11．1.6祖暅原理與幾何體的體積新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升課程標(biāo)準(zhǔn)1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道球、棱柱、棱錐、棱臺的體積的計算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識點(diǎn)一祖暅原理(1)“冪勢既同，則積不容異”，即“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積________，那么這兩個幾何體的體積________”．(2)作用：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積________．總相等一定相等相等知識點(diǎn)二柱體、錐體、臺體和球的體積公式其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑．名稱

體積(V)柱體棱柱________________圓柱πr2h錐體棱錐________________圓錐πr2h臺體棱臺________________圓臺πh(r2＋rr′＋r′2)球________________Sh

基

礎(chǔ)

自

測1．若長方體的長、寬、高分別為3cm、4cm、5cm，則長方體的體積為(

)A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm3答案：B解析：長方體的體積為3×4×5＝60(cm3)．2．圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其體積為(

)A．15π B．30πC．12π D．36π答案：C

3．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于(

)A．π B．2πC．4π D．8π答案：B解析：設(shè)軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側(cè)＝πa·a＝πa2.又∵S側(cè)＝4π，∴a＝2.∴V圓柱＝π×2＝2π.4．若一個球的直徑是12cm，則它的體積為________cm3.288π

課堂探究·素養(yǎng)提升題型1求柱體的體積例1如圖所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6cm，高為3cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4cm，高為2cm，現(xiàn)從中間挖去一個直徑為2cm的圓柱，求此幾何體的體積．

方法歸納計算柱體體積的關(guān)鍵及常用技巧(1)計算柱體體積的關(guān)鍵：確定柱體的底面積和高．(2)常用技巧：①充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，構(gòu)造直角三角形，從而計算出底面積和高．②由于柱體的體積僅與它的底面積和高有關(guān)，而與柱體是幾棱柱，是直棱柱還是斜棱柱沒有關(guān)系，所以我們往往把求斜棱柱的體積通過作垂直于側(cè)棱的截面轉(zhuǎn)化成求直棱柱的體積．跟蹤訓(xùn)練1

一個正方體的底面積和一個圓柱的底面積相等，且側(cè)面積也相等，求正方體和圓柱的體積之比．

【答案】

A

(2)如圖三棱臺ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．

(3)如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn)，求三棱錐A1-D1EF的體積．

狀元隨筆三棱錐A1-D1EF的高不易求出，可以轉(zhuǎn)換為求三棱錐F-A1D1E的體積．方法歸納1．三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法．2．求幾何體體積的常用方法

答案：A(2)如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為4，動點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上且EF＝2，動點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積(

)A．與點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點(diǎn)Q的位置有關(guān)C．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無關(guān)，是定值

答案：D(3)如圖所示，三棱錐P-ABC的所有棱長都為1，求此三棱錐的體積．

狀元隨筆將此三棱錐放在正方體中，看作正方體切去四個三棱錐得到，據(jù)此設(shè)計算法求解．題型3求臺體的體積例3已知正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2.求正四棱臺的體積．【解析】

如圖所示，正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高．設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形．

狀元隨筆可以嘗試借助四棱臺內(nèi)的直角梯形．求出棱臺底面積和高，從而求出體積．方法歸納求臺體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺體的高．要注意充分運(yùn)用棱臺內(nèi)的直角梯形或圓臺的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3

本例若改為“正四棱臺的上、下兩底的底面邊長分別為2cm和4cm，側(cè)棱長為2cm，求該棱臺的體積．”

題型4求球的體積例4

(1)過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積．

解決本題要充分利用已知條件，尤其是球半徑，截面圓半徑和球心距構(gòu)成的直角三角形．

【答案】

C方法歸納球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．跟蹤訓(xùn)練4

如果三個球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的(

)A．1倍B．2倍C．3倍D．4