向中間施工.計劃每天各施工5米，因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成

本不一樣.甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬.

(1)若工程結算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的*求甲最多施工多少米.

(2)實際施工開始后，因地質情況及實際條件比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化，甲

每合格完成1米隧道施工成本增加。萬元時，則每天可多挖與米.乙在施工成本不變的情況下，比計劃每

O

天少挖笳米.若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多(7a—12)萬元.求。的值.

【思路點撥】

(1)設甲工程隊施工x米，則乙工程隊施工(5000-x)米，由工程結算時乙總施工成本不低于甲總施工成

本的也即可得出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論；

(2)根據總成本=每米施工成本x每天施工的長度結合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每

天可多挖1米.乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖白米，即可得出關于。的一元二次方程，解

oy

之即可得出結論.

【解題過程】

(1)解：設甲工程隊施工X米，則乙工程隊施工(5000-X)米,

依題意,得：12(5000-x)>|xlOx,

解得：爛2500,

答：甲最多施工2500米.

(2)依題意，得：(10+a)(54-ia)+12(5-1a)=12X5+10X5+(7a-12),

整理，得：a2-18a+72=0,

解得：ar=12,a2=6,

當a1=12時，總成本為：12x5+10x5+7x12-12=182(萬元)，

???182>150,

--a-i=12不符合題意舍去；

當ci2=6時，總成本為：12x5+10x5+7x6—12=140(萬元)，

??-140<150,

?,?<22=6符合題意；

答：a的值為6.

12.(22-23九年級下?重慶北倍?階段練習)1月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術節跨年焰火表

演，以跨年整點焰火的形式辭舊迎新，為感受喜慶、熱烈的現場氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣

場觀看焰火表演、由于當晚觀看焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家50千米的4停車場后，再步行

1千米到達目的地，共花了1.5小時，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的25倍.

(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？

(2)乙先將車開到B停車場后，再步行前往目的地，總路程為46千米，此期間，己知乙開車的平均速度比

甲開車的平均速度快機千米/小時(機>0),乙開車時間比甲開車時間少表小小時；乙步行的平均速度比甲步

行的平均速度快3n千米/小時，乙步行了《小時后到達目的地，求小的值.

【思路點撥】

(1)設甲步行的平均速度是X千米/小時，則甲開車的平均速度是25X千米/小時，根據甲先將車開到距離自

己家50千米的力停車場后，再步行1千米到達目的地，共花了1.5小時.列出分式方程，解方程即可；

(2)根據乙先將車開到B停車場后，再步行前往目的地，總路程為46千米.列出一元二次方程，解之取其

正值即可.

本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程和

一元二次方程.

【解題過程】

(1)設甲步行的平均速度是X千米/小時，則甲開車的平均速度是25X千米/小時，

由題意得：黑+§=1.5,

解得：%=2,

經檢驗，％=2是原方程的解，且符合題意，

.*.25%=25x2=50,

答：甲開車的平均速度是50千米/小時，步行的平均速度是2千米/小時；

(2)由⑴可知，甲開車的時間為50+50=1小時)，則乙開車的時間為(1—3嗎)小時，

由題意可知，乙開車的速度為(50+巾)千米/小時，乙步行的速度為(2+"嗎)千米/小時，

由題意得：(50+m)(l—媒+1(2=46,

整理得：m2+24m-112=0,

解得：7711=4,62=-24(不符合題意，舍去)，

答：小的值為4.

13.(23-24九年級上?山東棗莊?期中)小明設計了點做圓周運動的一個動畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點

分別從直徑的兩端點/、8以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程?cm)與時間t(s)滿足關

系：l=^2+|t(tN0)，乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長度為21cm.

(1)甲運動4s后的路程是多少？

(2)甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？

【思路點撥】

本題考查了一元二次方程的應用.根據等量關系，正確的列一元二次方程是解題的關鍵.

(1)將t=4代入，計算求解即可；

(2)由題意知，甲、乙從開始運動到第三次相遇總路程為5個半圓，貝嶺2+|t+4t=5X21,計算求出

滿足要求的解即可.

