二輪復習2024年中考數學重要考點

名校模擬題分類匯編專題03

——填空幾何壓軸題（天津專用）

1.（2023?天津河西?天津市新華中學校考三模）如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，

點E在邊CD上，DE=2,過點E作EFIIBC,分別交AC,于點G,F,M,N分別是4G,

8E的中點，則MN的長是.

【答案】V13.

【分析】先證四邊形力FED和BFEC都是矩形，由AAFG是等腰直角三角形，M是4G的中點，

可得NFMC=90。.由"矩形的對角線相等且互相平分"可得FC=BE,且N是FC的中點.根

據勾股定理求出BE的長，即可求出MN的長.

【詳解】

解：如圖，連接FM、FC,

回四邊形4BCD是正方形，

AB||DC/ABC=乙BCD=ACDA=4DAB=90°.

又；EF||BC,

???^AFE=4ABC=90°,

???乙BFE=90°,

團四邊形AFED和BFEC都是矩形，

AF=DE=2.

/.FAG=45°,

??.A4FG是等腰直角三角形.

回M是4G的中點，

?-?FMLAC,

：.￡.FMC=90°.

回四邊形BFEC是矩形，

???FC=BE=VBC2+CE2=V62+42=2V13.

又團V是BE的中點，

回N是FC的中點，

MN=-FC=V13.

2

故答案為：VT3.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，以及"直角三角形斜邊中線等

于斜邊一半熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

2.（2024上?天津和平?九年級天津市第五十五中學?？计谀┤鐖D，在正方形ABCD中=4,

點、E,F分別為邊BC,CD上動點，且BE+DF=4,連接BF,4E交于點G,連接OG,則線

段DG長度的最小值為.

【答案】2V2

【分析】先證明A4BEmABCF,進而得出N4GB=90。，貝UG在為直徑的圓上運動，進

而即可求解.

【詳解】解：在正方形4BCD中，AB=4,BE+DF=4,貝UCF+DF=CD=4B=4,

0CF=BE,

團四邊形4BCC是正方形，

回N4BE=LADF=90°,AB=BC,

0AABE=△BCF,

^/.BAE=乙CBF.

回乙4BG+乙CBF=90°,

回乙4BG+乙BAE=90°,

SZ.AGB=90°,

回G在4B為直徑的圓上運動，

如圖所示，當點E與點C重合，點/與點。重合時DG最小，

A

D(F)

-----------^C(E)

根據勾股定理，得BD=y/AB2+AD2=V42+42=4A/2,

麗G=|BD=2伍

故答案為：2魚.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角所對的弦是直徑,

勾股定理，得出點G的軌跡是解題的關鍵.

3.(2023上?天津和平?九年級天津市第五十五中學?？茧A段練習)如圖，在Rt△ABC中，NC=

90。且2B=2,點尸為△力BC的內心，點。為AB邊中點，將B。繞點8順時針旋轉90。得到線

段8D,連接DP,則DP長的最小值為.

【答案】V5-V2/-V2+V5

【分析】在4B的下方作等腰直角三角形4KB,使得44KB=90°,AK=BK.連接DK,PK,

過點K作KT1DB交DB的延長線于點T.根據三角形的內心為三角形角平分線的交點，求得

/-APB=180°-45°=135°,進而判斷出點P的運動軌跡在以K為圓心，K4為半徑的圓上運

動，求出DK,PK,結合DP2DK-PK,可得結論.

【詳解】解：在4B的下方作等腰直角三角形4KB,使得乙4KB=90。，AK=BK.連接。K,

PK,過點K作KT1交DB的延長線于點T.

國點P是A4CB的內心,Z.C=90°,

團NPAB=-ACAB,^PBA=-^ABC,

22

0ZPXF+^PBA=|(NCAB+NCBA)=45°,

S^APB=180°-45°=135°,

回點P在以K為圓心，K4為半徑的圓上運動，

SAB=2,AK=BK,^AKB=90°,

SAK=BK=KP=a,/.ABK=45°,

SA.ABT=90°,

團NKBT=45°,

SKT=BT=1,

回。4=OB=BD=1,

WT=2,

SDK=y/DT2+KT2=V5,

EDPNDK-PK=展一版,

MP的最小值為西-夜.

故答案為：V5—V2.

【點睛】本題考查三角形的內心，等腰直角三角形的性質，勾股定理，旋轉變換等知識，解

題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

4.(2023上?天津和平?九年級天津市匯文中學校考階段練習)如圖，已知RfflACB,0AC2=

90°,a4BC=60°,AB=8,點。在CB所在直線上運動，以為邊作等邊三角形ADE,則

CB=_.在點。運動過程中，CE的最小值為

【答案】42V3

【分析】以AC為邊作正0ApC,并作尸砸AC,垂足為點X,連接尸CE,由直角三角形

可求BC=4,AC=4V3,由"SAS"可證回R1OEHCAE,得CE=FD,CE最小即是尸。最小，

此時FD=CH=|XC=2V3,故CE的最小值是28.

