資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題12概率易錯點一：互斥與對立混淆致誤（隨機事件的概率）Ⅰ：首先明確什么是隨機試驗我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母SKIPIF1<0表示．隨機試驗的要求：（1）試驗可以在相同條件下重復進行；（2）試驗的所有可能結果是明確的，結果不止一種；（3）每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一種，但事先不能確定出現哪一種結果．Ⅱ：隨機事件的前提樣本空間我們把隨機試驗SKIPIF1<0的每個可能出現的結果稱為樣本點，全體樣本集合稱為試驗SKIPIF1<0的樣本空間，一般地，用SKIPIF1<0表示樣本空間，用SKIPIF1<0表示樣本點，如果一個隨機試驗有SKIPIF1<0個可能結果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，則稱樣本空間SKIPIF1<0為有限樣本空間．Ⅲ：兩類事件：隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間SKIPIF1<0的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當且僅當SKIPIF1<0中某個樣本點出現時，稱為事件SKIPIF1<0發生．（2）SKIPIF1<0作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以SKIPIF1<0總會發生，我們稱SKIPIF1<0為必然事件．（3）在每次試驗中都不可能發生，我們稱為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為隨機事件的確定事件．注意：事件的運算可以用韋恩圖可以破解Ⅳ：互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0不能同時發生，即SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥，可用韋恩圖表示如下：如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0．，…，SKIPIF1<0彼此互斥．（2）對立事件：若事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0在任何一次實驗中有且只有一個發生，即SKIPIF1<0不發生，SKIPIF1<0則稱事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0互為對立事件，事件SKIPIF1<0的對立事件記為SKIPIF1<0．（3）互斥事件與對立事件的關系（重點）①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．Ⅴ：概率與頻率（1）頻率：在SKIPIF1<0次重復試驗中，事件SKIPIF1<0發生的次數SKIPIF1<0稱為事件SKIPIF1<0發生的頻數，頻數SKIPIF1<0與總次數SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0，叫做事件SKIPIF1<0發生的頻率．（2）概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件SKIPIF1<0發生的頻率SKIPIF1<0總是接近于某個常數，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數叫做事件SKIPIF1<0的概率，記作SKIPIF1<0．（3）概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件SKIPIF1<0，由于事件SKIPIF1<0發生的頻率SKIPIF1<0隨著試驗次數的增加穩定于概率SKIPIF1<0，因此可以用頻率SKIPIF1<0來估計概率SKIPIF1<0．隨機事件的概率對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件SKIPIF1<0的概率用SKIPIF1<0表示.解題步驟如下：第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件SKIPIF1<0；第三步：分別求出基本事件的個數SKIPIF1<0與所求事件SKIPIF1<0中所包含的基本事件個數SKIPIF1<0；第四步：利用公式SKIPIF1<0求出事件SKIPIF1<0的概率．易錯提醒：對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；第三，兩個事件互斥是在試驗的結果不能同時出現來確定的．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發生的兩個事件，集合A的對立事件記作SKIPIF1<0．分類討論思想是解決互斥事件中有一個發生的概率的一個重要的指導思想例、判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數都是從1~10）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”．解析：（1）是互斥事件，不是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事件．（2）既是互斥事件，又是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發生的，但其中必有一個發生，因為撲克牌不是紅色就是黑色，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．（3）不是互斥事件，也不是對立事件．原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生，如抽的點數為10．因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件．變式1．從1，2，3，4，5，6這六個數中任取三個數，下列兩個事件為對立事件的是（

）A．“至多有一個是偶數”和“至多有兩個是偶數”B．“恰有一個是奇數”和“恰有一個是偶數”C．“至少有一個是奇數”和“全都是偶數”D．“恰有一個是奇數”和“至多有一個是偶數”解：從1，2，3，4，5，6這六個數中任取三個數，可能有SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，“至多有一個是偶數”包括SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，“至多有兩個是偶數”包括SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，即“至多有一個是偶數”包含于“至多有兩個是偶數”，故A錯誤；“恰有一個是奇數”即SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，“恰有一個是偶數”即SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，所以“恰有一個是奇數”和“恰有一個是偶數”是互斥但不對立事件，故B錯誤；同理可得“恰有一個是奇數”和“至多有一個是偶數”是互斥但不對立事件，故D錯誤；“至少有一個是奇數”包括SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，“全都是偶數”即SKIPIF1<0個奇數和SKIPIF1<0個偶數，所以“至少有一個是奇數”和“全都是偶數”為對立事件，故C正確；故選：C變式2．設A，B是兩個隨機事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為A，B的對立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則A，B相互獨立；③若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則A，B相互獨立；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則A，B相互獨立．其中所有真命題的序號為（

