考點七解直角三角形及其應用知識點整合一、銳角三角函數的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.二、特殊角的三角函數值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科學選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數關系要記牢；已知銳角求銳角，互余關系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.四、解直角三角形的應用1．仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．學-科網3．方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.學科_網5．解直角三角形實際應用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；（2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；（4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．考向一求三角函數的值（1）分清直角三角形中的斜邊與直角邊.（2）正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k（有時也可設為1），在求三角函數值的過程中約去k．（3）正確應用勾股定理求第三邊長．（4）應用銳角三角函數定義，求出三角函數值．典例引領1．在中，若三個內角，則等于（）A． B． C． D．2．的值為（

）A． B． C． D．3．如圖是一個的方陣，其中每行、每列的兩數和相等，則a可以是（

）

A． B． C．0 D．4．的相反數是（）A．1 B． C． D．5．角的正弦值為（

）A． B． C． D．變式拓展6．如圖，在中，已知，，，則．

7．如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長相同，那么的正弦值為．

8．在平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的點的坐標是．9．和均為等腰直角三角形，按如圖所示的方式放置，的頂點與斜邊的中點重合，邊與邊相交于點，若，，，則的面積為．10．在等腰中，，高，則．11．在中，，則為三角形．考向二解直角三角形的應用解此類題的一般方法：（1）構造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關系；（3）利用特殊角的三角函數值解答問題.典例引領1．如圖，為了測量斜坡上的建筑物的高度，一個數學興趣小組，站在山腳C點處測得建筑物底部B點的仰角為，然后沿水平方向走了6米到達點D，再沿坡度為的斜坡走了26米到達點E，繼續向前走了25米到達了一個比較好的測量點F，在F點測得建筑物底部B的仰角為，建筑物頂部A的仰角為（測量員身高與測角儀高度均忽略不計，且A、B、C、D、E、F在同一平面內）．(1)求點F到山腳C的水平距離；(2)求建筑物的的高度；（精確到，參考數據，，，，）2．如圖，大廳的天花板上掛有一盞吊燈，測量人員從點處測得吊燈頂端的仰角為，吊燈底端的仰角為，從點沿水平方向前進6米到達點，測得吊燈底端的仰角為，求吊燈的長度．(結果保留根號，參考數據：，，）

3．如圖，為了測得某建筑物的高度，在C處用高為1米的測角儀，測得該建筑物頂端A的仰角為，再向建筑物方向前進80米，又測得該建筑物頂端A的仰角為．求該建筑物的高度．（結果保留根號）4．七中育才學校正在舉行運動會，某同學想用無人機記錄下運動會的盛況，如圖，當無人機到達離地面高度為米的A處時，儀器顯示正前方的教學樓頂部B的仰角是，底部C的俯角是，求教學樓的高度．（參考數據：，，，，結果精確到米）

5．鶴壁市新世紀廣場，是鶴壁市為了打造“火焰般的活力，鉆石般的晶瑩，田園般的美麗”的城市品牌，聘請清華大學設計建造的高起點、高品味的大型綜合性廣場．其中，鐘塔是廣場的主題，也是鶴壁市新區城市的標志性建筑，他默默的陪伴著鶴壁人民走過了20多年的歲月．如圖所示，小明在鐘塔一側的水平面上的處測得塔頂的仰角為，在某建筑物頂部處，又測得塔頂的仰角為，已知建筑物的總高度為米，水平距離的長度為10米，試求鐘塔的高度．（結果精確到1米，參考數據：）變式拓展6．如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成角的樓梯和一段水平平臺構成．已知天橋高度米，引橋水平跨度米．（參考數據：?。?1)求水平平臺的長度；(2)若與地面垂直的平臺立柱的高度為3米，求兩段樓梯的長度之比．7．如圖，我國某邊防哨所樹立了“祖國在我心中”建筑物，它的橫截面為四邊形．其中，，建筑物頂上有一旗桿，士兵小明站在D處，由E點觀察到旗桿頂部A的仰角為，底部B的仰角為，已知旗桿米，米．求建筑物的高度（結果精確到0.1米，參考數據：，）．8．如圖，一艘漁船位于小島M的北偏東方向、距離小島180海里的A處，漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達位于小島南偏東方向的B處．(1)求漁船從A處到B處的航行過程中，與小島M之間的最小距離（結果用根號表示）；(2)求的長（結果精確到1海里，參考數據：，，）．9．如圖，小瑩在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識對某小區居民樓的高度進行測量，先測得居民樓與之間的距離為，后站在M點處測得居民樓的頂端D的仰角為，居民樓的頂端B的仰角為，已知居民樓的高度為，小瑩的觀測點N距地面．求居民樓的高度（精確到）．（參考數據：，，）．10．2021年5月7日，“雪龍2”船返回上海國內基地碼頭，標志著中國第37次南極考察圓滿完成．已知“雪龍2”船上午9時在B市的北偏西方向上的點A處，且在C島的南偏西方向上，已知B市在C島的南偏西方向上，且距離C島116km．此時，“雪龍2”船沿著方向以24km/h的速度航行．請你計算“雪龍2”船大約幾點鐘到達C島？（參考數據：，，，，，）

11．一