【詳解】解：以AC為邊作正EAPC,并作FH0AC,垂足為點打，連接F￡＞、CE,如圖：

在H/EL4cg中，EACB=90°,0ABC=60°,

aaa4c=30°,

0BC=-AB=4,

2

^AC=>JAB2+BC2=4V3

EEIAFC,0AQE都是等邊三角形，

^AD—AE,AF—AC,SDAE—BFAC—60°,

E0M￡)+[?l￡)AC=ECA￡+0r)AC,IPEMD=ECA￡,

在團刑。和13cAE中，

-AD=AE

/.FAD=/.CAE,

.AF=AC

^BFADBBCAE(SAS),

^CE=FD,

EICE最小即是fD最小，

國當即I3B。時，尸。最小，此時回打七=回￡>€7/=m(7”/=90。,

回四邊形FDC”是矩形，

SFD=CH=-AC=2A/3,

2

回CE的最小值是28.

故答案為：4,2V3.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，

含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等邊三角形

的性質.

5.（2022上?天津南開?九年級天津育賢中學?？计谀┤鐖D，正方形ABCD中，點E是CD

邊上一點，連接AE,過點B作BGSAE于點G,連接CG并延長交AD于點F,當AF的

最大值是2時，正方形ABCD的邊長為.

【答案】8.

【分析】以AB為直徑作圓。，貝帆AGB=90。，當CF與圓0相切時，AF最大，AF=2,由切線

長定理的AF=FG,BC=CG,過F作FHI3BC與H,則四邊形ABHF為矩形，AB=FH,AF=BH=2,

設正方形的邊長為x,在Rt團FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可.

【詳解】以AB為直徑作圓0,

0AB為直徑，

0EAGB=9O5,

當CF與圓。相切時，AF最大，AF=2,

由切線長定理的AF=FG,BC=CG,

過F作FHI3BC與H,則四邊形ABHF為矩形，AB=FH,AF=BH=2,

設正方形的邊長為x,

則HC=x-2,FC=2+x,FH=x,

在Rt國FHC中，由勾股定理得，

X2+(X-2)2=(X+2)2,

整理得：x2-8x=0,

解得x=8,x=0(舍去),

故答案為：8.

【點睛】本題考查圓的切線問題，涉及切線長，直徑所對的圓周角，引輔助圓與輔助線，正

方形的性質，矩形的性質與判定，能綜合運用這些知識解決問題特別是勾股定理構造分析是

解題關鍵.

6.(2023上?天津濱海新?九年級天津市濱海新區塘沽第一中學?？计谥?如圖，在△A8C中，

AC=2+2V3,Z.BAC=45°,乙4cB=30。，將△ABC繞點8按逆時針方向旋轉，得到△

點E為線段4B中點，點P是線段4C上的動點，將△ABC繞點8按逆時針方向旋轉

的過程中，點尸的對應點是點P「

(1)如圖，線段力B=:

(2)則線段EP］的最小值為

【答案】2/2-V2

【分析】本題考查了旋轉的性質以及解直角三角形.作垂線構造直角三角形是解題關鍵.

(1)過點B作BD1AC,設AD=BD=x,可得CD=V3x,根據AC=AD+CD=2+2>/3

即可求解；

(2)當△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，使得點P的對應點已在線段力B上，且BP1AC時，

EPi的值最小，據此即可求解.

【詳解】解：過點8作BD12C,如圖所示：

0ZS4C=45°,

SZ.ABD=45°

SAD=BD

設4。=BD=x,

SZ.ACB=30°,

0BC=2BD=2x,CD=y/BC2-BD2=V3x

SAC=AD+CD=2+2A/3

Ex+V3x=2+2V3,

解得：x=2

E4￡)=BD=x=2

AB=^AD2+BD2=2V2

當AABC繞點2按逆時針方向旋轉，使得點P的對應點A在線段4B上，且BPLAC時，EP1的

值最小，如圖所示：

此時：EP]=BP、-BE=BP-BE=BD-BE=2—BE

回點E為線段2B中點，

回BE=-AB=V2

2

SEP1=2—V2

故答案為：?2A/2；②2—企

7.(2023上?天津和平?九年級天津市雙菱中學校考階段練習)如圖，已知AABC中，NC=90。,

AC=BC=2V2,將△ABC繞點4順時針方向旋轉60。到AaB'C'的位置，連接C'B,貝IJC'B的

長為—,

【答案】2百一2/-2+28

【分析】如圖，作輔助線；證明AABC'3AB'BC',得至!UMBB'=NMB4=30°；求出BM、

的長，即可解決問題，

【詳解】解：如圖，連接BB',

由題意得：乙BAB'=60°,BA=B'A,

回△ABB'為等邊三角形，

"BB'=60。，AB=B'B,

由旋轉性質可知：AC=AC,BC=B'C,

IBBM垂直平分AB',

胤4c=BC,

財C'=B'C

在AABC'與△B'BC'中，

AC=B'C

AB=B'B,

.BC=BC

SAABC三△B'BC'（SSS）,

回/MBB'=/.MBA=30°,

EIBM1AB',且AM=B'M；

77

J（2V2）+（2V2）=4

胤48'=AB=4,

胤4M=2,

在Rt△AMB,由勾股定理得：BM=y]AB2-AM2=V42-22=28，

^C'M=-AB'=2,

2

SC'B=BM=CM=2V3-2,

故答案為：2百—2.