）A．① B．② C．①②③ D．②③④【詳解】對于①，因為A，B為互斥事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以①正確，對于②，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以A，B相互獨立，所以②正確，對于③，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0相互獨立，所以A，B相互獨立，所以③正確，對于④，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A，B不相互獨立，所以④錯誤，故選：C變式3．（多選題）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝SKIPIF1<0C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝SKIPIF1<0.故B正確；對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.故選：ABC.1．某中學運動會上有一個項目的比賽規則是：比賽分兩個階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對一進行比賽，共進行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對二進行比賽，共進行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結束．若甲、乙兩個班進行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是SKIPIF1<0，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是SKIPIF1<0，每局比賽的結果互不影響，則甲班經過7局比賽獲勝的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】可分類分別求出甲班在第一階段獲勝的局數對應的概率，最后各種情況概率相加即可求解.【詳解】按照甲班在第一階段獲勝的局數，分類討論如下：（1）若甲班在第一階段獲勝的局數為SKIPIF1<0，則甲班經過SKIPIF1<0局比賽獲勝的概率SKIPIF1<0．（2）若甲班在第一階段獲勝的局數為SKIPIF1<0，則甲班經過SKIPIF1<0局比賽獲勝的概率SKIPIF1<0．（3）若甲班在第一階段獲勝的局數為SKIPIF1<0，則甲班經過SKIPIF1<0局比賽獲勝的概率SKIPIF1<0．（4）若甲班在第一階段獲勝的局數為SKIPIF1<0，則甲班經過SKIPIF1<0局比賽獲勝的概率SKIPIF1<0．所以所求概率SKIPIF1<0，故A項正確.故選：A.2．已知SKIPIF1<0為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BD【分析】對于A，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；對于B，根據互斥事件的概率加法公式即可判斷；對于C，根據相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式即可判斷；對于D，根據條件概率以及全概率公式即可判斷．【詳解】選項A：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項A不正確；選項B：若SKIPIF1<0，則A，B互斥，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，選項B正確；選項C：由SKIPIF1<0得事件A，B相互獨立，所以事件SKIPIF1<0也相互獨立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，選項C不正確；選項D：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，選項D正確．故選：BD.【點睛】方法點睛：條件概率中復雜事件的求解，可以靈活運用條件概率的相關性質，轉化為彼此互斥的事件或對立的事件的概率求解．①已知事件A，B，C，如果B和C是兩個互斥事件，則SKIPIF1<0；②已知事件A，B，則SKIPIF1<0；③事件A與B相互獨立時，有SKIPIF1<0．3．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以SKIPIF1<0表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨立 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互斥【答案】BD【分析】根據已知得出SKIPIF1<0，然后即可根據概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.對于A項，由全概率公式可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A項錯誤；對于B項，根據已知，即可計算SKIPIF1<0，故B項正確；對于C項，由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C項錯誤；對于D項，由已知可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互斥，故D項正確.故選：BD.4．已知SKIPIF1<0為隨機事件，則下列表述中不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據概率的性質及事件的運算關系，結合獨立事件、條件概率公式判斷各項的正誤.【詳解】僅當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立時，SKIPIF1<0成立，故A不正確；當SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個互斥事件時SKIPIF1<0才成立，故B不正確；SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，故D不正確．故選：ABD5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個學校支教，每人分配到一個學校且每個學校至少分配一人.設事件SKIPIF1<0：“甲分配到SKIPIF1<0學?！保皇录KIPIF1<0：“乙分配到SKIPIF1<0學?！保瑒t（

