第三節直線、平面平行的判定與性質考試要求：1．了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系的定義，歸納出有關平行的性質定理和判定定理，并加以證明．2．掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用．自查自測知識點一直線與平面平行的判定定理和性質定理判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)若一條直線與一個平面沒有公共點，則這條直線與這個平面平行．(√)(2)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線和這個平面平行．(×)(3)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的無數條直線．(√)(4)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內的所有直線．(×)核心回扣1．判定定理：文字語言：如果平面外一條直線與平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．符號表示：a?α，b?α，a∥b?a∥α.2．性質定理：文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．符號表示：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b．注意點：應用判定定理時，要注意“內”“外”“平行”三個條件必須同時具備，缺一不可．應用性質定理時要體會輔助面的作用.自查自測知識點二平面與平面平行的判定定理和性質定理1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)如果一個平面內的兩條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．(×)(2)若直線a∥平面α，a∥平面β，則α∥β.(×)(3)如果兩個平面平行，那么這兩個平面內的所有直線都相互平行．(×)2．如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.平行四邊形解析：因為平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．核心回扣1．判定定理：如果兩個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．符號表示：a，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β.2．性質定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．符號表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.注意點：判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：(1)平面α內兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P；(2)兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.【常用結論】1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.4．若α∥β，a?α，則a∥β.5．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．6．如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行．應用1(多選題)下列命題中，真命題為()A．若α，β都垂直于平面γ，則α∥βB．若α，β都平行于平面γ，則α∥βC．若α，β都垂直于直線l，則α∥βD．若l，m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，則α∥βBCD解析：易知在正方體中相鄰兩個側面都垂直于底面，故A錯誤．由平面平行的傳遞性可知B正確．由常用結論1可知C正確．過直線l作平面γ與α，β分別交于l1，l2，過直線m作平面δ與α，β分別交于m1，m2(圖略)．因為l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2.因為l1?β，l2?β，所以l1∥β.同理m1∥β，又l，m是兩條異面直線，所以l1，m1相交，且l1?α，m1?α，所以α∥β，故D正確．應用2如圖，已知平面α∥平面β，點P是平面α，β外一點，且直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和點C，D.若PA＝4，AB＝5，PC＝3，則PD＝________.274解析：由題意可知，平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD.因為平面α∥平面β，所以AC∥BD，因此有PAPB＝PCPD，所以4直線、平面平行的基本問題1．(多選題)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題正確的是()A．a∥c，b∥c?a∥b B．a∥β，b∥β?a∥bC．a∥c，c∥α?a∥α D．a?α，b?α，a∥b?a∥αAD解析：由平行的傳遞性知a∥b，故A正確；若a∥β，b∥β，則a，b共面或異面，故B錯誤；若a∥c，c∥α，則a∥α或a?α，故C錯誤；由a?α，b?α，a∥b，根據線面平行的判定定理，可得a∥α，故D正確．2．(2024·煙臺模擬)設α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件是()A．α內有無數條直線與β平行B．α，β垂直于同一個平面C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一條直線D解析：α內有無數條直線與β平行推不出α∥β，故A不符合題意；由α，β垂直于同一個平面，可得α∥β或α與β相交，故B不符合題意；由α，β平行于同一條直線，可得α∥β或α與β相交，故C不符合題意；α，β垂直于同一條直線?α∥β，故D符合題意．3．已知三條不重合的直線l，m，n和三個不重合的平面α，β，γ，現給出下列三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數為()A．3 B．2C．1 D．0C解析：兩條異面直線分別在兩個平面內，這兩個平面可能平行，也可能相交，故①錯誤；兩個平行平面內分別有一條直線，這兩條直線的位置關系是平行或異面，故②錯誤；因為l∥γ，l?α，α∩γ＝n，所以由線面平行的性質定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正確．因此真命題的個數為1.解決有關平行關系的注意點(1)判定定理與性質定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件“線在面外”易忽視．(2)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷．(3)可舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確．直線、平面平行的判定與性質【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面PAD為正三角形，M為線段PD上一點，N為BC的中點．(1)當M為PD的中點時，求證：MN∥平面PAB；(2)當PB∥平面AMN時，求出點M的位置，并說明理由．(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面PAD為正三角形，取AP的中點E，連接EM，EB，如圖．