【點睛】此題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等

腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出8c在等邊三角形的高上是解題的

關鍵.

8.（2023?天津河西?天津市新華中學?？级＃┤鐖D，已知EIA￡Z>=0ACB=9O。，AC=BC=3,

AE=DE=1,點。在AB上，連接CE,點M,點N分別為BD,CE的中點，則MN的長為.

【答案】詈

【分析】連接。N并延長ON交AC于尸，連接BR根據?！闔AC,可證taEDAHSCFN,可得

DE=CF,求出DN=FN,FC=ED,得出A/N是中位線，再證13cAEH3BCF,得出BF=CE,

即可解題.

【詳解】解：連接DN并延長DN交AC于P,連接如圖,

H3AEQ=0ACB=9O°,AC=BC=3,AE=DE=1,

???Z.EAD=/.EDA=Z.BAC=45°,

???DE||AC,

???乙DEN=NFCN,

回點N為CE的中點，

???EN=NC,

在△DEN和△"?可中，

乙DNE=乙FNC

{EN=NC

(DEN=乙FCN

??.△DEN=△FCN(ASA),

???DE=FC,DN=NF,

AE=FC,

回點M為的中點，

???MN是△BDF的中位線，

???MN=-BF,

2

???^EAD=ABAC=45°,

???Z.EAC=乙FCB=90°,

在^CZE和△BCF中，

AC=BC

{/LEAC=乙FCB

AE=FC

??.△CAE=△8CF(S4S),

???BF=CE,

...MN=-CE=-y/AE2+AC2=-Vl2+32=

2222

【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線，平

行線性質和判定的應用，勾股定理.

9.(2022?天津?天津市雙菱中學?？寄M預測)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，動點F,

E以相同的速度分別從點D,C同時出發向點C,B運動(任何一個點到達終點時，兩點都停

止運動)連接ZE,BF,AE與BF交于點、P,過點P分別作PMIICD交BC于點M,PNIIBC交CD于

點N,連接MN,在運動過程中，

(1)4E和BF的數量關系為

(2)MN長度的最小值為.

【答案】AE=BFV5-1

【分析】（1）利用正方形性質，根據SAS可證明AABE三ABCF,即可得出結論；（2）首先

證明四邊形PNCM為矩形，得到PC=MN,利用（1）中證明的△ABE三△尸推出4E_L8F,

得出點P是以4B為直徑的圓弧上運動，當G、P、C三點共線時，PC為最短，利用勾股定理

求出GC的長，進而求出PC的長，即可得出MN長度的最小值.

【詳解】解：（1）???四邊形4BCD為正方形，

???BC=CD,AABE=乙BCF=90°,

???動點F,E以相同的速度分別從點。，C同時出發向點C,B運動，

???DF=CE,

???BE=CF,

在△48￡1和4BCF中，

AB=BC

/.ABF=乙BCF,

BE=CF

???△ABE=ABCF（SAS）,

AE=BF；

（2）如圖，連接PC,取力B中點G,

vPMWCD,PNWBC,

二四邊形PNCM為平行四邊形，

ZC=90°,

二四邊形PNCM為矩形，

PC=MN,

由（1）可知AABE三△8CF,

???Z.BFC=Z-AEB,

???乙BFC+乙FBC=90°,

???^AEB+乙FBC=90°,

^LBPE=90°,即

.??點P是以為直徑的圓弧上運動，

???AB的中點G為圓心，連接GP為半徑,

1

???AG=BG=GP=-AB=1

當G、P、C三點共線時，PC為最短，

在RtACBG中，

CG=yjBG2+BC2=Vl2+22=V5,

PC=CG-PG=V5-1,

MN=PC=1,

故答案為：AE=BF；V5-1.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，圓周角

所對的弦為直徑，勾股定理，正確作出輔助線，確定當G、P、C三點共線時，PC為最短是

解答本題的關鍵.

10.（2023?天津河西?天津市新華中學?？家荒＃┤鐖D，正方形2BCD的邊長為4,E是邊CD上

一點，DE=3CE,連接BE,與AC相交于點M,過點M作MN1BE,交力。于點N,連接BN,

則點E到BN的距離為.

【分析】過M作MH1BC于H,交2。于K,連接NE,根據正方形的性質得28=AD=BC=

CD=4,4BCD=90。，乙4cB=45°=Z.DAC,再判斷△CM"是等腰直角三角形得MH=CH,

設==貝!]B"=4久，由勾股定理求出=再根據AAS證XBHM公

MKN得MN=BM=之內,設點E到BN的距離為八，根據2S&BEN=8N?h=8E?MN求出

答案.

