人教版高中數學必修第二冊復習資料

第六章平面向量

設。為AABC所在平面上一點，角所對邊長分別為0“c,則

222

（1）。為A4BC的外心0次~=礪~=祝.

（2）。為AABC的重心=M+詬+方=6.

（3）。為AABC的垂心u＞次?麗=麗衣二雙?麗.

（4）。為A48C的內心04函+b礪+c反=6.

［6.1］平面向量的概念

1、向量的定義及表示（向量無特定的位置，因此向量可以作任意的平移）

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示：①有向線段：帶有方向的線段，它包含三個要素：起點、方向、長

度；［用行向一段衣示.此時?向一

分於H.主二/”H一段的方向就型向中的方向.向收

②向1里的1vl表示：C■兒何龍小卜AR的大小就越向量的箕度（或

3#稱模）9作IABI

印刷時.用黑體小寫字母a.b.c

（字母表系卜我示.書寫用運來麥示

2、向量的有關概念：相等向量是平行（共線）向量，但平行（共線）向量不一

定是相等向量

向量名稱定義

零向量長度為0的向量，記作0

單位向量長度等于1個單位長度的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量，向量a,b平行，記作a〃），

（共線向規定：零向量與任一向量平行

量）

相等向量長度相等且方向相同的向量；向量a,b相等，記作。=力

［6.2］平面向量的運算

1、向量的加法

（1）定義：求兩個向量和的運算.

（2）運算法則：

向量求和的法則圖不幾何意義

三角形法則C已知非零向量。，力，在平面內任取一點

使用三角形法則時要注意“首尾a^b/\b作通=Q,BC=b,則向量前叫做a與/

相接'’的條件，而向量加法的平行和，記作a+b,即。+6=而+阮=而

B

四邊法則應用的前提是共起點Ja'

平行四邊形法則以同一點。為起點的兩個己知向量。，

以。4,08為鄰邊作口。4c8,則以0）

點的向量沉（OC是。O4C3的對角線）

是向量。與方的和

（3）規定：對于零向量與任意向量。，規定a+0=0+a=a.

（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；力的合成可以看作

向量加法平行四邊形法則的物理模型.

（5）一般地我們有|0+力區同+步|,當且僅當a,b方向相同時等號成立.

（6）向量加法的運算律與實數加法的運算律相同

2、向量的減法

（1）相反向量（利用相反向量的定義，一荏=瓦?就可以把減法轉化為加法）

定義：我們規定，與向量。長度相等，方向相反的向量，叫做〃的相反向量

性質：①對于相反向量有：a+（-a）=0；②若a,力互為相反向量，則。=一

b,a+b=0；③零向量的相反向量仍是零向量

（2）向量減法運算（向量的減法是向量加法的一種逆運算）

定義：求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

a—b=a+（―b）,減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.

幾何意義：a—〃表示為從向量〃的終點指向向量a的終點的向量.

3、向量的數乘運算（實數與向量可以進行數乘運算，但不能進行加減運算）

（1）定義：規定實數人與向量。的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，

記作：癡,它的長度和方向規定如下：

①心尸國⑷；②當2>0時，〃的方向與。的方向相同；當次0時，施的方向與

a的方向相反.

③由①可知，當2=0時，M=0；由①②知，（-1）。=一a

（2）運算律：設九N為任意實數，則有：①2（”）=（椒）出②a

=Aa+|ia；③2（a+））=〃+肪；

特別地，有（-2）a=—（觴）—x（—a）；A（a—b）=Xa—Xb.

（3）向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量的線性運算結果仍

是向

量.對于任意向量〃，b,以及任意實數九MI，償，恒有2（*。±〃2方）=A/zia±Afi2

b.

（4）共線向量定理：向量。“川）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數

九使8=〃.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非

零向量表示.

4、向量的數量積

（1）向量的夾角：兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是

[0,71],而兩直線夾角的范圍為[。,j]

A

（2）向量的夾角的定義：已知兩個非零向量m40是平面上的任意一點，作

向量訶=mOB=b,則NaO）=9（0<0<TI）叫做向量〃與力的夾角.

當0=0時，。與〃同向；當0=兀時，”與B反向.

