第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省株洲二中高二（上）開學數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={(a,b)|ab=16，a，b∈N?}，則M中元素的個數為A.3 B.4 C.5 D.62.已知直線l1：ax+4y?2=0與直線l2：2x?5y+b=0互相垂直，垂足為(1,c)，則a+b+c的值為(

)A.?4 B.20 C.0 D.243.已知△ABC內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，a=bcosC，則△ABC形狀一定是(

)A.等腰直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形4.設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為(

)

①若m?α，n//α，則m，n為異面直線②若α//γ，β//γ，則α//β

③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，則α⊥γ④若m⊥α，n⊥β，m//n，則α⊥β

⑤若l⊥α，n//β，α//β，則l⊥nA.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③5.已知點P(0,?1)關于直線x?y+1=0對稱的點Q在圓C：x2+y2+mx+4=0A.4 B.92 C.?4 D.6.在發生某公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間沒有發生規模性感染的標志為“連續10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據過去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，一定符合該標志的城市是(

)A.甲：中位數為2，眾數為3 B.乙：總體均值為3，中位數為4

C.丙：總體均值為2，總體方差為3 D.丁：總體均值為1，總體方差大于07.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，PA.直線A1P與BD所成的角不可能是π6

B.當B1P=2PC時，點D1到平面A1BP的距離為23

C.當B18.在數學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經出現過下列兩種三角函數：定義1?cosθ為角θ的正矢，記作versinθ；定義1?sinθ為角θ的余矢，記作coversθ，則下列命題正確的是(

)A.函數f(x)=versinx?coversx+1的對稱中心為(kπ?π4,1)k∈Z

B.若g(x)=versinx?coversx?1，則g(x)的最大值為2+1

C.若?(x)=versin2x?coversx+1，?(α)=1且0<α<π2，則圓心角為α，半徑為二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列四個命題中，是真命題的是(

)A.?x∈R且x≠0，x+1x≥2

B.?x∈R，使得x2+1≤2x

C.若x>0，y>0，x2+10.設復數z的共軛復數為z?，i為虛數單位，則下列命題錯誤的是(

)A.z2=|z|2

B.若z=cos2+isin2，則z?在復平面內對應的點位于第二象限

C.z=2?i1+2i是純虛數

11.設a為正實數，定義在R上的函數f(x)滿足f(0)+f(a)=1，且對任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(a?y)+f(y)f(a?x)則成立，則(

)A.f(a)=12或f(a)=1 B.f(x)關于直線x=a對稱

C.f(x)為奇函數 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在校園乒乓球比賽中，甲、乙進入決賽，賽制為“三局兩勝”.若在每局比賽中甲獲勝的概率為14，乙獲勝的概率為34，則乙獲得冠軍的概率為______．13.已知圓錐的母線長為2，其外接球表面積為16π3，則圓錐的高為______．14.規定：Max{a,b}=a,a≥b,b,a<b.設函數f(x)=Max{sinωx,cosωx}(ω>0)，若函數f(x)在(π3,四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知點A(12,32)為圓C上的一點，圓心C坐標為(1,0)，且過點A的直線l被圓C截得的弦長為3．

(1)求圓C16.(本小題12分)

2024年8月12日，巴黎奧運會在法國巴黎成功舉行閉幕式.組委會抽取100名觀眾進行了奧運會知識競賽并記錄得分(滿分：100，所有人的成績都在[40.100]內)，根據得分將他們的成績分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值；

(2)估計這100人競賽成績的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)、眾數及中位數．17.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為梯形，AD//BC，AB=AD=2，BD=22,BC=4．

(1)證明：A1B1⊥AD1；

18.(本小題12分)

已知函數f(x)=sin2xcosφ?cos2xcos(π2+φ)(0<|φ|<π2)，對?x∈R，有f(x)≤|f(π3)|

(1)求φ的值及f(x)的單調遞增區間：

(2)在△ABC中，已知a=4，f(B)=1，其面積為53，求b；

(3)將函數y=f(x)圖象上的所有點，向右平移19.(本小題12分)

已知集合A={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥3)，W?A且W中元素的個數為m(m≥2).若存在u，v∈W(u≠v得u+v為2的正整數指數冪，則稱W為A的弱P(m)子集；若對任意的s，t∈W(s≠t)，s+t均為2的正整數指則稱W為A的強P(m)子集．

(Ⅰ)請判斷集合W1={1,2,3}和W2={2,3,4}是否為A的弱P(3)子集，并說明理由；

(Ⅱ)是否存在A的強P(3)子集？若存在，請寫出一個例子；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ)若n=11，且A的任意一個元素個數為m的子集都是A的弱P(m)子集，求m參考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.D

9.BCD

10.AB

11.AD

12.2732

13.314.[315.解：(1)設圓C的半徑為r，

則|AC|=r=(12?1)2+(32?0)2=1，

則圓C的方程為(x?1)2+y2=1；

(2)因為圓C的半徑為1，

所以當直線l與圓相交所得的弦長為3時，圓心C到直線l的距離為1?34=12，

當直線l的斜率不存在時，直線l：x=12，此時圓心C到直線l的距離為12，滿足題意．

當直線16.解：(1)由題意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)×10=1，

即0.085+a=0.1，得a=0.015．

(2)由頻率分布直方圖可知這100人競賽成績的平均數約為45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72分，

眾數約為70+802=75分，

前3組的頻率為0.05+0.15+0.2=0.4，

前4組的頻率為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，

所以中位數為70+17.(1)證明：因為AB=AD=2，BD=22，

所以AB2+AD2=8=BD2，所以AB⊥AD，

因為ABCD?A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A⊥AB，

因為A1A∩AD=A，A1A，AD?平面ADD1A1，

所以AB⊥平面ADD1A1，

因為A1B1/?/AB，所以A1B1⊥平面ADD1A1，

因為AD1?平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1；

(2)解：由(1)及題意知，AB，AD，A1A兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則AB=AD=2，BD=22,BC=4，設A1A=?(?>0)，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,?)，C(2,4,0)，D1(0,2,?)，D(0,2,0)，

所以AB=(2,0,0),CB1=(0,?4,?),CD1=(?2,?2,?),BC=(0,4,0),BD=(?2,2,0)，

設平面B1CD1的一個法向量為n=(x,y,z)18.解：(1)f(x)=sin2xcosφ?cos2xcos(π2+φ)=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)，

對?x∈R，有f(x)≤|f(π3)|，故f(π3)=sin(2π3+φ)=±1，

所以2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，解得φ=?π6+kπ,k∈Z，

因為0<|φ|<π2，故只有當k=0時，滿足要求，故φ=?π6，

f(x)=sin(2x?π6)，令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ,k∈Z，

解得?π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，

所以f(x)的單調遞增區間為[?π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；

(2)f(B)=sin(2B?π6)=1，

因為B∈(0,π)，所以2B?π6∈(?π6,11π6)，即2B?π6=π2，解得B=π3，

a=4,S△ABC=19.解：(Ⅰ)W1是A的弱P(3)子集，W2不是A的弱P(3)子集．

理由如下：1+3=22，W1中存在兩個元素的和是2的正整數指數冪，所以W1是A的弱P(3)子集．

2+3=5，3=4=7，2+4=6，W2中任意兩個元素的和都不是2的正整數指數冪，所以W2不是A的弱P(3)子集．

(Ⅱ)不存在A的強P(3)子集．

理由如下：假設存在A的強P(3)子集W={a,b,c}，不妨設a<b<c，a，b，c為正整數，