滬教版（2024）七年級數學上冊第十一章整式的乘除11.2乘法公式第一課時

平方差公式目錄/CONTENTS新知探究情景導入學習目標課堂反饋分層練習課堂小結1.經歷平方差公式的探索及推導過程，掌握平方差公式的結構特征.（重點）2.靈活應用平方差公式進行計算和解決實際問題.（難點）學習目標多項式與多項式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn復習導入①(x

＋1)(x－1)；②(m

＋2)(m－2)；③(2m＋1)(2m－1)；④(5y

＋z)(5y－z).計算下列多項式的積，你能發現什么規律？算一算：看誰算得又快又準.想一想：這些計算結果有什么特點？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2新知探究平方差公式

概念歸納

滿足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接寫出運算結果．

課本例題

課本例題方法總結：應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式．1.下列式子中，可以用平方差公式計算的是(

)A．(x＋2)(2＋x)

B．(x＋y)(－x－y)C．(2x＋y)(y－2x) D．(2x－y)(x＋2y)C練一練(3)原式＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x4－1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x8－1)(x8＋1)＝x16－1.2.計算：(1)(5x2＋3y2)(5x2－3y2)；(2)(－2a＋b)(－2a－b)；(3)(x－1)(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)．【規范解答】(1)原式＝(5x2)2－(3y2)2＝25x4－9y4；(2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；

課堂練習

課堂練習1.

下列各式能用平方差公式計算的是(

B

)A.

(x－3)(3－x)B.

(－2x－1)(－2x＋1)B分層練習-基礎2.

乘積等于a2－b2的式子是(

C

)C.

(x－3)(2x＋3)D.

(－x－3)(x＋3)A.

(a＋b)(－a＋b)B.

(－a－b)(a－b)C.

(－a＋b)(－a－b)D.

以上都不對C3.

計算a2－(a＋1)(a－1)的結果是(

A

)A.

1B.

－1C.

2a2＋1D.

2a2－14.[新考法

整體代入法]已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，則2x2－4x＋3的值為(

)A.

13B.

3C.

－3D.

5AA5.

已知M＝2

0242，N＝2

023×2

025，則M與N的大小關系是(

A

)A.

M＞NB.

M＜NC.

M＝ND.

不能確定【解析】∵M＝2

0242，N＝2

023×2

025＝(2

024－1)(2

024＋

1)＝2

0242－1，∴M－N＝2

0242－(2

0242－1)＝1＞0，∴M＞N.

A6.

若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，則m，n的值分別為

?.－2，－3

8.

[整體思想2024·北京房山區二模]已知x2－x－1＝0，

求式子(x＋3)(x－3)＋x(x－2)的值.【解】(x＋3)(x－3)＋x(x－2)＝x2－9＋x2－2x＝2x2－2x－9＝2(x2－x)－9.∵x2－x－1＝0，∴x2－x＝1，∴原式＝2×1－9＝2－9＝－7.9.

若(4＋m2)(m＋2)(

)＝16－m4，則括號內應填入的代數式為(

B

)A.

m－2B.

2－mC.

2＋mD.

m－9B分層練習-鞏固10.

如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，那么a＋b的值為(

D

)A.

±8B.

－4C.

2D.

±2D11.

如圖，大正方形與小正方形的面積之差是30，則陰影部分的面積是(

A

)A.

15B.

20C.

30D.

35A

n3－4n

－80

【解析】4x2－36y2＝4(x2－9y2)＝4(x－3y)(x＋3y)＝4×4×(－5)＝－80.

2

【解題技巧】(1)用平方差公式簡算的前提是兩數和與兩數差的形式；(2)若沒有差的形式可添項運算，前提是添項之后必須保持原結果不變；(3)若出現連續加減的可考慮分組展開，以達到簡算的目的.15.

如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面積為M(陰影部分).(1)用含a，M的代數式表示A中能使用的面積

??；(2)若a＋b＝10，a－b＝5，求A比B多出的使用面積.a2－M

【解】A比B多出的使用面積為(a2－M)－(b2－M)＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝10×5＝50.答：A比B多出的使用面積為50.16.

[2024石家莊橋西區質檢]發現：若兩個已知正整數之差為奇數，則它們的平方差為奇數.若兩個已知正整數之差為偶數，則它們的平方差為偶數.驗證：如(2＋3)2－22＝

，

(3＋4)2－32＝

.

探究：設“發現”中的兩個已知正整數為n，n＋m

(兩數之差為m)，請說明“發現”中的結論的正確性.21

40

【解】探究：(n＋m)2－n2＝(n＋m＋n)(n＋m－n)＝m(2n＋m).當m為奇數時，因為2n為偶數，所以2n＋m為奇數，所以m(2n＋m)為奇數；當m為偶數時，因為2n為偶數，所以2n＋m為偶數，所以m(2n＋m)為偶數.17.

如圖①，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形.圖②是將圖①中的陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個長方形，面積是

；如圖①，陰影部分的面積是