【詳解】解：過M作MH1BC于H,交4D于K,連接NE,

???四邊形48CD是正方形,

AB=AD=BC=CD=4,乙BCD=90°,乙ACB=45°="ZC,

???DE=3CE,

???CE=1,

在由△BCE中，

tanzE^C=-=BE=^BC2+CE2=V17,

BC4

???—=tanzE^C=-

BH49

???BH=4NH,

??.AACB=45°,

??.△CM”是等腰直角三角形，

MH=CH,

設M”=CH=x,貝=4%,

???BH+CH=BC=4,

4

???4%+%=4,x=

164

BH=Y，CH=MH=三=DK,

???BM=y/BH2+MH2=iV17,

???Z-DAC=45°,

/.MK=MA=BH,

???MN工BE,

?，?乙BMH=90°-乙NMK=乙MNK,

???乙BHM=乙MKN=90°,

BHM=△MKN(AAS),

MN=BM=1V17,NK=MH=g

12

??.AN=AD-NK-DK=y,

BN=7AB2+AN2=1V34,

設點E到BN的距離為h,

v2S〉BEN=BN,h=BE,MN,

7BE-MNVi7xi^^

h,=-------=-----1—=—,

BN8g2

5

故答案為：與.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直

角三角形的判定與性質，三角函數的定義，勾股定理等知識點，解題關鍵是正確作出輔助線

求出相關的線段長.

11.（2023下?天津南開?九年級南開翔宇學校?？茧A段練習）如圖，四邊形4BCD為正方形,

點E為對角線力C上一點，連接?！?過點E作EF1DE,交BC于點R以DE,EF為鄰邊作

矩形DEFG,連接CG.若4B=1,則CE+CG的值為.

【答案】V2

【分析】過點E作MN1BC于點作ENLCD于N,利用正方形的性質，角平分線的性

質以及全等三角形的判定可證AEMF三△5可。得出石尸=￡"。，再證明A4DE=ACDG,得出

AE=CG,則可證CE+CG=4C,最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過點E作MN1BC于點作EN1CD于N,

國四邊形ABCD為正方形，AB=1,

^AD=CD,4C平分/BCD,/.BCD=^ADC=90°,AC=V2,

=EN,四邊形EMCN是矩形，

S^MEN=90。，

又EF1DE,

BZ.MEN=乙FED=90°,

團NMEF=乙NED,

又上EMF=乙END=90°,EM=EN,

[?]△EMFEND,

團EF=ED,

團矩形DEFG是正方形，

又四邊形ZBC。為正方形，

^ADC=乙EDG=90°,DE=DG,

^\Z-ADE=Z.CDG,

0AADE=△CDG,

胤4E=CGf

0CE+CG=CE+AE=AC=V2.

故答案為：V2.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，添

加合適的輔助線，證明矩形DEFG是正方形是解題的關鍵.

12.（2023下?天津和平?九年級天津一中校考階段練習）如圖.在矩形4BCD中，4B=3,

BC=3百.點尸在線段BC上運動（含B、C兩點），連接4P,以點A為中心，將線段4P逆

時針旋轉60。到4Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為.

【答案】|

【分析】以4B為邊向右作等邊三角形△4BF,作射線尸Q交4。于點E,過點￡＞作DH1QE于

H,連接PQ,根據矩形的性質得N4BP=NB4D=90。，根據AABF,Zk/IPQ都是等邊三角

形得NB4F=Z.PAQ=60°,BA=FA,PA=Q2,可得N84P=NF4Q,用SAS可證明△BAP=

△FAQ,得N4BP=/.AFQ=90°,根據NF4E=30°得乙4￡尸=60°,根據AB=AF=3,

^FAE=30°,在RtA4FE中，設FE=x,貝（ME=2x,根據勾股定理得，x2+32=（2x）2,

進行計算得FE=用，AE=2V3,即可得點。在射線FE上運動，根據4D=BC=3百得DE=

V3,根據DH1EF,乙DEH=^AEF=60°,得DH=|,根據垂線段最短，即可得當點Q與

點H重合時，DQ的值最小，最小值為|.

【詳解】解：如圖所示，以4B為邊向右作等邊三角形△力BF,作射線FQ交4。于點E,過點

D作DH1QE于H,連接PQ,

回四邊形4BCD是矩形，

團44BP=乙BAD=90°,

團△4BF,都是等邊三角形，

^BAF=Z-PAQ=60°,BA=FA,PA=QA,

^BAP=Z-FAQ,

在△BZP和△F/Q中，

BA=FA

Z-BAP=Z.FAQ

PA=QA

[?]△BAP=△FAQ(SAS),

^ABP=/.AFQ=90°,

^FAE=4BAD-tBAF=90°-60°=30°,

^AEF=180°-Z.AFQ-Z.FAE=180°-90°-30°=60°,

^\AB=AF=3,/-FAE=30°,

團在噌中，設FE=%,貝ij4E=2x,根據勾股定理得，

x2+32=(2x)2,

3x2=9,

x2=3,

xi=V3,x2=-V3(舍)，

0FE=V3,AE=2V3,

團點。在射線FE上運動，

^\AD=BC=3A/3,

團DE=AD-AE=3W-2W=W，

回D”1EF,乙DEH=AAEF=60°,

回OH=yjDE2-EH2=J(V3)2-(y)2=|,

團垂線段最短，

團當點Q與點H重合時，OQ的值最小，最小值為|,

故答案為：|.