如果。與方的夾角是3我們說。與b垂直，記作aJ_A.

（3）向量的數量積及其幾何意義：向量的數量積是一個實數，不是向量，它的

值可正可負可為0

（4）向量的數量積的定義：己知兩個非零向量〃與兒它們的夾角為仇我們把

數量同步|。。5夕叫做向量。與〃的數量積（或內積），記作。彷，即。力=|。|步匕05夕

規定：零向量與任一向量的數量積為0.

（5）投影：如圖，設〃，方是兩個非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如

下變換：過血的起點。和終點兒分別作而所在直線的垂線，垂足分別為A

“8?得到不瓦，我們稱上述變換為向量〃向向量力投影，4瓦叫做向量〃

在向量b上的投影向量.

（6）向最數量積的性質

設d8是非零向量，它們的夾角是仇e是與b方向相同的單位向量，則

①a,e=e-a=|a|cos娛）③當a與力同向時，a-b=\a\\b\；當a與。反向

時，a-b=-\a\\b\,特別地，〃a=|aF或|a|=k工在求解向量的模時一般轉化為

模的平方，但不要忘記開方④|。仍國研網.

（7）運算律：?ab=ba；②（a+b）?c=℃+"c

（8）運算性質：類比多項式的乘法公式

[6.3]平面向量基本定理及坐標表示

1、平面向量基本定理（定理中要特別注意向量eI與向量e2是兩個不共線的向

量）

條件：ei,e2是同一平面內的兩個不共線向量

結論：對于這一平面內的任意向量。，有且只有一對實數九，人2，使。=九61+%2

基底：不共線的向量?，62叫做表示這一平面內所有向量的一組基底

2、平面向量的坐標表示

（1）基底：在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分

別為i,j，取｛i,j｝作為基底.

（2）坐標：對于平面內的一個向量m由平面向量基本定理可知，有且僅有一

對實數x,y,使得。=刀+力，則有序數對（X,y）叫做向量a的坐標.

（3）坐標表示：a=（x,y）.

（4）特殊向量的坐標：i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.

（5）平面向量的加減法坐標運算（可類比實數的加減運算法則進行記憶）

設向量a=（xi，yi）,b=（X2?>2）,則有下表：

文字描述符號表示

加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量a-\-b=(xi+x2,yi+y2)

相應坐標的和

減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量a—h=(xi—x2*yi—y2)

相應坐標的差

重要結一個向量的坐標等于表示此向量的有向已知A(xi,yi),B(X2,

論線段的終點的坐標減去起點的坐標>2)，則說=(X2-x1，

y2—y\)

（6）平面向量數乘運算的坐標表示

設向量Q=（x,y）,則有〃=（&,zy）,這就是說實數與向量的積的坐標等

于用這個實數乘原來向量的相應坐標.

（7）平面向量共線的坐標表示：設。=（xi，yi）,b=（%2,y>2）?其中屏0.

向量a,b（b#O）共線的充要條件是x]y2—x2yi=0.

（8）中點坐標公式：若Pi,P2的坐標分別是Co,yi），（X2,>2），線段尸

儼2的中點P的坐標為（X，丁），則％=詈丫=爐.此公式為線段尸122的中

點坐標公式.

（9）兩向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示

己知兩個非零向量，向量a=（X1，Jl）,b=（X2，J2）>。與方的夾角為。.

數量積：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，gp：ab=xxX2^yxy

2

向量垂直：?xz+yi^2=0

（10）與向量的模、夾角相關的三個重要公式

①向量的模：設。=（x,y）,則⑷=J/+y2

②兩點間的距離公式：若4（xy]）,B（x2，y2），則I而|=

I22

q（x1-x2）+（%一力）?

③向量的夾角公式：設兩非零向量a=（XI,yi）,b=（X2,>2）,。與b的夾

角為仇則

。=9=/冷+力力

同向夕+4符；靖

[6.4]平面向量的應用

1、平面幾何中的向量方法

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”

（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面

幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；（3）

把運算結果“翻譯”成幾何關系.

2、向量在物理中的應用舉例

（1）向量與力：向量是既有大小，又有方向的量，它們可以有共同的起點，也

可以沒有共同的起點.而力是既有大小和方向，又有作用點的量用向量知識解決

力的問題時，往往把向量平移到同一作用點上.