在△PAD中，M，E分別為PD，AP的中點，所以EM∥AD，EM＝12AD在平行四邊形ABCD中，N為BC的中點，所以BN∥AD，BN＝12AD所以BN∥ME，BN＝ME，所以四邊形BNME為平行四邊形，所以MN∥BE.又因為MN?平面PAB，BE?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解：連接BD交AN于點O，連接OM，如圖．因為PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN＝OM，PB?平面PBD，所以PB∥OM，故PMMD即當PB∥平面AMN時，點M為線段PD上靠近點P的三等分點．解決線面平行問題的關鍵點(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關鍵是找出平面內與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內是否存在直線與已知直線平行，若不存在，則需作出該直線，常考慮作三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一個平面找其交線．(2)線面平行的性質定理是空間圖形中產生線線平行的主要途徑，常用于作截面．1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點E，F分別是棱A1C1，BC的中點，下列結論不正確的是()A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1D解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1?平面A1ABB1，CC1?平面A1ABB1，所以CC1∥平面A1ABB1，故A正確．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，且AF?平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，故B正確．如圖，取A1B1的中點N，連接BN，NE，因為E是棱A1C1的中點，所以NE∥C1B1，且NE＝12C1B1.又因為F是棱BC的中點，所以BF＝12C1B1，BF∥C1B1，所以BF∥NE，BF＝NE，所以四邊形BFEN是平行四邊形，所以EF∥BN.因為BN?平面A1ABB1，EF?平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB1，故C因為EC1∥AC，且EC1≠AC，所以AE與CC1相交，設交點為M.因為CM?平面B1BCC1，所以AE與平面B1BCC1不平行，故D錯誤．2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________，平面A1B1C1D1內與EF平行的線段是________.2A1C1解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22.因為E為AD的中點，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為CD的中點，所以EF＝12因為AC∥A1C1，所以EF∥A1C1.面面平行的判定與性質及平行關系的綜合問題考向1面面平行的判定與性質【例2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．(1)求證：BC∥GH；(2)若E，F，G分別為AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.因為平面BCHG∩平面ABC＝BC，平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，所以BC∥GH.(2)因為E，F分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.[變式]本例(2)中，若把“E，F，G分別為AB，AC，A1B1的中點”改為“D1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖，連接A1C交AC1于點M，連接MD.因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點．因為D為BC的中點，所以A1B∥DM.因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.由三棱柱的性質知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.因為DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)．(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)．考向2平行關系的綜合問題【例3】如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，截面是平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．(1)證明：因為四邊形EFGH是平行四邊形，所以EF∥HG.因為HG?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.因為EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB.因為AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可證CD∥平面EFGH.(2)解：設EF＝x(0<x<4)．因為EF∥AB，FG∥CD，所以CFCB＝x4，FGCD＝因為四邊形EFGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH的周長C＝2x+6－32因為0<x<4，所以8<C<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12)．在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”．1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若點D，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1，則ADDC＝1解析：如圖，連接A1B交AB1于點O，連接OD1.因為平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O.所以A1D1D1C1＝A1OOB＝1，即D1為線段A1C1的中點，同理可得AD2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點．(1)求證：平面MNQ∥平面PCD.(2)在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD(1)證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC.因為NQ?平面PCD，CD?平面PCD，MQ?平面PCD，PC?平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD.因為NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD.(2)解：存在點E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝如圖，取PD的中點E，連接AE，NE，CE.因為N，E，M分別是AP，PD，BC的中點，所以NE∥AD，NE＝12AD因為BC∥AD，BC＝AD，所以NE∥MC，NE＝MC，所以四邊形MCEN是平行四邊形，所以MN∥CE.因為MN?平面ACE，CE?平面ACE，所以MN∥平面ACE，且PEPD課時質量評價(三十四)1．