【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，

勾股定理，解題的關鍵是構造全等三角形，添加輔助線，本題是中考選擇題中的壓軸題.

13.(2024上?天津和平?九年級天津二十中?？计谀?如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,OC

的半徑為百，尸為A3邊上一動點，過點尸作。C的切線尸。，切點為。，則尸。的最小值

為.

【答案】3

【分析】連接0C和PC,利用切線的性質得到C3P。，可得當CP最小時，P。最小，此

時CPEL4B,再求出CP,利用勾股定理求出P。即可.

【詳解】解：連接QC和尸C,

EIP。和圓C相切，

回CQaPQ,即囪CP。始終為直角三角形，CQ為定值，

團當CP最小時，P。最小，

回0ABe是等邊三角形，

團當CPEAB時，CP最小，此時CPEL4B,

0AB=BC=AC=4,

EAP=BP=2,

ECP=VXC2-XP2=2V3,

國圓C的半徑CQ=W，

回尸0力CP2_CQ2=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，以及勾股定理.此題難度適中，注意

掌握輔助線的作法，注意得到當尸CM4B時，線段PQ最短是關鍵.

14.（2023下?天津濱海新?九年級天津經濟技術開發區第一中學校考開學考試）如圖，已知

菱形4BCD的邊長為4,4DAB=60°,E為AB的中點，/為CE的中點，力?與DE相交于點G,

【分析】過點尸作尸”IICD,交DE于H,過點C作CM14B,交AB的延長線于M,連接FB,

先證明FH是△CDE的中位線，得FH=2,再證明AAEG三△FHG,得4G=FG,在RtACBM

中計算和CM的長，再證明是中位線，可得BF的長，由勾股定理可得4F的長，從而得

結論.

【詳解】如圖，過點尸作FHIIC。，交DE于H,過點C作交28的延長線于M,

連接F8,

回四邊形4BCD是菱形，

回4B=CD=BC=4,AB||CD,

EFW||AB,

回NFHG=/.AEG,

EFH||CD,

「DHCF

團--=—，

EHEF

SF是CE的中點，

回H是DE的中點，

困4/是ZkCDE的中位線，

SFH=-CD=2,

2

回片是43的中點，

團4E=BE=2,

囿4E=FH,

^AGE=乙FGH,

^AEG三△FHG(AAS),

團/G=FG,

胤40IIBC,

團乙CBM=乙DAB=60°,

RtZkCBM中，Z.BCM=30°,

0BM=-BC=2,CM=V42-22=2亞

2

05F=BM,

團F是CE的中點，

CEM的中位線，

0BF=|CM=V3,FB||CM,

^Z-EBF=Z,M=90°,

Rt△4FB中，由勾股定理得：AF=>JAB2+BF2=J42+(V3)2=V19,

0GF=-AF=—.

22

故答案為：尊

【點睛】此題考查的是菱形的性質，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，勾股定

理，平行線分線段成比例定理，掌握其性質定理是解決此題的關鍵.

15.(2022上?天津和平?九年級天津二十中校考期末)在矩形A2C。中，SB的平分線3E與

AO交于點E,國BED的平分線EF與OC交于點孔若AB=9,DF=2FC,則BC=.(結

果保留根號)

【答案】6V2+3

【分析】先延長即和2C,交于點G,再根據條件可以判斷三角形ABE為等腰直角三角形，

并求得其斜邊BE的長,然后根據條件判斷三角形BEG為等腰三角形,最后根據aemaaGbc

得出CG與DE的倍數關系,并根據BG=BC+CG進行計算即可.

【詳解】延長E尸和BC,交于點G.

團矩形A2CD中，回8的角平分線BE與交于點E,

EHABE=EIAEB=45°,

EAB=AE=9,

團直角三角形ABE中，BEZ92+92=9近,

又EBBED的角平分線EF與DC交于點F,

^BEG^DEF.

fflADEIBC,

EEIG=E￡)EF,

00B￡G=0G,

0BG=BE=9V2.

由EIG=I3Z)EF,^EFD=^GFC,可得ElEPOEHGbC,

回”=空==工

DEDF2CF2

設CG=x,DE=2x,則A￡)=9+2x=BC.

SBG^BC+CG,

回9a=9+2x+x,解得m3夜-3,

回BC=9+2(3V2-3)=6V2+3.

故答案為6V2+3.