（2）向量與速度、加速度、牛移：速度、加速度、位移的合成與分解，實質H

就是向量的加、減運算.用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的知識主要

是向量的線性運算，有時也借助于坐標來運算.

（3）向量與功、動量：力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的

乘積，它的實質是力和位移兩個向量的數量積，即W=Fs=|F||s|cos。（。為尸和

s的夾角）.動量機獨實際上是數乘向量.

3、余弦定理、正弦定理

（1）余弦定理的表示及其推論（SAS、SSS、SSA）

文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們

夾角的余弦的積的兩倍.

符號語言：a2=b2+c2-2Z?ccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+Z?2-2abeosC.

,222

b+Ca

在△ABC中，=Z?2+C2-2Z?CCOSA,推論：cosA=~

2bc

（2）解三角形：一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊小b,c叫做

三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

（3）正弦定理的表示（A4S、SSA）

文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，該比值為該三角

形外接圓的直徑.

符號語言：在ZkABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,則

4=—L=，=2R（R為△ABC的外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

（4）正弦定理的變形形式變形形式是在三角形中實現邊角互化的重要公式

設三角形的三邊長分別為小b,c,外接圓半徑為R,正弦定理有如下變形：

①a=2RsinA,Z?=27?sinB,c=27?sinC；?sinA=—,sinB=—，sinC=—；

2R2R2R

（3）tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

（5）三角形面積公式：S^.=—Z?csinA=—^Z?sinC=—tzesinB.

AABC222

（6）相關術語

①仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目

標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫

俯角，如圖所示.

視線

②方位角

指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B

點的方位角為a（如圖1所示）.

③方位角的其他表示——方向角

正南方向：指從原點。出發的經過目標的射線與正南

的方向線重合，即目標在正南的方向線上.依此可類推圖2

正北方向、正東方向和正西方向.

東南方向：指經過目標的射線是正東和正南的夾角平分線（如圖2所示）.

（7）解三角形應用題

解題思路：

實際問題

推

得(

解

理

以

三

運

解

角

算

決

形

)

基本步驟：

運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：

①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或凡個三角形）；

②建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角

形中，建立一個解三角形的數學模型.

③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解.

④檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.

第七章復數

[7.1]復數的概念

1、數系的擴充和復數的概念

（1）復數的定義：形如。+初（〃，b￡R）的數叫做復數，其中i叫做虛數單位,

全體復數所構成的集合。={〃+而|。，叫做復數集.

（2）復數通常用字母z表示，代數形式為z=〃+次（小bGR）,其中〃與人分

別叫做復數z的實部與虛部.

（3）復數相等：在復數集。={〃+。必，6WH}中任取兩個數。+方，c+di（〃，

b,c,dGR）,我們規定：。+瓦與c+di相等當且僅當a=c且b=d.

（4）復數的分類

①對于復數a+bi（?,b《R）,當且僅當6=（）時，它是實數；當且僅當a=b

=0時，它是實數0;當卬0時，叫做虛數；當。=0且屏0時，叫做純虛數.這

樣，復數（a,b￡R）可以分類如下：

行將/實數（6=0）

I虛數（8H0）（當a=0時為純虛數）’

②集合表示：

2、復數的幾何意義

（1）復平面（復平面中點的橫坐標表示復數的實部，點的縱坐標表示復數的虛

部）

（2）復數的幾何意義

一一對應

①復數z=a+Z?i（a,bGR）<--->復平面內的點z（a,Z?）.

―?―t對應____>

②復數z=a+bi（mb￡R）——^平面向量OZ.

（3）復平面上的兩點間的距離公式：d=|Z|-Z21=5/（%一%）2+（%一%）2

(Z1=X]+y{i，z2=x2+y2i).

(4)復數的模

①定義：向量踵的模叫做復:數2=。+慶(a,bQR)的模或絕對值.

②記法：復數z=a+歷.的模記為|z|或|〃+村.

③公式：\z\=\a+hi\=Va2+b2(〃，b￡R).

如果Z?=0,那么z=a+Z?i是一個實數，它的模就等于⑷(。的絕對值).