【解題過程】

-1Q

⑴解：當t=4時，Z=ix42+jx4=8+6=14,

答：甲運動4s后的路程是14cm；

(2)解：由題意知，甲、乙從開始運動到第三次相遇總路程為5個半圓，

?,?木+|t+4t=5x21,整理得，t2+11-210=0,

.?.(t-10)(t+21)=0,

解得，t=10或t=一21(舍去).

答：它們運動了10秒.

14.(22-23九年級下?重慶豐都?階段練習)周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A

地出發，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5

分鐘到達B地.

(1)求小明、小紅的跑步速度；

(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續前進到C地(整個過程不休息)，據了解，在他從跑步

開始前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的

熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多

少分鐘.

【思路點撥】

(1)分別設小紅和小明的速度，根據等量關系(小明比小紅早5分鐘到達B地)列出等量關系式，按照分

式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解.

(2)先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最

后求解.

【解題過程】

(1)解：設小紅的速度為xm/min,則小明的速度為1.2xm/min,

12000

依據題意列方程得,

1.2%

???12000x1.2-12000=5x1.2%,

???x=400,

經檢驗，％=400是原式方程的解.

???1,2x400=480m/min.

???小紅的速度為400m/min,小明的速度為480m/min.

故答案為：480m/min；400m/min.

（2）解：??,小明的速度為480m/min,

?,?小明從A地道B地需要的時間為：12000+480=25min.

??,小明在他從跑步開始前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里,

???30—25=5min.

設B地到C地的距離為%m,依據題意列方程得，

(x-480X5)(%-480x5\

30X10+——<10+-480)=2300

.?.300+(--5)X(10+--5)=2300,

1480/V480/

--5)X(±+5)=2000,

\480/\480/

,益-25=2000,

?扃)2=2025,

=21600^x=-21600(舍去).

A地到C地所需要時間為：216喘2。。。=70min

故答案為：70min.

15.（23-24九年級上?貴州遵義?期中）某旅行社為吸引市民組團去遵義某景區旅游，推出了如圖收費標準:

/血果人數超過20人，每增加1為、

3口果人數不超過20人、人均旅游費用降低10元，但人均

《游費用不得低于420元。/

人均旅游費用為600兀J

（1）若甲單位組織25名員工參加本次旅游，應支付該旅行社費用為元;

(2)若乙單位組織員工參加本次旅游，共支付旅行社費用15000元，求出乙單位參加本次旅游的員工人數.

【思路點撥】

本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數四則混合計算的實際應用：

(1)利用總費用=人均旅游費x參加本次旅游的人數，即可求出結論；

(2)設乙單位參加本次旅游的員工人數為x人，求出人數為20人時所需總費用及人均旅游費為420元時

的人數，由12000元小于15000元及人均旅游費為420元時的人數不為整數，可得出#>20且人均費用不

能為420元，利用總費用=人均旅游費x參加本次旅游的人數，可列出關于x的一元二次方程，解之取其

符合題意的值，即可得出結論.

【解題過程】

⑴解:根據題意得：[600—10x(25—20)]x25

=(600-10x5)x25

=(600-50)x25

=550x25

=13750(元)，

???若甲單位組織25名員工參加本次旅游，應支付該旅行社費用為13750元.

故答案為：13750；

(2)解：設乙單位參加本次旅游的員工人數為無人，

???600x20=12000(元)，12000<15000,15000+420=35…300,

??.X>20且人均費用不能為420元.

根據題意得：%[600-10x(x-20)]=15000,

整理得：%2-80%+1500=0,

解得：X1=30,x2=50,

當x=30時，600-10(%-20)=600-10X(30-20)=500>420,符合題意；

當x=50時，600-10(%-20)=600-10x(50-20)=300<420,不符合題意，舍去.

答：乙單位參加本次旅游的員工人數為30人.

16.(23-24八年級下?浙江杭州?階段練習)致富新村要修建一個長方形的養豬場，豬場的一面靠墻(墻長

25米)，另外三邊用長40米的木欄圍成.