16.（2023下?天津河東?九年級天津市第五十四中學?？茧A段練習）如圖，在正方形4BCD中，

AD=10,點E在BC邊上（不與端點重合），BF12E于點尸，連接DF,當AADF是等腰三角

形時，EC的長等于.

【答案】5

【分析】根據正方形的性質以及直角三角形的性質可得當A上。F時，點E與點

C重合，從而得當AADF是等腰三角形時，只有AO=。凡過點。作。M0AE,則AM=FN,

可得△AMD三AB凡4,結合勾股定理，即可求解.

【詳解】解：國在正方形2BCD中，

SAB=BC=CD=AD=10,

0FF1AE,

^AB>AF,

SAD>AF,

當A/=。月時，

0BF1AE,

團點廠在AC與2。的交點上，即點E與點C重合，不符合題意，

國當△力DF是等腰三角形時，只有AZXDR

過點。作。MEL4E,則AM=FM,

SS\DAM+^\BAF=90°,0BAF+0ABF=9O°,

EHD4M=EL4BF,

又0A￡）=A2,^\AMD=SAFB=90°,

0AAMD三4BFA,

^\AM=BF,

SAF^IBF,

^AF2+BF2^AB2,

E4BF2+BF2=102,解得：BF=2V5（負值舍去），

設EF=x,貝!|/+（2西產+1。2=（4西+力2,解得：x=y/5,

0BE=J（2A/5）2+（V5）2=5,

回CE=10-5=5.

故答案是：5.

【點睛】本題主要考查正方形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和

性質，添加輔助線，構造全等三角形，是解題的關鍵.

17.（2023?天津河東?天津市第七中學?？寄M預測）如圖，在邊長為4的菱形2BCD中，

AABC=120°,將A4DC沿射線4C的方向平移得到A4DC,分別連接4B,D'B,則AB+

D'B的最小值為.

【答案】4V3

【分析】根據菱形的性質得到AB=C。=4,Z.ABC=120°,得出NB4C=30。，根據平移

的性質得到4。'=4。=4,A'D'WAD,推出四邊形48C。是平行四邊形，得到4B=?C,

于是得到4B+的最小值為+C。'的最小值，根據平移的性質得到點。在過點。且

平行于AC的定直線上，作點C關于定直線的對稱點E,連接BE交定直線于D,則BE的長

度即為4B+0'8的最小值，求得CE=CB,得到NE=4BCE=30°,于是得到結論.

【詳解】解：在邊長為4的菱形ABC。中，^ABC=120°,

固48=CO=4,乙ACB=/.DAC=30°,

將△4DC沿射線4C的方向平移得到△4DC,

回4'。'=力。=4,A'D'WAD,

回四邊形4BCD是菱形，

HAD=CB,ADWCB,

回乙4DC=120°,

固4'。'=CB,A'D'WCB,

回四邊形48C4是平行四邊形，

^A'B=D'C,

^A'B+的最小值=BD'+CD'的最小值，

回點D'在過點。且平行于2C的定直線上，

回作點C關于定直線的對稱點E,連接BE交定直線于￡>’,

則BE的長度即為2D+84的最小值，

在RtACHD中，/.D'DC=^ACD=30°,AD=4,

團CH=EH=-AD=2,

2

團CE=4,

團CE=CB,

^ECB=Z.ECA'+乙ACB=90°+30°=120°,

團NE=乙BCE=30°,

0BE=2XyCD=4V3.

故答案為：4V3.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，菱形的性質，含30。的直角三角形的性質，平

移的性質，正確地理解題意是解題的關鍵.

18.（2020上?天津?九年級天津二十五中校考階段練習）如圖，等腰RtAABC中，NB4C=90°,

若4P=2,BP=2V6,CP=4V2,貝靦ABC的面積=

A

【分析】將回ABP繞點A逆時針旋轉90。至回ACQ的位置，連接PQ,如圖1,根據旋轉的性質

可得回APQ是等腰直角三角形，根據勾股定理可求出PQ的長，然后利用勾股定理的逆定理

可判斷回PCQ是直角三角形，進而可得回AQC=135。，過點A作AFECQ交CQ的延長線于點F,

如圖2,易得回AFQ是等腰直角三角形，于是可得AF與FC的長，在Rt團FAC中可利用勾股定

理求出AC2,進一步根據團42C的面積即可求出答案.

【詳解】解：將EIABP繞點A逆時針旋轉90。至EIACQ的位置，連接PQ,如圖1,

則AQ=AP=2,EPAQ=90°,QC=BP=2傷，

EIPQ=y/AP2+AQ2=2V2,I3AQP=EIAPQ=45°,

2222

&PQ2+CQ2=(2V2)+(2V6)=32,PC=(4V2)=32,

回PQ2+CQ2=pc2,

fflPQC=90°,

a3AQC=90°+45°=135°,

過點A作AFECQ交CQ的延長線于點F,如圖2,貝胞AQF=180°—C35°=45°,

0XF=FQ=?4Q=V2,

SFC=FQ+QC=y/2+2V6,

SAC2=AF2+FC2=(V2)2+(V2+2V6)2=28+8V3,

13a4BC的面積gAC?=(x(28+8V3)=14+4V3.

