安徽省合肥市高中數學第一章集合與函數概念1.3.1函數的最大（小）值教案新人教A版必修1學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內容《安徽省合肥市高中數學第一章集合與函數概念1.3.1函數的最大（小）值》新人教A版必修1。本節課主要內容包括：

1.函數最大（小）值的定義及意義；

2.求解函數最大（小）值的方法；

3.利用函數最大（小）值解決實際問題；

4.探究閉區間上連續函數的最大（小）值定理。

教學內容緊密結合教材，旨在幫助學生掌握函數最大（小）值的概念及其應用，培養他們運用數學知識解決實際問題的能力。核心素養目標1.培養學生邏輯推理能力，通過探究函數最大（小）值的概念，理解數學定義的嚴謹性；

2.提升數學抽象思維，讓學生從具體問題中抽象出函數最大（小）值的一般性規律；

3.強化數學建模能力，學會運用函數最大（小）值解決實際問題；

4.培養數據分析觀念，通過分析函數性質，學會從數據中尋找規律，為解決最大（小）值問題提供依據。教學難點與重點1.教學重點：

-函數最大（小）值的定義及其數學表達；

-求解函數最大（小）值的方法，包括圖形法、解析法等；

-閉區間上連續函數的最大（小）值定理及其應用；

-實際問題中函數最大（小）值的建模和求解。

例如，強調函數f(x)在區間[a,b]上的最大值是f(x)在x=a和x=b以及區間內部所有臨界點的函數值中的最大者，而最小值的求法則同理。

2.教學難點：

-理解閉區間上連續函數的最大（小）值定理的證明過程；

-函數圖形與最大（小）值之間的關系，如何通過圖形判斷最大（小）值的存在與位置；

-在實際問題中建立函數模型，特別是當問題情境復雜時，如何抽象出函數關系并求解最大（小）值；

-區分局部最大（小）值與全局最大（小）值的概念。

例如，難點在于讓學生理解在閉區間上的連續函數必定存在最大值和最小值，而開區間則不一定，需要通過羅爾定理和介值定理等數學工具進行深入理解。同時，學生可能會在識別圖形的極值點時遇到困難，需要通過具體的函數圖像分析和數學計算來突破這一難點。教學資源1.軟硬件資源：

-數學軟件（如幾何畫板、Mathematica等）用于函數圖像的繪制和分析；

-投影儀和計算機，用于展示函數圖像和示例題解；

-白板和標記筆，用于講解和演示。

2.課程平臺：

-學校教學管理系統，用于發布預習資料和課后作業；

-課堂互動平臺，用于實時問答和討論。

3.信息化資源：

-電子教案和PPT，用于課堂教學；

-電子版教材，方便學生隨時查閱；

-習題庫和模擬試題，用于學生練習和測試。

4.教學手段：

-小組合作學習，鼓勵學生討論和分享解題思路；

-案例教學法，通過具體實例引入和解釋函數最大（小）值的概念；

-問題驅動的教學方法，引導學生通過問題探索知識；

-互動問答，提高學生的課堂參與度。教學過程1.導入新課

上課之初，我會對學生說：“同學們，我們已經學習了函數的基本概念，今天我們將進一步探討函數的一個重要性質——最大（小）值。請大家打開教材第一章集合與函數概念1.3.1節，我們來一起探索函數的最大（小）值及其應用。”

2.基本概念講解

首先，我會明確本節課的教學重點，即函數最大（小）值的定義及其求解方法。我會解釋：“函數的最大值是指函數在某個區間內取得的最大數值，而最小值則相反。求解方法包括圖形法、解析法等，下面我會逐一為大家介紹。”

（1）圖形法

我會通過數學軟件展示一個簡單的函數圖像，如f(x)=x^2，并提問：“同學們，觀察這個函數圖像，你們能找出函數的最大值和最小值嗎？”在學生思考片刻后，我會邀請他們分享自己的答案。

接著，我會解釋：“在圖形法中，我們通常通過觀察函數圖像的走勢來確定最大（小）值。對于這個函數，我們可以看到它在x=0處取得最小值0，而在x>0時，函數值逐漸增大，沒有最大值。”