）A．事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互斥 B．SKIPIF1<0C．事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互獨立事件的定義判斷AC；利用古典概率計算判斷B；計算條件概率判斷D作答.【詳解】對于A，甲分配到SKIPIF1<0學校的事件與乙分配到SKIPIF1<0學校的事件可以同時發生，即事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不互斥，A錯誤；對于B，甲分配到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個學校是等可能的，則SKIPIF1<0，B正確；對于C，由選項B知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，因此事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互不獨立，C錯誤；對于D，由選項BC知，SKIPIF1<0，D正確.故選：BD6．為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種商品的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙兌換SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種商品的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且他們兌換何種商品相互獨立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記SKIPIF1<0為兩人兌換商品后的積分總余額，求SKIPIF1<0的分布列與期望【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，SKIPIF1<0.【分析】（1）應用獨立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）根據題設確定SKIPIF1<0的可能取值并確定對應概率，即可寫出分布列，進而求期望.【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為SKIPIF1<0；（2）由題意，兌換SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則SKIPIF1<0的取值可能為0，100，200，300，400，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00100200300400SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經成功舉辦了20屆．中國女子國家足球隊在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰績每每給國人帶來拼搏奮進的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊平均分成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個小組．(1)求甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率；(2)求甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）古典概型求事件概率，將所有基本事件均列出，然后將符合題意的基本事件列出，即可求符合題意的事件的概率；（2）可以直接求符合題意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，間接求符合題意的事件概率.【詳解】（1）當甲球隊分到A組時，乙、丙兩支球隊分到的小組有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共9種情況．同理，當甲球隊分到B組或C組時，乙、丙兩支球隊分到的小組也分別有9種情況，故甲、乙、丙三支球隊的分組情況共有SKIPIF1<0（種）．又因為甲、乙、丙三支球隊分到同一小組有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0共3種情況，所以甲、乙、丙三支球隊分到同一小組的概率為SKIPIF1<0．（2）方法一

當甲、乙兩支球隊都分到A組而丙球隊分到B組或C組時有2種情況．同理，當甲、乙兩支球隊都分到B組或C組而丙球隊不與它們一組時也分別有2種情況．故甲、乙兩支球隊同組，而丙球隊不與它們一組的概率為SKIPIF1<0．同理，甲、丙兩支球隊同組，而乙球隊不與它們一組的概率也為SKIPIF1<0，乙、丙兩支球隊同組，而甲球隊不與它們一組的概率也為SKIPIF1<0．又因為上述三種情況互斥，所以甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率為SKIPIF1<0．方法二

甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的對立事件是甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組和甲、乙、丙三支球隊都分到同一小組．甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組的情況有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6種，所以甲、乙、丙三支球隊都分到不同小組的概率為SKIPIF1<0．所以甲、乙、丙三支球隊中恰有兩支分到同一組的概率為SKIPIF1<0．8．某娛樂節目闖關游戲共有三關，游戲規則如下，選手依次參加第一，二，三關，闖關成功可獲得的獎金分別為1000元、2000元、3000元.獎金可累加，若某關闖關成功，選手可以選擇結束闖關游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續闖關，若有任何一關闖關失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關游戲結束.選手小劉參加闖關游戲，已知他第一，二，三關闖關成功的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第一關闖關成功選擇繼續闖關的概率為SKIPIF1<0，第二關闖關成功選擇繼續闖關的概率為SKIPIF1<0，且每關闖關成功與否互不影響.(1)求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；(2)設小劉所得獎金為X，求隨機變量X的分布列及數學期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，數學期望為SKIPIF1<0元.