全章總結提升第2章空間向量與立體幾何湘教版

數學

選擇性必修第二冊網絡構建·歸納整合專題突破·素養提升目錄索引

網絡構建·歸納整合專題突破·素養提升專題一空間向量及其運算空間向量的運算主要包括空間向量的線性運算、數量積運算以及空間向量的坐標運算.空間向量的運算是利用向量研究空間線面位置關系、面面位置關系、空間角與空間距離的基礎.空間向量及其運算主要培養直觀想象、數學運算以及邏輯推理的核心素養.規律方法

1.在空間向量的加、減、數乘等線性運算中,要結合圖形特征選擇適當的向量為基,利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點,把所求的向量逐步分解,最終歸結為基下的表示,用基向量表示出相關向量后再進行向量的運算.2.求解用空間的基表示的向量的模或夾角以及數量積問題,應注意結合向量數量積的運算律及運算法則.變式訓練1如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1專題二利用空間向量證明平行、垂直問題利用空間向量研究空間線面、面面位置關系的優點是將幾何問題轉化為代數問題,利用空間向量證明平行、垂直問題主要培養直觀想象、數學運算以及邏輯推理的核心素養.【例2】

如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.證明

(1)易證得PA,AD,AB兩兩垂直,如圖所示,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz.設PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分別為AB,PC的中點,令z1=b,則n1=(2a,-b,b)為平面PMC的一個法向量.設平面PDC的法向量為n2=(x2,y2,z2),令z2=1,則n2=(0,1,1)為平面PDC的一個法向量.∵n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,∴平面PMC⊥平面PDC.規律方法

利用向量證明垂直、平行的方法(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理,即證明可在平面內找到兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量.(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);②轉化為線面平行、線線平行問題.(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量;②證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉化為線面垂直、線線垂直問題.變式訓練2如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.證明

(方法一)設平面A1BD內的任意一條直線的方向向量為m.(方法二)基向量的取法同方法一.為BA1∩BD=B,BA1,BD?平面A1BD,由直線和平面垂直的判定定理知AB1⊥平面A1BD.(方法三)如圖,取BC,B1C1的中點O,O1,連接AO,OO1.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都為中點,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如圖所示,建立空間直角坐標系O-xyz,則B(1,0,0),D(-1,1,0),專題三利用空間向量求角利用向量求空間角是空間向量的重要應用,求空間角主要包括求二面角、兩個平面所成的角、直線與平面所成的角以及異面直線的夾角,其本質都是利用空間向量的夾角公式(即cosθ=)求解,但是要注意各種角的區別.利用向量求空間角主要是培養直觀想象、數學運算以及邏輯推理的核心素養.【例3】

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM的夾角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD所成的角的余弦值.解

以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).∴異面直線A1D與AM的夾角為90°.(2)∵A1D⊥AM,A1D⊥AN,AM∩AN=A,AM,AN?平面ANM,∴A1D⊥平面ANM,規律方法

利用向量法求空間角的注意點(1)異面直線夾角:兩異面直線夾角的范圍為(0,],需找到兩異面直線的方向向量,借助方向向量的夾角求解.(2)直線與平面所成的角:要求直線a與平面α所成的角θ,先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦值cos<n,a>,易知θ=<n,a>-或者

-<n,a>.(3)二面角:設平面α,β的法向量分別為n1,n2.因為兩平面的法向量的夾角(或其補角)就等于平面α,β所成的銳二面角θ,所以cos

θ=|cos<n1,n2>|.變式訓練3在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點.(1)求異面直線AE與CP夾角的余弦值;(2)若點F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點F的坐標;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.解

(1)易證得AD,DC,PD兩兩垂直,如圖所示建立空間直角坐標系D-xyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點,∴E(1,1,1),專題四利用向量求解空間幾何體中的探究問題利用向量求解空間幾何體中的探究問題是向量在研究幾何問題中的綜合應用,主要是培養邏輯推理、直觀想象、數學抽象、數學運算的核心素養.【例4】

在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=,AB⊥BC,如圖所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD.(1)求證:CD⊥AB.(2)若點M為線段BC的中點,求點M到平面ACD的距離.(3)在線段BC上是否存在點N,不含端點,使得AN與平面ACD所成的角為60°?若存在,求出

的值;若不存在,請說明理由.所以BD2+CD2=BC2,所以CD⊥BD.因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又AB?平面ABD,所以CD⊥AB.(2)解

由(1)知CD⊥BD.以點D為原點,DB所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,過點D作垂直于平面BCD的直線為z軸,建立空間直角坐標系D-xyz,如圖所示,(3)解

假設在線段BC上存在點N,使得AN與平面ACD所成的角為60°.規律方法

利用空間向量解決存在性(探索性)問題的方法解決與平行、垂直有關存在性(探索性)問題時,常借助空間直角坐標系以及空間向量的坐標運算,假設題中的數學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下通過邏輯推理建立方程,若能導出與條件吻合的數據或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若導出與條件或實際情況相矛盾的結果,則說明假設不成立,即不存在.變式訓練4如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.(1)求證:A1C⊥平面AMN.(2)當AB=2,AD=2,A1A=3時,在線段AA1上是否存在一點P使得C1P∥平面AMN?若存在,試確定P的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明

因為CB⊥平面AA1B1B,AM?平面AA1B1B,所以CB⊥AM,又因為AM⊥A1B,A1B∩CB=B,A1B,CB?平面A