如圖，已知P為四邊形ABCD外一點，E，F分別為BD，PD上的點．若EF∥平面PBC，則()A．EF∥PA B．EF∥PBC．EF∥PC D．以上均有可能B解析：由線面平行的性質定理可知EF∥PB.2．(多選題)已知α，β是兩個不重合的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的是()A．若l∥m，l∥β，則m∥β或m?βB．若α∥β，m?α，l?β，則m∥lC．若m⊥α，l⊥m，則l∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝l，則m∥lAD解析：若l∥m，l∥β，則m∥β或m?β，故A正確；若α∥β，m?α，l?β，則m∥l或l，m異面，故B錯誤；若m⊥α，l⊥m，則l∥α或l?α，故C錯誤；由線面平行的性質定理知D正確．3．(多選題)已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的兩條直線AC，BD分別交α于點A，B，交β于點C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為()A．20 B．16C．12 D．4AD解析：因為過點P的兩條直線AC，BD確定的平面交α于AB，交β于CD，且平面α∥平面β，所以AB∥CD.分兩種情況：當點P在兩平行平面之外時，PC＝AC＋PA＝15，PAPC＝ABCD，所以當點P在兩平行平面之間時，PC＝AC－PA＝3，APPC＝ABCD4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點E是線段AB的中點，點F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點H，則線段CH的長度為()A．2 B．2C．22 D．23C解析：因為直線PD與平面CEF交于點H，所以平面CEF∩平面PCD＝CH.因為EF∥平面PCD，所以EF∥CH.過點H作HM∥PA交AD于點M，連接CM，如圖所示．因為EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，所以平面AEF∥平面CHM.因為平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，所以AE∥CM.又BC∥AM，所以四邊形ABCM為平行四邊形，所以AM＝BC＝2.又AD＝4，所以M是AD的中點，則H為PD的中點，所以CH＝CM25．如圖，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB，則四邊形EFGH的形狀為________.矩形解析：因為CD∥平面EFGH，CD?平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．又因為CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四邊形EFGH為矩形．6．如圖，正方形ABCD和直角梯形ABEF不在同一個平面內，AF∥BE，∠ABE＝90?，AF＝1，BE＝2，P是BE的中點，則平面DEF與平面PAC的位置關系為________.平行解析：設AC∩BD＝O，連接OP，如圖．因為O，P分別為BD，BE的中點，所以OP∥DE.因為DE?平面PAC，OP?平面PAC，所以DE∥平面PAC.因為P是BE的中點，BE＝2，所以PE＝AF＝1.因為AF∥BE，所以四邊形APEF是平行四邊形，所以AP∥EF.因為EF?平面PAC，AP?平面PAC，所以EF∥平面PAC．因為DE?平面DEF，EF?平面DEF，DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PAC.7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，CD，SC的中點，求證：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因為E，G分別是BC，SC的中點，所以EG∥SB.因為SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以EG∥平面BDD1B1.(2)如圖，連接SD，因為F，G分別是CD，SC的中點，所以FG∥SD.因為SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.由(1)知EG∥平面BDD1B1，又因為EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.8．(2024·南寧模擬)在三棱錐D-ABC中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，以下與直線MN平行的是()A．直線CD B．平面ABDC．平面ACD D．平面BCDB解析：如圖，取CD的中點為E，連接AE，BE.由M，N分別是△ACD和△BCD的重心，可得AMME＝21，BNNE＝2因為CD與AB不平行，故A錯誤．因為MN∥AB，MN?平面ABD，AB?平面ABD，所以MN∥平面ABD，故B正確．因為M∈平面ACD，N?平面ACD，所以MN與平面ACD不平行，故C錯誤．因為N∈平面BCD，M?平面BCD，所以MN與平面BCD不平行，故D錯誤．9．如圖，已知點E，F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有()A．0條 B．1條C．2條 D．無數條D解析：如圖，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E分別交平面KSHG于點N，M，連接MN.由面面平行的性質得MN∥平面ABCD.由于平面KSHG有無數多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數多條．10．(多選題)如圖，這是四棱錐P-ABCD的平面展開圖，其中四邊形ABCD是正方形，E，F，G，H分別是PA，PD，PC，PB的中點，則在原四棱錐中，下列結論中正確的有()A．平面EFGH∥平面ABCDB．EF∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．FH∥平面BDGACD解析：將平面展開圖還原成四棱錐，如圖．顯然B不正確．因為F，H分別為PD，PB的中點，所以FH∥BD，BD?平面BDG，FH?平面BDG，所以FH∥平面BDG，故D正確．因為E，F分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD.因為BC∥AD，所以EF∥BC.因為BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正確．由EF∥AD，AD?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理可得EH∥平面ABCD，而EH∩EF＝E，EH，EF?平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正確．11．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點M，N在正方體的表面上運動，分別滿足：AM＝2，AN∥平面BDC1.設點M，N的運動軌跡的長度分別為m，n，則mn＝____2π4解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1因為點M，N在正方體的表面上運動，AM＝2，所以點M的軌跡為半徑為2的球A與正方體表面的交線，即3個半徑為2的四分之一圓弧，故m＝3×14×2π×2＝在正方體中，AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，AD1，AB1?平面AB1D1，DC1，BC1?平面BDC1，故平面AB1D1∥平面BDC1.當點N在△AB1D1的三條邊上運動時，