【分析】（1）利用獨立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率；（2）首先確定可能SKIPIF1<0，應用乘法公式、加法公式求對應概率，寫出分布列，進而求期望即可.【詳解】（1）由題意，要使小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零，選擇闖第二關且失敗，或選擇闖第二關且成功，又選擇闖第三關且失敗，所以小劉第一關闖關成功，但所得總獎金為零的概率SKIPIF1<0.（2）由題意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列如下：SKIPIF1<00100030006000SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0元.9．甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為SKIPIF1<0，乙、丙比賽乙勝概率為SKIPIF1<0，丙、甲比賽丙勝概率為SKIPIF1<0，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據獨立事件的概率公式進行求解即可；（2）分析比賽情況，根據和事件的概率公式進行求解即可.【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局只需討論前兩局的勝負情況，可分為：甲勝乙、丙勝甲；乙勝甲，丙勝乙.設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互獨立，設比賽完3局時，甲、乙、丙各旁觀1局為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為SKIPIF1<0.（2）設甲、乙、丙第SKIPIF1<0局比賽獲勝分別為事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以，已知比賽進行5局后結束，甲獲得最終勝利的概率為SKIPIF1<0.10．某校為豐富教職工業余文化活動，在教師節活動中舉辦了“三神杯”比賽，現甲乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為SKIPIF1<0，且甲組最終獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0（每局比賽沒有平局）.(1)求SKIPIF1<0；(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球?【答案】(1)SKIPIF1<0(2)甲組應獲得21個籃球，乙獲得7個籃球比較合理.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式列式計算即可；（2）先求出在甲第一局獲勝的情況下，甲輸掉比賽的事件概率，即可求解.【詳解】（1）令事件SKIPIF1<0：甲組在第SKIPIF1<0局獲勝，SKIPIF1<0.甲組勝的概率為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸掉比賽事件為：甲組接下來的比賽中連輸兩場，所以在甲第一局獲勝的前提下，最終輸掉比賽的概率SKIPIF1<0，即甲獲勝的概率為SKIPIF1<0，故甲組、乙組應按照3：1的比例來分配比賽獎品，即甲組應獲得21個籃球，乙組獲得7個籃球比較合理.易錯點二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）古典概型（1）定義一般地，若試驗SKIPIF1<0具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設試驗SKIPIF1<0是古典概型，樣本空間SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0個樣本點，事件SKIPIF1<0包含其中的SKIPIF1<0個樣本點，則定義事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0.（3）概率的基本性質（1）對于任意事件SKIPIF1<0都有：SKIPIF1<0．（2）必然事件的概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；不可能事概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）概率的加法公式：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥，則SKIPIF1<0．推廣：一般地，若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0彼此互斥，則事件發生（即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中有一個發生）的概率等于這SKIPIF1<0個事件分別發生的概率之和，即：SKIPIF1<0．（4）對立事件的概率：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互為對立事件，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（5）概率的單調性：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（6）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一次隨機實驗中的兩個事件，則SKIPIF1<0．解題步驟如下：第一步：仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件SKIPIF1<0；第三步：分別求出基本事件的個數SKIPIF1<0與所求事件SKIPIF1<0中所包含的基本事件個數SKIPIF1<0；第四步：利用公式SKIPIF1<0求出事件SKIPIF1<0的概率．易錯提醒：在解決古典概型問題時要分清事件與基本事件，每個基本事件發生的概率都是相等的，而某個事件可能包含幾個基本事件，要注意區分，避免出錯.例、設袋中有4只白球和2只黑球，現從袋中無放回地摸出2只球．（1）求這2只球都是白球的概率；（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．解：我們不妨把4只白球標以1，2，3，4號，2只黑球標以5，6號，則基本事件有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，共30個．（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0共12個．所以SKIPIF1<0．（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0共16個，所以SKIPIF1<0．變式1：袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0解：由題意SKIPIF1<0．故選B．