(5)共電復數：一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個

復數叫做互為共掘復數，虛部不等于0的兩個共枕復數也風做共枕虛數.復數z

的共貌復數用2表示，即如果z=〃+bi,那么Z=a—玩

(6)兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數就不能比較大小。

(7)解復數方程

若△=/—4ac<0,在復數集C內有且僅有兩個共拆復數根

J土J一(L

2a

[7.2]復數的四則運算

1、復數的加、減運算及其幾何意義

(1)復數的加法法則

①運算法則：設zi=a+4\Z2=c+di(a,b,c,JeR)是任意兩個復數，那

么(a+出)+(c+力)=(a+c)+(力+d)i,兩個復數的和仍然是一個確定

的復數.

②復數加法的兒何意義：如圖，復數Z|+Z2是以西，西為鄰邊的平行四邊形

的對角線被所對應的復數.

③加法運算律：對任意Z”Z2>Z3^Cf有Z1+z2=Z2+z|,(z|+z2)+z3=

Z1+(z2+z3).

④復數加法的幾何意義：兩個向量兩與西的和就是與復數(a+c)+(b+d)

i對應的向量，友數的加法可以按照向量的加法來進行.

(2)復數的減法法則

①運算法則：復數的減法是加法的逆運算；設zi=a+6,Z2=c+力是任意兩個

復數，則(a+6)-(c+或)=(a-c)+(b—d)i,兩個復數的差是一個確

定的復數.

②復數減法的幾何意義：如圖，復數ZI—Z2是從向量兩的終點指向向量西的

終點的向量打所對應的復數.

2、復數的乘、除運算

(1)復數的乘法運算

①復數的乘法法則：設z]=〃+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR),則z/Z2=(〃

+")(c+Ji)=(.ac—bd)+(ad+bc)i.

②復數乘法的運算律

對任意復數zi，Z2?Z3^Cf有

交換律Z|-z2=Z2-Z1

乘法對加法的分配律Z1(Z2+23)=z1Z2+21Z3

結合律(zl-z2)-z3=z1-(z2-Z3)

(2)復數的除法運算

設zi=〃+Z?i,,Z2=c+di(c+diRO)),則

Zia+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbe—adt

~c+di~(c+由)(c-di)~c2d2c24-d21

復數的除法的實質是分母實數化.若分母為。+歷型，則分子、分母同乘。一步；

若分母為〃一"型，則分子、分母同乘〃+bi.

3、幾個重要的結論

①|馬+N2|2+|Zl-Z2|2=2(|z/2+|z2F)②zn=|z|2=|口2③若z為虛數，則上?門?

4、運算律

mmnn

①z?z"=z"'+"②(z)=z加③(4?Z2)"=Z：?z2(m,neR)

5、關于虛數單位i的一些固定結論：

①產=_1②『=_j③/=1④產+嚴2+j”+3+f+4=0

【7.3】復數的三角表示

1、復數的三角表示式

(1)復數的三角形式：一般地，任何一個復數z=a+"都可以表示成4co巾+

isin加的形式，其中，〃是復數z的模：。是以工軸的非負半軸為始邊，向量被所

在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復數z=a+b\的輻角，4。0巾+由11夕)叫做復

數2=。+力i的三角表示式，簡稱三角形式，為了與三角形式區分開來，。+為叫

做復數的代數表示式，簡稱代數形式.

(2)輻角主值：規定在OW827r范圍內的輻角0的值為輻角的主值，通常記作

“gz.

2、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義

(1)復數三角形式的乘法：兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輻

角等于各復數的輻角的和.

r1(cosO\+Lsin^i)-r2(cosOz+kin^z)=rir1[cos(0\+O2)+i5in(^i-F62)].