故答案為：14+4V3.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質、旋轉的性質、勾股定理及其逆定理等知

識，具有相當的難度，正確作出輔助線、靈活應用整體的思想方法是解題的關鍵.

19.（2021上?天津河北?九年級天津外國語大學附屬外國語學校?？茧A段練習）如圖，P是等

邊三角形48c內一點，將線段2P繞點4順時針旋轉60。得到線段4Q,連接BQ.若P2=6,PB=

8,PC=10,則四邊形4PBQ的面積為一.

【答案】24+9V3.

【詳解】解：如圖，連結PQ,

根據等邊三角形的性質得EIBAC=60。，AB=AC,

再根據旋轉的性質得AP=PQ=6,EPAQ=60°,

即可判定回APQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6；

在EIAPC和EIABQ中，AB=AC,0CAP=0BAQ,AP=PQ,

利用SAS判定EIAPCEIEIABQ,

根據全等三角形的性質可得PC=QB=10；

在回BPQ中，已知PB2=82=64,PCV=62,BQ2=102,BPPB2+PQ2=BQ2,

所以EIPBQ為直角三角形，0BPQ=9O",

]V3

所以S四邊形APBQ=SABPQ+S2\APQ=7；X6X8T+X62=24+9V^.

Z4

故答案為：24+9V3.

c

【點睛】本題考查旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質.

20.（2021上?天津河東?九年級天津市第七中學校考期中）如圖，在四邊形ABC。中，

4,CD=3,0ABe=0ACB=a4￡）C=45。，則2。的長為.

【答案】V41

【詳解】作AD'=AD,連接CO,E?D,如圖:

^S\BAC+^CAD=^DAD'+SCAD,

BP0BA￡>=0CAD/,

在△BAD與△CA。中，

'BA=CA

/.BAD=/.CAD',

.AD=AD'

SABADSACAD'(SAS),

SBD=CD',

00X0=90°,

由勾股定理得DD'^AD2+(XZ),)2=V32=4V2,

WDA+SADC^0Q

由勾股定理得CD'=jDC2+(DD'Y=y]S+32=V41

SBD=CD'=V41,

故答案為：V41.

21.（2021上?天津?九年級天津一中校考期中）如圖，在RSABC中，^ACB=90°,將A4BC繞

頂點C逆時針旋轉得到鼠1'B'C,M是BC的中點，P是4次的中點，連接PM,若BC=2,NB4C=

30°,則線段PM的最大值是

【答案】3

【分析】連接PC.首先依據直角三角形斜邊上中線的性質求出PC=2,然后再依據三角形

的三邊關系可得到PM4PC+CM,故此可得到PM的最大值為PC+CM.

【詳解】解：如圖連接PC.

???N4=30°,BC=2,

???AB=4,

根據旋轉不變性可知，A'B'=AB=4,

A'P=PB',

PC=-A'B'=2,

2

CM==1,

又?：PM《PC+CM,即PM43,

???PM的最大值為3（此時P、C、M共線）.

故答案為：3.

【點睛】考查旋轉的性質，含30。角的直角三角形的性質，掌握直角三角形斜邊的中線等于

斜邊的一半是解題的關鍵.

22.（2022上?天津?九年級天津市匯文中學?？计谥校┰谝浴鰽BC中，^ACB=90°,Z.BAC=

30°,BC=6.

（1）如圖①，將線段C4繞點C順時針旋轉30。,所得到與2B交于點M,則MC的長=；

（2）如圖②，點。是邊4C上一點。且4D=2b，將線段4D繞點A旋轉，得線段4。'，點

廠始終為的中點，則將線段4。繞點A逆時針旋轉度時，線段CF的長最大，最

大值為.

圖①圖②

【答案】61506+V3

【分析】(1)根據旋轉的性質及等腰三角形、等邊三角形的性質求解；

(2)取4B中點E連接EF、EC,所以EF為中位線，求出EF,再利用CE+EF2CF求CF的

最大值及此時的旋轉角.

【詳解】解：(1)如圖1所示：

在RtAABC中，Z.ACB=90°,/.BAC=30°,BC=6,

?-?/.ABC=90°-30°=60°,

???將線段C4繞點C順時針旋轉30。，

^\Z-BAC=Z-ACM

??.A4MC為等腰三角形，

??.AM=MC,

???乙MCB=90°-匕ACM=60°,

=60°

??.AMBC為等邊三角形，

MC=MB=MA=BC=6,

故答案為：6；

圖1

(2)在RtAABC中，乙4cB=90°,Z.BAC=30°,5C=6,

???AB=12,

取4B中點E連接EF、EC,如圖2,

EF為中位線，

又2D=2V3,

???EF=-AD'=-AD=V3,

22

???CE+EF>CF,

.?.當CE、EF共線時，CF最大，CF最大值=EC+EF=6+百，

此時，CFWAD',

Z.D'AC=180°-30°=150°,

即當將線段4D繞點A逆時針旋轉150。時，線段CF的長最大，最大值為6+8；

故答案為：150；6+V3.