變式2：一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數為SKIPIF1<0，則隨機變量SKIPIF1<0的期望為_____________．解：連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0的可能值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.變式3：已知不透明的袋中裝有三個黑球（記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0）、兩個紅球（記為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0），從中不放回地依次隨機抽取兩球．(1)用集合的形式寫出試驗的樣本空間；(2)求抽到的兩個球都是黑球的概率．解：(1)試驗的樣本空間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)設事件SKIPIF1<0“抽到兩個黑球”，則對于不放回簡單隨機抽樣，SKIPIF1<0．因為樣本空間SKIPIF1<0中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型．因此SKIPIF1<0．所以抽到的兩個球都是黑球的概率為SKIPIF1<01．某學校舉辦作文比賽，共5個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出甲、乙隨機抽取一個主題的試驗含有的基本事件數，甲、乙抽到不同主題的事件含有的基本事件數，再利用古典概率公式計算即得.【詳解】依題意，甲、乙隨機抽取一個主題的試驗含有的基本事件數為SKIPIF1<0，甲、乙抽到不同主題的事件SKIPIF1<0含有的基本事件數為SKIPIF1<0，所以甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為SKIPIF1<0.故選：B2．書籍是人類進步的階梯，數學名著更是如此，《九章算術》《孫子算經》《周髀算經》《海島算經》是我國古代數學領域影響深遠的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數學書”，代表了文藝復興之前歐洲數學的最高成就，這些著作對后世的數學發展有著深遠而廣泛的影響．現從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數學名著的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】本題以中外數學名著為背景，根據組合知識、古典概型的概率求解.【詳解】從七本名著中任選三本的所有情況有SKIPIF1<0（種），至少兩本是中國數學名著的情況有SKIPIF1<0（種），所以從這七本名著中任選三本，至少兩本是中國數學名著的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：C．3．“二十四節氣”是我國上古農耕文明的產物，農耕生產與大自然的節律息息相關，它是上古先民順應農時，通過觀察天體運行，認知一歲（年）中時候（時令）、氣候、物候等變化規律所形成的知識體系．“二十四節氣”對今天的農業生產仍有著重要的指導意義．傳統四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現從“二十四節氣”中隨機抽取兩個節氣，則這兩個節氣恰在同一季的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用組合數公式，計算出“二十四節氣”中隨機抽取兩個節氣共有的情況數及抽取的兩個節氣恰在同一季的情況數，利于古典概型概率計算公式進行計算即可.【詳解】從“二十四節氣”中隨機抽取兩個節氣共有SKIPIF1<0（種）情況，抽取的兩個節氣恰在同一季有SKIPIF1<0（種）情況，所以這兩個節氣恰在同一季的概率為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．4．某大學為了了解學生課外圖書閱讀量的情況，從大二學生中抽取50名，統計他們今年上半年閱讀的書籍數量，發現讀書不低于6本的人數占SKIPIF1<0，不低于8本的人數占SKIPIF1<0.現從讀書不低于6本的學生中隨機地選取2名進行座談，則這2名學生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據題意求得讀書本數對應的學生人數，再利用列舉法，結合古典概型的概率公式即可得解.【詳解】讀書低于8本且不低于6本的人數為SKIPIF1<0，分別記作SKIPIF1<0，不低于8本的人數為SKIPIF1<0，分別記作SKIPIF1<0，則從中選出2名學生的基本事件為：SKIPIF1<0，共15件，其中1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的基本事件有SKIPIF1<0，共8件，則所求概率為SKIPIF1<0.故選：B.5．某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子，若每胎只有一個孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個孩子中有男有女”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】利用對立事件性質和列舉法求解古典概型概率問題.【分析】由題意可知，所有不同情況的總數為SKIPIF1<0，A的對立事件SKIPIF1<0為“3個孩子全是男孩或者全是女孩”，有2種情況，故SKIPIF1<0．故選：D．6．某中學團委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯潱e行了以“弘‘五四’精神，揚青春風采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現從這6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據題意可列舉出從6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演的所有組合情況，再挑選出符合題意的情況，利用概率計算公式即可得其概率為SKIPIF1<0.【詳解】設初中部的2位主持人分別為SKIPIF1<0，高中部的4位主持人分別為1，2，3，4，則從這6位主持人中隨機選2位，共有15種不同的選法，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8種不同的選法，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求概率為SKIPIF1<0，故選：D．7．先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為x，y，設事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0”，事件SKIPIF1<0“SKIPIF1<0為奇數”，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立【答案】ACD【分析】根據古典概型概率公式計算概率判斷AB，根據相互獨立事件的定義結合概率的求法判斷CD.