(2)復數三角形式的除法：兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的

模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.

n(COSGA-FisinOy)n,,

----------------=-[COS(%一。2)汽s譏(%—。2)]

r

r2(cos02+isin°2)2

第八章立體幾何初步

[8.1]基本立體圖形

1、多面體

（1）空間幾何體（我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大小）

空間幾何體：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據著空間的一

部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物

體抽象出來的空間圖形就叫做空間兒何體

多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多

邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做

多面體的頂點

旋轉體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成

的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做

旋轉體的軸

（2）多面體

多面體定義圖形及表示相關概念特殊情形

棱柱有兩個面互相平行，其1底面（底）：兩個互相平行直棱柱：側棱尋

余各面都是四邊形，并的面于底面的棱柱

且相鄰兩個四邊形的公側面：其余各面斜棱柱：側棱Z

共邊都互相平行，由這側棱：相鄰側面的公共邊直于底面的棱亡

些面所圍成的多面體叫記作：棱柱頂點：側面與底面的公共正棱柱：底面支

做棱柱ABCDEF-頂點多邊形的直棱木

ABC'DEF'

棱錐有一個面是多邊形，其底面（底）：多邊形面正棱錐：底面關

余各面都是有一個公共側面：有公共頂點的各個多邊形，并且工

頂點的三角形，由這些三角形面與底面中心的莢

面所圍成的多面體叫做側棱：相鄰側面的公共邊垂直于底面的蘢

AH

棱錐頂點：各側面的公共頂點

記作：棱錐s-

ABCD

棱臺用一個平行于棱錐底面是上底面：原棱錐的截面

的平面去截棱錐，底面下底面：原棱錐的底面

和截面之間那部分多面側面：其余各面

體叫做棱臺側棱：相鄰側面的公共邊

*頂點：側面與上（下）底面

記作：棱臺ABCD的公共頂點

一ABC'D'

（3）圓柱、圓錐、圓臺、球

旋轉體結構特征圖形表示

圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋圓柱用表示它的既

轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉母線^字母表示，如圖，

底面<\-Mifii

軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓圓柱記作圓柱01

面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的

曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，

平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線

圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉圓錐也用表示它白

軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉的字母表示，如E

體叫做圓錐的圓錐記作圓錐

底面18

圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截八圓臺也用表示它白

面之間的部分叫做圓臺的字母表示，如E

的圓臺記作圓臺

底而

球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周▼球常用表示球心存

形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫母來表示，左圖，

做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連示為球O

接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半

徑；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做1

球的直徑

(4)棱柱和圓柱統稱為柱體，棱錐和圓錐統稱為錐體，棱臺和圓臺統稱為臺體.

(5)簡單組合體(“接”和“截”簡單幾何體就可得到組合體)

①定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

②簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾

何體截去或挖去一部分而成的.

[8.2]空間幾何體的直觀圖

1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸

的線長度變半，平行于羽z軸的線長度不變

歷

3、原圖與直觀圖的關系：Sa=——Swi；S?i=2V2SA

4

【8.3】簡單幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

(2)圓柱的表面積S=2加+2m2(3)圓錐的表面積S=R7+"2

(4)圓臺的表面積S="/+/+成/+成2(5)球的表面積S=4成?

2、空間幾何體的體積

(1)柱體的體積V=S底x〃(2)錐體的體積

（3）臺體的體積V=3（5上+JS上5下+5下）x〃（4）球體的體積V=g成,

3、球的組合體

（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

（2）球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的

外接球的直徑是正方體的體龍角線長（百〃）.

（3）球與正四面體的組合體：棱長為。的正四面體的內切球的半徑為日。，外

接球的半徑為

4

【8.4】空間點、直線、平面之間的位置關系

1、平面

（1）含義：平面是無限延展的

（2）平面的畫法及表示

①平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成

45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

②平面通常用希臘字母外》等表示，如平面處平面4等，也可以

用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母

來表示，如平面AC、平面A3CO等。

2、點、直線、平面之間的基本位置的符號表示

文字語言符號語言

點A在直線/上AG/

點A在直線/外A^l

點A在平面a內A^a

點A在平面a外A^a

直線/在平面a內lua

直線/在平面a外1(^a

平面a,相交于/aC\p=l

3、三個基本事實：

（1）基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線二,有且只有一個平面a,使A￡Q、BGa、CGa。

