第4章一元一次方程4.3用一元一次方程解決問題第3課時一元一次方程的應用(3)

1.會畫線形示意圖分析實際問題中的數量關系；2.能根據相等關系列出一元一次方程解決實際問題.◎重點:列出一元一次方程解決實際問題.◎難點:借助線形示意圖找出實際問題中的相等關系.

分析較復雜的實際問題，可以用列表、畫示意圖的方法幫助我們尋找實際問題的數量關系.利用示意圖是了解問題的又一個重要手段.你曾經使用過哪些示意圖呢？解:除了列表分析，常見示意圖有直線形、環形、扇形、柱形等.

畫示意圖分析數量關系，列出方程組解決問題

問題:某工廠工人急需在計劃時間內加工一批零件用于機械制造，如果每天加工500個，就比規定任務少80個；如果每天加工550個，則超額20個.問規定加工的零件數和計劃加工的天數分別是多少？設計劃時間為x天，1.如果每天加工500個，那么一共可以做

500x

個，比規定任務少80個，畫線段圖如圖1所示:

500x2.如果每天加工550個，那么一共可以做

550x

個，比規定任務多20個.

3.在圖2的括號內填寫相關數據，并分別將圖1、圖2中的規定任務表示出來

500x＋80

，

550x－20

.

550x500x＋80550x－204.根據相等關系“規定任務不變量”，列出方程

550x－20＝500x＋80

.

變式訓練

如果設規定任務為y個零件，你會畫圖，或列表分析嗎？答:略.550x－20＝500x＋80通過畫線段圖，形象直觀地表達問題中已知量和未知量之間的關系，然后根據示意圖中有關基本量的內在聯系找出相等關系.歸納總結

畫示意圖通常可以畫線段圖或曲線圖，用線段或曲線的長度來表示已知量、未知量，并根據這些線段或曲線的和或差找出相等關系，列出方程.常見示意圖有直(曲)線段圖、扇形圖、條形圖等等.·導學建議·

1.輪船在靜水中的速度大小為每小時20km，水流的速度大小為每小時4km，從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼頭，共5h(不計停留時間)，求甲、乙兩碼頭的距離.設兩碼頭間的距離為xkm，則下列列出的方程正確的是(

D

)A.(20＋4)x＋(20－4)x＝5C.＋＝5B.20x＋4x＝5D.＋＝5D

A.100m/minB.120m/minC.150m/minD.200m/minD3.現有一個長為180米的河道整治任務由A、B兩工程隊先后接力完成.A工程隊每天整治12米，B工程隊每天整治8米，共用時20天.問A、B兩工程隊分別整治河道多少米？根據題意畫示意圖如圖所示，回答下面問題:(1)由圖知:等量關系是

A工程隊工作量＋B工程隊工作量＝180米河道長

.

(2)若設A工程隊用時x天，由題意可列方程:

12x＋8(20－x)＝180

.

A工程隊工作量＋B工程隊工作量＝180米河道長12x＋8(20－x)＝180

由題意可列方程.分析

本題中河道長度一定，兩工程隊共用時間一定，因此根據線形示意圖，有兩種設法.解:(1)A工程隊工作量＋B工程隊工作量＝180米河道長.(2)12x＋8(20－x)＝180.A工程隊整治的河道長度(3)x表示A工程隊整治河道長度.

列一元一次方程解決盈虧問題1.某禮品制造工廠接受一批玩具熊的訂貨任務，按計劃天數生產，如果每天生產20個玩具熊，則比訂貨任務少100個；如果每天生產23個玩具熊，則可以超過訂貨任務20個.請問這批玩具熊的訂貨任務是多少個？原計劃幾天完成任務？

方法二:設原計劃x天完成任務，根據題意得20x＋100＝23x－20，

解得x＝40，20x＋100＝20×40＋100＝900.答:這批玩具熊的訂貨任務是900個，原計劃40天完成任務.·導學建議·兩種情形下生產的玩具一個盈，一個虧，都是同不變量(訂貨任務)比較.不變量作為相等關系，只要在盈、虧情形下用未知數將不變量表示出來，列方程即可.歸納總結

盈虧問題通常利用畫示意圖或者列表法分析，直觀地將盈、虧或全盈、全虧情形下的結果與不變量進行比較.解題關鍵是能在不同情形下用未知量表示不變量，列出方程.

列一元一次方程解決行程問題2.甲、乙兩站的距離為360千米，一列快車從乙站開出，每小時行駛72千米；一列慢車從甲站開出，每小時行駛48千米.兩車同時開出，相向而行，經過多少小時后兩車相遇？(1)設兩車出發x小時兩車相遇.請你補全下面的示意圖(2)由示意圖可知相等關系是

慢車路程＋快車路程＝甲、乙兩站距離

.

根據題意列方程得

48x＋72x＝360

.

慢車路程＋快車路程＝甲、乙兩站距離48x＋72x＝360變式訓練

如果快車先開出25分鐘，兩車相向而行，慢車行駛多長時間兩車相遇？

·導學建議·

歸納總結

1.行程問題中的數量關系，常常借助示意圖進行分析.利用示意圖將題中蘊涵的抽象的數量關系以形象、直觀的方式表達出來，能有效促進問題的解決.2.注意單位統一，看清時間“同時出發”“先出發”等字眼.

列一元一次方程解決方案決策問題3.某校在開學期間，打算購置－批辦公桌和椅子，現在同一款式的辦公桌每張定價200元，椅子每把定價40元.國慶節期間，有兩家商店決定開展促銷活動，向客戶提供優惠如下.甲商店:買一張辦公桌送一把椅子.乙商店:辦公桌和椅子都按定價的九折付款.現在學校要購買20張辦公桌和x(x＞20)把椅子.(1)用含x的代數式表示學校分別在這兩個商店購買這一批桌椅所需的費用.(2)購買多少把椅子時，兩家商店的收費一樣多？(3)現在學校需要購買30把椅子，通過計算說明在哪家商店購買較為合算.解:(1)在甲商店購買所需的費用:200×20＋40(x－20)＝(40x＋3200)元.在乙商店購買所需的費用:(200×20＋40x)×0.9＝(36x＋3600)元.(2)根據題意，得40x＋3200＝36x＋3600，解得x＝100.答:購買100把椅子時，兩家商店的收費一樣多.(3)當x＝30時，在甲商店購買所需的費用:40x＋3200＝40×30＋3200＝4400(元).在乙商店購買所需的費用:36x＋3600＝36×30＋3600＝4680(元).因為4400＜4680，所以在甲商店購買較為合算.決策、方案設計類的實際問題的解題思路，通常是對所有可能的方案進行計算，然后比較計算結果，選出合理的方案.

方法歸納交流

當有多種方案供選擇時，解決方法:(1)先列一元一次方程解兩種方案值相等的情況(找特殊值).(2)再取小于(或大于)特殊值時情況，比較兩種方案的合理性.(3)得出結論.·導學建議·

A.24x＝4C.x＝4×1＋B.x＝4D.x＝1＋4×B2.在一次慶祝活動中，同學們需要手拿氣球入場，王老師買回一袋氣球.若每名學生分3個，則少21個；若每名學生分2個，則多25個.下列說法錯誤的是(

D

)A.本題中學生人數一定，可以以學生人數為等量關系列方程B.若設有氣球x個，則列方程＝C.若設學生有x名，則列方程3x－21＝2x＋25D.若設有氣球x個，則列方程＝D3.大豐新華書店推