墻

〃〃/〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃〃〃/

AD

(1)設4B長為x米，貝U8C的長為米；

(2)4B長為多少時，養豬場的面積為150平方米？

(3)養豬場的面積能否為240平方米？若能，請求出AB的長度；若不能，請說明理由.

【思路點撥】

此題考查了一元二次方程的應用和一元二次方程根據的判別式，理解題意，正確列出方程是解題的關鍵.

(1)根據BC=木欄長一(AB+CD)求解即可；

(2)結合(1)可求出養豬場的面積為x(40—2x),從而得出方程工(40—2乃=150,解之，再求出x的取

值范圍，即可得出答案.

(3)按照(2)的方法列出方程，求出一元二次方程根的判別式，即可作出判斷.

【解題過程】

(1)解：設力B長為x米，即2B=CD=x米，

???平行于墻的邊長為(40-2x)米.

故答案為:(40—2%)；

(2)解：由(1)可得養豬場的面積為x(40-2x),

又???養豬場的面積為150平方米，

■,■%(40—2%)=150,

解得：%i=15,%2=5.

v0<BC=40—2%<25,

15

.-.y<%<20,

.,.x=15.

二垂直于墻的邊長為15米，平行于墻的邊長為10米.

即力B長為15米時，養豬場的面積為150平方米；

(3)養豬場的面積不能為240平方米.理由如下：

由(1)可得養豬場的面積為x(40-2%),

又?.?養豬場的面積為240平方米，

?,■x(40—2%)=240,

.,,%2—20x+120=0,

■,-A=(-20)2-4X1X120=-80<0,

原方程沒有實數根，

即養豬場的面積不能為240平方米.

17.(23-24九年級上?河南洛陽?階段練習)為了促進勞動課程的開展，某學校準備利用一處墻角和一段籬

笆圍建一個矩形生態園.如圖，墻4F=8m,AE=4m,籬笆長為28m,設CD的長為xm,生態園的一邊

由墻2尸和一節籬笆構成，另一邊由墻AE和一節籬笆CE構成，其他邊由籬笆CD8圍成.

墻

IF

—E

cD

(1)BD=m；(用含x的代數式表示)

(2)若生態園的面積為75m2,求久的值；

(3)為了進出生態園方便，現決定在CD邊上留出2m寬的門，此時生態園的面積能否達到110m2?如果能,

請求出生態園的長CD；如果不能，請說明理由.

【思路點撥】

本題主要考查代數式，一元二次方程解應用題，準確將線段用代數式表示出來是解題的關鍵.

(1)根據題意得到BF=x—8,EC=4C—4,再根據矩形的性質即可得到答案；

(2)由面積公式計算即可；

(3)根據題意將此時的8。表示出來進行計算即可.

【解題過程】

(1)解：由題意可得48=CD=%/C=

???BF—x—8,EC=AC—4,

由于籬笆長為28m,

?,?%—8+%+BD+BD—4=28,

BD=20—%；

(2)解：由題意得：%(20-x)=75,

即0-15)0—5)=0,

解得％i=1512=5,

vAF—8,

???x>8,

???x=15.

(3)解：由題意可得8尸=比一8,"？=/。-4

由于籬笆長為28m,

x—8+x—2+BD+BD—4=21—%,

BD=21—x

???%(21—%)=110

解得％1=10,%2=1L

當CO=10或11時，生態園的面積能達到llOnA

18.(22-23八年級下?山東濟南?期末)如圖，在△ABC中，=90。/8=6cm,BC=8cm,點尸從/開

始沿邊向點8以lcm/s的速度移動，與此同時，點。從點3開始沿邊向點。以2cm/s的速度移動.點

P,。同時出發，當點0運動到點。時，兩點停止運動，設運動時間/秒.

(1)填空：BQ=cm,PB=cm；(用含，的代數式表示)；

(2)當，為幾秒時，PQ的長度等于4金cm；

7

(3)是否存在某一時刻3使四邊形力PQC的面積等于△4BC面積的百？如果存在，求出t的值，如果不存在,

請說明理由.

