數列第六章第四節數列求和考點高考試題考查內容核心素養數列求和

2017·全國卷Ⅰ·T12·5分等比數列求和，不等式的應用數學運算邏輯推理2016·全國卷Ⅱ·T17·12分數列通項及前n項和

2015·全國卷Ⅱ·T16·5分等差數列的定義，通項公式及前n項和數學運算2015·全國卷Ⅰ·T17·12分等差數列的定義，通項公式及前n項和命題分析本節內容一直是高考的熱點，尤其是等差、等比數列的前n項和公式，錯位相減法、裂項相消法求和為考查重點，常與函數、方程、不等式等聯系綜合考查，多以解答題形式出現.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材4．錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解．5．倒序相加法如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．6．并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.提醒：辨明兩個易誤點(1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點．(2)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√2．(教材習題改編)一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經過的路程是(

)A．100＋200×(1－2－9)

B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)A

3．若數列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數列{an}的前n項和為__________.答案：2n＋1＋n2－24．已知數列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝___________________.答案：(n－1)2n＋1＋202課堂·考點突破分組轉化法求和[提能力]【典例】

(2018·唐山檢測)已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設cn＝an＋bn，求數列{cn}的前n項和．[刷好題]已知數列{an}，{bn}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N＋)，bn＝an－3n(n∈N＋)．(1)求數列{bn}的通項公式；(2)求數列{an}的前n項和Sn.[明技法]錯位相減法求和策略(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．錯位相減法求和[提能力]【典例】

(2018·太原模擬)已知{an}是各項均為正數的等比數列，{bn}是等差數列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設cn＝anbn，n∈N＋，求數列{cn}的前n項和．(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，設{cn}的前n項和為Sn，則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N＋.[刷好題](2018·漳州質檢)已知數列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn＝nan，求數列{bn}的前n項和Tn.裂項相消法求和[析考情]裂項法求和在高考中經常考查，多以解答題的形式考查，并且往往出現在第二問，難度屬中低檔．(1)解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項數列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.又a1＝2也滿足上式，綜上，數列{an}的通項公式為an＝2n.[悟技法]利用裂項相消法求和的注意事項(1)裂項相消法求和就是將數