北師大新版八年級下冊《第1章三角形的證明》2024年單元測試卷一、選擇題1．（2分）如圖，AB∥CD，點E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，則∠B的度數為（）A．68° B．32° C．22° D．16°2．（2分）如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且∠APD＝80°．在AC上取一點D，使AD＝AP，則∠DPC的度數是（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．（2分）若等腰三角形的頂角為α，則它一腰上的高與底邊的夾角等于（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．90°+α4．（2分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，則線段MN的長為（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為50和38，則△EDF的面積為（）A．8 B．12 C．4 D．66．（2分）如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于E，交AC于F，連接BF，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，則△BCF的周長和∠E分別等于（）A．16cm，25° B．8cm，30° C．16cm，40° D．8cm，25°7．（2分）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，1），M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數為（）A．4 B．5 C．6 D．88．（2分）等邊三角形的高為2，則它的邊長為（）A．4 B．3 C．2 D．59．（2分）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：①AF＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），上述結論中始終正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的角平分線交BC邊于點D，AB＝5，BC＝6，則AD＝．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F＝30°，DE＝3，則BE的長是．13．（3分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝度．14．（3分）如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點．若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于．15．（3分）如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，則點P與點P′之間的距離為．16．（3分）如圖，給出五個式子：①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAE＝∠CDE；⑤AE＝DE．請將其中兩個式子作為題設，一個式子作為結論，寫出一個真命題：．17．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將它的一個銳角翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，則△CDE的面積．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，若點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，則∠A的度數為．三、解答題19．（10分）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．（1）求證：BF＝AC；（2）求證：CE＝BF．20．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝5，求BD的長．21．（10分）某地附近有河流L1，公路L2和鐵路L3，分布如圖所示，現要選一個工廠，使得到L1，L2，L3的距離相等，請你運用數學知識幫助選擇一個廠址．22．（13分）如圖a，△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連接AF和BE（1）線段AF和BE有怎樣的大小關系？請證明你的結論；（2）將圖a中的△CEF繞點C旋轉一定的角度，得到圖b，（1）中的結論還成立嗎？作出判斷并說明理由．23．（13分）如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①證明DM＝DN；②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的；若不發生變化，求出其面積；（2）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出寫出結論，不用證明．

北師大新版八年級下冊《第1章三角形的證明》2024年單元測試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠D＝∠DEC，∵∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°×2＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°．故選：B．2．【解答】解：在△APD中，AP＝AD∴∠APD＝∠ADP＝80°∴∠PAD＝180°﹣80°﹣80°＝20°∴∠BAP＝60°﹣20°＝40°∴∠APC＝∠B+∠BAP＝60°+40°＝100°∴∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝100°﹣80°＝20°．故選：C．3．【解答】解：根據題意，底角＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴夾角為90°﹣（90°﹣）＝．故選：A．4．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故選：D．5．【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，設面積為S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF＝S△ADH，即38+S＝50﹣S，解得S＝6．故選：D．6．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵DE是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ABC＝25°，∵AB+BC＝16cm，∴△BCF的周長為：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16cm．故選：A．7．【解答】解：如圖所示：滿足條件的點M的個數為8．故選：D．8．【解答】解：設等邊三角形的邊長是x．根據等腰三角形的三線合一以及勾股定理，得x2＝（）2+12，x＝4．故選：A．9．【解答】解：∵（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）＝0，∴（a﹣b）＝0或（a2+b2﹣c2）＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故選：D．10．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵P為邊BC的中點，∴AP＝BP＝CP，∠BAP＝∠CAP＝45°，AP⊥BC，∴∠EAP＝∠C，又∵∠EPA+∠APF＝90°，∠FPC+∠APF＝90°，∴∠EPA＝∠FPC，在△EPA和△FPC中，，∴△EPA≌△FPC（ASA），∴AE＝CF，EP＝FP，所以①正確；∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正確；∵四邊形AEPF的面積等于△APC的面積，∴2S四邊形AEPF＝S△ABC，所以③不一定正確；又∵EF＝，而只有F點為AC的中點時，AP＝，即點F為AC的中點時有EF＝AP，所以④不一定正確．所以當∠EPF在ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有①②，共2個．故選：B．二、填空題11．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分線，∴DB＝DC＝CB＝3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD＝＝4，故答案為：4．12．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等），又∵AB的垂直平分線DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴在Rt△DBE中，BE＝2DE＝6，故答案為：6．13．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案為：15．14．【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE＝5，∴DE＝AC＝5，∴AC＝10．在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，則根據勾股定理，得CD＝＝＝8．故答案為：8．15．【解答】解：連接PP′，由旋轉的性質可知，旋轉中心為點A，B、C為對應點，P、P′也為對應點，旋轉角∠PAP′＝∠BAC＝60°，又AP＝AP′，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝6．故答案為：6．16．【解答】解：如果AB＝DC，∠B＝∠C，那么BE＝CE，證明如下：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴BE＝CE．故答案為：如果AB＝DC，∠B＝∠C，那么BE＝CE（答案不唯一）．17．【解答】解：①將B沿EF折疊，B與AC的中點D重合，如圖：設CE＝m，則BE＝DE＝8﹣m，在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，∴m2+32＝（8﹣m）2，解得m＝，∴CE＝，∴△CDE的面積是×3×＝，②將A沿EF折疊，A與BC的中點D重合，如圖：設CE＝n，則AE＝DE＝6﹣n，在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，∴n2+42＝（6﹣n）2，解得n＝，∴CE＝，∴△CDE的面積是×4×＝，綜上所述，△CDE的面積是或．故答案為：或．18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，∴△ACE是等邊三角形，∴∠CED＝60°，∴∠B＝∠CED＝30°．∴∠A＝60°，故答案為：60°三、解答題19．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，，∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），∴BF＝AC．（2）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE＝AE＝AC，又∵BF＝AC，∴CE＝BF．20．【解答】（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵Rt△ACD≌Rt△AED，∴DC＝DE＝5，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10．21．【解答】解：∵廠址要到三條公路的距離都相等，∴工廠必須是三條相交直線所組成的三角形的內角或外角平分線的交點，而外角平分線有3個交點，內角平分線有一個交點，∴工廠可以供選擇的地址有4個．22．【解答】解：（1）AF＝BE．證明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等邊三角形，∴AC＝BC，CF＝CE，∠ACF＝∠BCE＝60°，在△AFC與△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF＝BE．（2）成立．理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等邊三角形，∴AC＝BC，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝60度，∴∠ACB﹣∠FCB＝∠FCE﹣∠FCB，即∠ACF＝∠BCE，在△AFC與△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF＝BE．23．【解答】解：（1）①如圖1，連接DB，在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝DC，∴DB＝DC＝AD，∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠C＝45°，∵∠MDB+∠BDN＝∠CDN+∠BDN＝90°，∴∠MDB＝∠NDC，，