【思路點撥】

(1)根據路程=速度X時間，BQ=2tcm,AP=tcm,結合已知解答即可.

(2)根據勾股定理PQ2=pF+BQ2,列式計算即可.

2

(3)根據S四邊形4PQC=SAABC—SAPBQ=§S△4BC列式計算即可.

【解題過程】

(1)=90。/8=6cm,BC=8cm,點。從4開始沿邊向點3以lcm/s的速度移動，點。從點5開

始沿邊向點C以2cm/s的速度移動.

：.BQ=2tcm,AP=tcm,

:.PB=AB—AP=(6—t)cm,

故答案為：2t,(6—t).

(2),,2B=90°,AB=6cm,BC=8cm,BQ=2tcm,PB=(6—t)cm,

PQ2=PB2+BQ2,

7

.-.(4V2)=(6-t)2+(2t)2,

整理，得5t2—121+4=0,

9

解得=2tt2——,

當運動時間為2s或運動時間為|s時，PQ的長度等于4v丞m.

(3)vzB=90°,AB=6cm,BC=8cm,BQ=2tcmPB=(6—t)cm,

S四邊形4PQC=S^ABC~S2PBQ=

111

^-PB-BQ=-x-AB-BCf

i11c

?，?萬x2tx（6—t）=-^x~x6x8,

整理，得/一6七+8=0,

解得力1=2,以=4（舍去），

故當運動時間為2秒時，四邊形4PQC的面積等于△4BC面積的芻

19.（22-23九年級上?廣東清遠?期中）如圖，在△4BC中，Z.B=90°,AB=11cm,BC=8cm,點尸從

點/出發，以每秒1cm的速度沿向點2勻速運動，同時點。從點2出發以每秒2cm的速度沿BC向點C

勻速運動，到達點C后返回點8,當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為t秒.

ABA備用圖B

(1)當t=l時，直接寫出尸，。兩點間的距離.

(2)是否存在3使得ABPQ是等腰三角形，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.

(3)是否存在3使得ABP。的面積等于10cm2,若存在，請求出t的值：若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)求出PB=10cm,BQ=2cm,再利用勾股定理即可求出PQ=JPB2+BQ2=酎。2+22=2履51；

(2)因為=90°,所以當△BPQ是等腰三角形時，只有BP=BQ,表示出BP=(11-t)cm,當04tW4

時，BQ-2tcm；當4<￡式8時，BQ-(16—2t)cm；當8VtW11時，BQ-(2t—16)cm；利用BP=BQ,

即可求出f的值；

(3)由(2)可知：BP=(11—t)cm,當0W1W4時，BQ=2tcm；當4ctW8時，BQ=(16—2t)cm；

當8VtWll時，BQ=(2t-16)cm；利用S^BPQ=《XBPxBQ=10,解關于f的方程即可.

【解題過程】

(1)解：當t=l時，由題意可知：AP=1cm,BQ=2cm,

'：AB=11cm,

：.PB=10cm,

MB=90°,

■■PQ=yJPB2+BQ2=V102+22=2V26cm；

(2)解：“=90°,

??.△BPQ是等腰三角形時，只有BP=BQ,

由題意可知：BP=(ll-t)cm,

???。從點8出發以每秒2cm的速度沿8C向點C勻速運動，到達點C后返回點8,當有一點停止運動時，另

一點也停止運動，

.?.當0WtW4時，BQ=2tcm；當4<1W8時，BQ=(16—2t)cm；當8VtW11時，BQ=(2t-16)cm；

，:BP=BQ

.?.ll-t=2t,解得：t=?>4,故不符合題意；

ll—t=16—23解得：t=5,符合題意；

ll-t=2C-16,解得：t=9,符合題意；

綜上所述：1=5或力=9；

(3)解：假設存在/使得△BPQ的面積等于10cm2,

由(2)可知：BP=(11—t)cm,當0<t<4時，BQ=2tcm；當4Vt<8時，BQ=(16—2t)cm；當8Vt<11

時，BQ=(2t-