基本事實1作用：確定一個平面的依據。

（2）基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平

面內。

符號表示為：AW/,Be1,A￡a,BRg>lua

基本事實2作用：判斷直線是否在平面內

（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一

條過該點的公共直線。

符號表示為：PGans=＞an°=i,且pe/

基本事實3作用：判定兩個平面是否相交的依據

4、基本事實1和基本事實2的三個推論

（1）經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面

符號表示為：A￡/=＞存在唯一的a,使人￡/lua

（2）經過兩條相交直線，有且只有一個平面

符號表示為：/Cl〃2=A=＞存在唯一的a,使/ua,

（3）經過兩條平行直線，有且只有一個平面

符號表示為：/〃加二＞存在唯一的a,使lua,mua

5、空間中直線與直線之間的位置關系

空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線

（相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點

I平行直線：同一平面內，沒有公共點

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公

共點

6、空間中直線與平面的位置關系

直線與平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內——有無數個公共點

（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行——沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用〃仁。來表示

acaaC\a=Aa//a

7、空間中平面與平面之間的位置關系

平面與平面有三種位置關系：

（1）兩個平面平行一沒有公共點

（2）兩個平面相交——無數個公共點（在同一直線上）

a

a

a/RaC\p=a

[8.5]空間直線、平面的平行

A

1、直線與直線平行/\

（1）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。/\\

符號表示為：a//b,c//b->a!/c/\\^e

強調：基本事實4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適/x\\

基本事實4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

（2）空間四邊形：順次連接不共面的四點A、B、C、。所構成的圖形。

（3）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或

互補

符號表示為：OA〃O'A',08〃03，且同向=>/403=/4,05，

等角定理作用：判定與證明兩個角相等。

2、直線與平面平行

（1）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，

則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：bu[3,a//b=>a//a

（2）直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的

任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a//a,aup,anfi=b=>a//b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

3、平面與平面平行

（1）兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，

則這兩個平面平行。

簡記為：線面平行則面面平行。符號表示：aup,buB，aC\b=Pta//a,b//a=>fi//a

證明方法：反證法

（2）兩個平面平行的判定定理的推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平

行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行。

符號表示：au0,bu°,=P,a'ua,b'ua,a'nb'=P',a//a,b//a=>fi//a

（3）平面與平面平行的性質定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么

它們的交線平行。

簡記為：面面平行則線線平行。符號表示：a//fltaQy=a,fiC]y=b=>a//h

（4）兩平面平行的相關性質

①若兩個平面平行，則一個平面內的任意一條直線都和另一個平面平行（￡〃a,

a（^a=>a//fi）

②夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等

③平行平面具有傳遞性及平行于同一平面的兩個平面平行（￡〃a，fi//y=>a//y）

④兩條直線被三個平行平面嚴截截得的對應線段成比例

4、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

[8,6]空間直線、平面垂直

1、異面育線所成的角

①兩條異面直線所成的角（0,；

②當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作

aA-b\

③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

④計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。_

2、直線與平面垂直/?

（1）定義：如果直線/與平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線//

與平面a互相垂直，記作/La,直線/叫做平面。的垂線，平面a叫做直線a

/的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。

符號表示：任意aua,都有lLa=>lA.a

（2）判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此

平面垂直。

符號表示：aua,bua,aC\b-P,l-La,l^b=>p//a

3、直線與平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角。當直線與平面垂

直時，規定這條直線與該平面成直角。當直線與平面平行或在平面內時，規定這

條直線與該平面成0。角。

（2）范圍：斜線與平面所成的角。的范圍是g比90。

（3）求法：作出斜線在平面上的射影；

（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。

4、直線與平面垂直的性質定理：

（1）直線與平面垂直的性質定理1：垂直于平面的直線與平面內任意一條直線

垂直。

簡記為：線面垂直則線線垂直。符號表示：Z±a,b^a=>lLb

（2）直線與平面垂直的性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

簡記為：線面垂直則線線平行。作用：作平行線。符號表示：ala,bLa=>a//b

5、點面距、線面距、面面距

（1）點面距：過一點做垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段叫做這

個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離

點面距A。范圍：AONO

（2）線面距：一條直線與一個平面平行直線條直線上任意一點到這個平面的距

離，叫做這條直線到這個平面的距離

當直線/與平面a相交或lua時，直線/到平面a的距離為O

（3）面面距：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平

面的距離都相等我們把它叫做這兩個平行平面間的距離

當平面”與平面a相交時，平面夕到平面。的距離為O

6、平面與平面垂直江

（1）二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形

二面角的記法：二面角。一/一尸或儀一43一￡或產一/一。或P-A8—Q.

