會(huì)寧一中2018屆高三3月份測(cè)試卷高三理科數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，把一枚質(zhì)地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形托盤內(nèi)，已知硬幣平放在托盤上且沒有任何部分在托盤外，則該硬幣完全落在托盤內(nèi)部?jī)?nèi)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖所示，當(dāng)硬幣的圓心落在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)部時(shí)，硬幣平放在托盤上且沒有任何部分在托盤外，當(dāng)硬幣的圓心落在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)部時(shí)，該硬幣完全落在托盤內(nèi)部?jī)?nèi)，結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵，用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.2.已知復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得：∴，，故選：A3.如圖，當(dāng)輸出時(shí)，輸入的可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當(dāng)輸出時(shí)，此時(shí)4=，即，由，可得：，即，同理：。故選:B4.已知為銳角，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：又，∴∴的取值范圍為故選：C5.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意得：，∴故選：D6.的展開式中，的系數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的通項(xiàng)為：的展開式中，的系數(shù)為故選：B點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).7.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：，又，∴，∴∴∴數(shù)列的前項(xiàng)和故選：C8.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，如圖所示：，故選：D點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，、,,∴故選：A10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，若，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，可得：，即，故函數(shù)的周期為12.令，解得，∴在上的根為5，7；又，∴的最大值在上，即.故選：D11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作互相垂直的兩直線，與拋物線分別相交于，以及，，若，則四邊形的面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由拋物線性質(zhì)可知：，又，∴，即設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），則直線CD的斜率為．直線AB的方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，從而，=1，由弦長(zhǎng)公式得|AB|=，以換k得|CD|=4+4k2，故所求面積為≥32（當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào)），即面積的最小值為32．故選：C12.已知，方程與的根分別為，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】方程的根，即與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根，即與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，如圖所示：∴，∴，又，∴故選：A點(diǎn)睛：本題充分利用了方程的根與圖象交點(diǎn)的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，而的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，從而兩根之間滿足，目標(biāo)函數(shù)即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的最值問題.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.已知，，，且向量，的夾角是，則________．【答案】【解析】由題意可得：，則：，，，即：，整理可得：.14.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是________．【答案】7【解析】作出可行域，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，最大，即，故答案為：7點(diǎn)睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，，分別交軸于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的最大值為________．【答案】【解析】由題意，△ABF2的周長(zhǎng)為32，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=32﹣4a，∴，∴，令，則，令m=，則當(dāng)m=時(shí)，的最大值為故答案為：16.如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的表面積為________．【答案】【解析】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為：4三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)利用正弦定理及兩角和正弦公式即可求得角的大小；(2)由（1）知，又，易求得，由正弦定理求得，進(jìn)而得到的面積.試題解析：（1）由及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以.所以的面積為.18.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)．（1）是否存在一點(diǎn)，使得線段平面？若存在，指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)且，求二面角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．連接，，由三角形中位線的性質(zhì)可得，結(jié)合線面平行的判定定理可得平面．（2）由題意結(jié)合勾股定理可求得．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，據(jù)此計(jì)算可得二面角的正弦值為．..............................試題解析：（1）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．證明如下：如圖，連接，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以為的一條中位線，，又平面，平面，所以平面．（2）設(shè)，則，，，由，得，解得．由題意以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，故，，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則得令，得平面的一個(gè)法向量，同理可得平面的一個(gè)法向量為，故二面角的余弦值為．故二面角的正弦值為．19.某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過站．甲、乙乘坐不超過站的概率分別為，；甲、乙乘坐超過站的概率分別為，．（1）求甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率；(2)由題意可知的所有可能取值為：，，，，.求得相應(yīng)的概率值，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望.試題解析：（1）由題意知甲乘坐超過站且不超過站的概率為，乙乘坐超過站且不超過站的概率為，設(shè)“甲、乙兩人付費(fèi)相同”為事件，則，所以甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率是.（2）由題意可知的所有可能取值為：，，，，.，，，，.因此的分布列如下：所以的數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布X～B(n，p))，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，的面積為，直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求直線的斜率；（2）設(shè)平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且與直線交于點(diǎn)，求證：存在常數(shù)，使得．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題意得到橢圓的方程為.直線的方程為，聯(lián)立消去得，從而得線段的中點(diǎn)，進(jìn)而得到直線的斜率；(2)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程得到同理得到，∴存在常數(shù)，使得.試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，，所以，，所以，所以，所以橢圓的方程為.直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以或，所以，從而得線段的中點(diǎn).所以直線的斜率為.（2）由（1）知，直線的方程為，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，.所以.聯(lián)立消去得，由已知得，又，得.設(shè)，，則，，，.所以，，故.所以.所以存在常數(shù)，使得.21.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)由題易知解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)要證，即證.易知：，，從而得證.試題解析：（1）由題易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）的定義域?yàn)椋C，即證.由（1）可知在上遞減，在上遞增，所以.設(shè)，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，而，所以.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）直接由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)t得到直線的普通方程；把等式兩邊同時(shí)乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求得的值．試題解析：（1）把展開得，兩邊同乘得①.將，，代入①即得曲線的直角坐標(biāo)方程為②.（2）將代入②式，得，易知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則由參數(shù)的幾何意義即得.23.[選修45：不等式選講]已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）通過討論x的范圍，得到各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，取并集