圖2

【點睛】此題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質和等腰三角形、等邊三角形以及直角

三角形的性質是解答此題的關鍵.

23.（2022上?天津?九年級天津市第五十五中學?？计谥校┤鐖D，在RZ0ABC中，0ACB=9O°,

AC=4,8C=3,點。是AC的中點，將CO繞著點C逆時針旋轉，在旋轉的過程中點。的

對應點為點￡,連接BE,則0AE2面積的最小值是

【答案】1

【分析】作CH1AB于H,如圖，先利用勾股定理計算出4B=5,再利用面積法計算出=蓑,

再根據旋轉的性質得CE=2,然后利用E點在線段HC上時，點E到4B的距離最小，從而可

計算出A4EB的面積的最小值.

【詳解】解：作力B于"，如圖，

???乙ACB=90°,AC=4,BC=3,

???AB=V32+42=5,

???-CH-AB=-AC-BC,

22

o6X812

???CH=——=—,

105

???點。是/c的中點，

CD=2,

???將CD繞著點C逆時針旋轉，在旋轉過程中點。的對應點為點E,

CE=2,即點E在以。為圓心，2為半徑的圓上，

???點E在線段HC上時，點E到4B的距離最小，

??.A4EB的面積的最大值為］X（音一2）X5=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了勾股定理.

24.（2022上?天津濱海新?九年級塘沽二中?？计谥校┮阎叫?BCD的邊長為6,。是BC

邊的中點.

(0)如圖①，連接4。，則4。的長為.

(回)如圖②，點E是正方形內一動點，0E=2,連接DE,將線段DE繞點。逆時針旋轉90。

得DF.則線段OF長的最小值為.

【答案】3V5；3V10-2；

【分析】5)根據勾股定理可求力。的長；

(E)連接DO,將MOE繞點D逆時針旋轉90。得EIDGF,過點G作DC的垂線，垂足為M,

過點0作BC的垂線，交直線GM于點N,連接OG,求出OG長，再根據三角形三邊關系可

求OF最小值.

【詳解】(團)回正方形48的邊長為6,。是BC邊的中點，

0OB=OC=3,

AO=VX52+BO2=3V5,

故答案為：36；

(E)連接DO,將EIDOE繞點D逆時針旋轉90。得EIDGF,過點G作DC的垂線，垂足為M,

過點。作BC的垂線，交直線GM于點N,連接0G,

由旋轉可知，GF=0E=2,DO=DG,0OEG=9O",

00GDM+0ODC=9O°,

E0DOC+0ODC=9O°,

H0DOC=EIGDM,

EEC=EIGMD,

E0DOCE0GDM,

EDM=OC=3,GM=DC=6,

由輔助線作法可知，四邊形CMNO是矩形,

團CM=OC=3,

團矩形CMNO是正方形，

ON=MN=3,

OG=y/ON2+GN2=3V10,

0OF>OG-GF,

HOF的最小值為OG-GF=3V10-2；

故答案為：3VTU-2.

【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質和最小值問題，解題

關鍵是構造手拉手全等模型，轉化確定線段的取值范圍.

25.（2022上?天津武清?九年級天津英華國際學校?？茧A段練習）如圖，點P是等邊三角形

ABC內一點，且P4=46,PB=V2,PC=2vL則這個等邊三角形ABC的邊長為.

【答案】V14

【分析】將三角形8CP繞點8逆時針旋轉60。得三角形2ZM,過2作B/ffl直線AP于先

證明三角形3。尸為等邊三角形，利用勾股定理逆定理得能圮4=90。，進而得aBPH=30。，利用

勾股定理解直角三角形即可得答案.

【詳解】解：將三角形尸繞點8逆時針旋轉60。，得三角形BD4,8c邊落在AB上，過

8作直線AP于H,如圖所示，

由旋轉知，ABO尸為等邊三角形，AD=PC=2<2,

0BP=PD=BD=&.,回BPD=60°,

SPD2+PA2=AD2,

函4尸。=90°,

00BPH=3O°,

則6BP=PH=J(V2f-(f)2=f,

由勾股定理得：AB=j(V6+y)2+(y)2=V14,

故答案為：V14.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定、勾股定理逆定理、旋轉變換的應用等知識點，

解題關鍵是作旋轉變換，將分散的條件集中在同一三角形中.

26.(2022上?天津?九年級天津市第五十五中學校考期末)如圖，在正方形4BCD中，E、F

分別是邊BC、CD上的點，Z.EAF=45°,正方形4BCD的邊長為3,BE=1,貝UDF的長

為.

【分析】將AABE繞點A逆時針旋轉90。，4B邊和4。邊重合，證明△?!￡1?三A