（2）平面與平面垂直：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就

說這兩個平面互相垂直。符號表示：a邛

（3）兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個

平面垂直。

簡記為：線面垂直則面面垂直。符號表示：ABJ,A8ua=>a"

（4）平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂

直于這兩個平面的交線，則這條直線與另一個平面垂直。

簡記為：面面垂直則線面垂直。作用：作平面的垂線。符號表示：a邛,an°=l,

aua,aVl=>aA.P

第九章統計

[9.1]隨機抽樣

1、在統計學里，我們把所要考察對象的全體叫做總體，把總體中個體的總數叫

做總體容量.總體中的每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體

叫做總體的一個樣本.其中個體的個數稱為樣本容量.

2、簡單隨機抽樣：也叫純隨磯抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊

等，完全隨機地抽取調查單位。

3、簡單隨機抽樣常用的方法：

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范

圍；③概率保證程度。

（1）抽簽法的一般步驟：將總體的個體編號；連續抽簽獲取樣本號碼.

適用于：總體中個體數相對較少

特點：每個樣本單位被抽中的可能性相同（等可能性）；總體中個體數有限

（有限性）；從主體中逐個抽取（逐一性）

（2）隨機數表法的步驟：將總體的個體編號；在隨機數表中選擇開始數字；讀

數獲取樣本號碼.

適用于：總體中個體數相對較多

4、總體平均數與樣本平均數

（1）總體平均數（總體均值）：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分

別為匕.…，YN，則稱『=立"山=5￡之1、

（2）加權平均數：如果總體的N個變量值中，不同的值共有Z（MV）個，不妨

記為匕，力，…，匕，其中匕出現的頻數力（：1,2,k）,則總體均值還可

以寫成加權平均數的形式V=（￡f=i/；?匕

（3）樣本平均數（樣本均值）：如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本，他們

的變量值分別為V，”，…,如，則稱y=%+%；??+.=；2.1%

5、分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性

別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機

抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的

樣本。抽樣比=7g需

（2）分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取

不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：①調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量②保證各層內部同質

性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量③有明顯分層區分的變量

（3）分層的比例問題：①按比例分層抽樣②不按比例分層抽樣

（4）在分層隨機抽樣中，如果層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分

別為M和N,抽取的樣本量分別為加和〃.我們用X"X?，…，XM表示第1層

各個個體的變量值，用幻，X2,…，Xm表示第1層樣本的各個個體的變量值;

用H，力，…，YN表示第2層各個個體的變量值，用門，丁2,…，加表示第2

層樣本的各個個體的變量值，則：

第1層的總體平均數和樣本平均數分別為刀==

第2層的總體平均數和樣本平均數分別為y=…+川=

11

y/Vy守_y1+y2+-+yn_yn..

總體平均數和樣本平均數分別為W=招兌笆苴齒=

M+Nm+n

在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數不估計總體平均數W,即

EM_.N_m_,n__

W=-M-+-NxH--M-+-NJv=m-+--nx+m+n，y=o）

6、獲取數據的基本途徑

獲取數據的基本適用類型|注意問題

途徑

通過調查獲取數對于有限總體問題，一般通過要充分有效地利用背景信息

據抽樣調查或普查的方法獲取數選擇或創建更好的抽樣方法，

據并有效地避免抽樣過程中的

人為錯誤

通過試驗獲取數沒有現存的數據可以查詢嚴格控制試驗環境，通過精心

據的設計安排試驗，以提高數據

質量

通過觀察獲取數自然現象借助專業測量設備通過長久

據的持續觀察獲取數據

通過查詢獲得數眾多專家研究過，其收集的數必須根據問題背景知識“清

據據有所存儲洗”數據去偽存真

[9.21用樣本估計總體

1、畫頻率分布直方圖的步驟(畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的

比值，而不是頻率)

(1)求極差：極差是一組數據中最大值與最小值的差.

(2)決定組距與組數：當樣本容量不超過100時，常分成5?12組，一般取等

長組距，并且組距應力求“取整

(3)將數據分組.

(4)列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數累計、頻數、頻率.其中頻數合

計應是樣本容量，頻率合計是1.

(5)畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數據，縱