【詳解】先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為x，y，則基本事件總數為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共36種情形，滿足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，共4種情形，其概率SKIPIF1<0，故A正確；滿足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，共2種情形，其概率SKIPIF1<0，B不正確；滿足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共18種情形，其概率SKIPIF1<0，滿足事件SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0共2種情形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立，C正確；滿足事件SKIPIF1<0的只有SKIPIF1<0一種情形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨立，D正確.故選：ACD.8．某公司為了推廣旗下的某款SKIPIF1<0，在2024年春節來臨之前，推出了集“?？ā钡锚剟畹幕顒?，其中“?？ā庇?種，分別是“福到”“財到”“喜到”“緣到”“運到”．規則如下：①通過登錄這款SKIPIF1<0或推薦新用戶下載并使用這款SKIPIF1<0可獲得若干抽獎次數；②每次抽獎可獲得一張“福卡”；③5種“?？ā笔窍到y隨機分配的；④用戶集齊5種“?？ā焙?，便可獲得SKIPIF1<0提供的獎勵；⑤集齊5種“福卡”后，用戶不再抽獎，活動結束；⑥用完所有抽獎機會，活動結束．現在甲參加了集“?？ā钡锚剟畹幕顒樱?1)已知甲已經集了其中的2種“福卡”，還有3次抽獎機會，求甲獲得獎勵的概率；(2)已知甲已經集了其中的3種“?？ā?，還有4次抽獎機會，記活動結束時，甲使用的抽獎次數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，數學期望為SKIPIF1<0【分析】（1）根據古典概率模型求解即可；（2）由題設知，SKIPIF1<0的所有可能取值為2，3，4，然后分別求出每種可能的取值，列出分布列，求得數學期望.【詳解】（1）記“甲獲得獎勵”為事件A，則SKIPIF1<0．（2）由題設知，SKIPIF1<0的所有可能取值為2，3，4，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0．9．某地區運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立.(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數為SKIPIF1<0，估計X的數學期望SKIPIF1<0.【答案】(1)甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率分別為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計算得解；（2）寫出SKIPIF1<0的可能取值，計算對應的概率，根據期望公式求解即可.【詳解】（1）甲運動員“破十”的概率為SKIPIF1<0，乙運動員“破十”的概率為SKIPIF1<0，丙運動員“破十”的概率為SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.10．某地區運動會上，有甲、乙兩位田徑運動員進入了男子SKIPIF1<0決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這兩位運動員近幾年的大賽SKIPIF1<0成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成績的中位數與平均數（平均數的結果保留3位小數）；(2)從乙的5次成績中任選3次，求恰有2次成績“破十”的概率.【答案】(1)中位數為SKIPIF1<0，平均數為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據中位數和平均數的計算公式即可求解；（2）列舉法求解即可.【詳解】（1）甲成績從小到大排列如下:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0甲成績的中位數為SKIPIF1<0，平均數為SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）乙的5次成績有3次“破十”，記為SKIPIF1<0，有2次沒“破十”，記為SKIPIF1<0，記恰有2次成績“破十”為事件SKIPIF1<0，則從乙的5次成績中任選3次的結果有：SKIPIF1<0共10種，其中滿足事件SKIPIF1<0的結果有SKIPIF1<0共6種，SKIPIF1<0，即恰有2次成績“破十”的概率為SKIPIF1<0.易錯點三：條件概率應用錯誤（條件概率）Ⅰ：條件概率一般地，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個事件，且SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為在事件SKIPIF1<0發生的條件下，事件SKIPIF1<0發生的條件概率．注意：（1）條件概率SKIPIF1<0中“SKIPIF1<0”后面就是條件；（2）若SKIPIF1<0，表示條件SKIPIF1<0不可能發生，此時用條件概率公式計算SKIPIF1<0就沒有意義了，所以條件概率計算必須在SKIPIF1<0的情況下進行．性質（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在SKIPIF1<0和1之間，即SKIPIF1<0．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為SKIPIF1<0．（3）如果SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互斥，則SKIPIF1<0．注意：（1）如果知道事件SKIPIF1<0發生會影響事件SKIPIF1<0發生的概率，那么SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0發生，在此條件下SKIPIF1<0發生，相當于SKIPIF1<0發生，要求SKIPIF1<0，相當于把SKIPIF1<0看作新的基本事件空間計算SKIPIF1<0發生的概率，即SKIPIF1<0．Ⅱ：相互獨立與條件概率的關系相互獨立事件的概念及性質（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，則意味著事件SKIPIF1<0的發生不影響事件SKIPIF1<0發生的概率．設SKIPIF1<0，根據條件概率的計算公式，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．由此我們可得：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個事件，若SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．我們稱上式為概率的乘法公式