（2）解析法

然后，我會引入解析法，以f(x)=x^2為例，解釋如何通過求導數來找到函數的極值。我會詳細講解求導過程，并強調：“求導后，我們將導數等于0的點作為可能的極值點，通過判斷這些點的左右導數符號來確定最大（小）值。”

3.閉區間上連續函數的最大（小）值定理

我會引導學生通過羅爾定理和介值定理來理解閉區間上連續函數的最大（小）值定理，并強調這個定理在解決實際問題時的重要性。

4.實際問題中的應用

為了讓學生更好地理解函數最大（小）值在實際問題中的應用，我會提出一個案例：“假設我們要求解一個實際問題，如最大化一個物體的體積，我們需要根據題目條件建立函數模型，然后利用最大（小）值求解方法找到最優解。”

我會邀請學生分組討論，嘗試解決這個實際問題，并在討論過程中給予適當的指導。

5.總結與鞏固

在課程接近尾聲時，我會對本節課的主要內容進行總結，強調：“今天我們學習了函數的最大（小）值，掌握了求解方法以及閉區間上連續函數的最大（小）值定理。希望大家在課后加強練習，將這些知識運用到實際解題中。”

最后，我會布置一些與函數最大（小）值相關的習題，要求學生在課后完成，并提醒他們：“在完成作業時，要仔細思考，遇到問題可以相互討論，共同進步。”學生學習效果1.理解并掌握函數最大（小）值的定義，能夠準確地用數學語言描述這一概念。

2.學會使用圖形法和解析法求解函數的最大（小）值，特別是能夠通過求導數的方法找到函數的極值點，并判斷它們是最大值還是最小值。

3.掌握閉區間上連續函數的最大（小）值定理，理解其證明的思路和意義，并能夠應用該定理解決實際問題。

4.能夠將實際問題抽象成函數模型，運用所學知識求解最大（小）值，從而解決實際問題。

5.通過小組合作和課堂討論，提高學生的邏輯思維能力、數學抽象思維和數據分析觀念，增強團隊合作意識。

6.在解決實際問題的過程中，學生能夠將數學知識與現實世界聯系起來，增強數學建模能力。

7.學生能夠理解函數最大（小）值在生活中的應用，如優化問題、成本最小化、收益最大化等，提高對數學價值的認識。

8.學生在完成課后習題的過程中，能夠獨立思考，遇到困難時能夠主動尋求幫助，形成良好的學習習慣。

9.學生能夠將本節課所學知識與其他數學知識進行整合，形成完整的數學知識體系。

10.學生在學習過程中，能夠逐漸培養對數學的興趣和熱情，提高自主學習能力。課堂小結，當堂檢測1.課堂小結：

本節課我們學習了函數的最大（小）值，重點掌握了以下知識點：

-函數最大（小）值的定義及求解方法（圖形法、解析法）；

-閉區間上連續函數的最大（小）值定理；

-實際問題中建立函數模型并求解最大（小）值的方法。

通過本節課的學習，我們明白了如何尋找函數的最大（小）值，并將其應用于解決實際問題。

2.當堂檢測：

（1）選擇題：

1）函數f(x)=x^2在區間[-1,1]上的最小值是（）

A.0

B.1

C.-1

D.-2

2）已知函數g(x)=x^3-3x在x=1處取得極值，那么該極值是（）

A.最大值

B.最小值

C.不是極值

D.無法判斷

（2）計算題：

求函數h(x)=x^4-4x^2+4在區間[-2,2]上的最大值和最小值。

（3）應用題：

某企業的生產成本C(x)與產量x之間的關系為C(x)=3x^2+5x+10，其中x表示生產的產品數量（單位：萬件）。求該企業在產量為多少時，成本最低？

（4）思考題：

請思考，為什么閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值？

當堂檢測旨在檢驗學生對本節課知識點的掌握程度，希望大家能夠積極參與，認真完成。在完成檢測過程中，如果遇到問題，可以與同學討論或向老師請教。課后作業1.計算題：

求函數f(x)=x^3-3x在區間[-2,2]上的最大值和最小值。

2.應用題：

一輛汽車以vkm/h的速度行駛，其燃油消耗量C(v)與速度v之間的關系為C(v)=0.1v^2+2v+10。求該汽車在什么速度下行駛時，燃油消耗量最小？

3.分析題：

分析函數g(x)=(x-1)^2在區間[0,2]上的最大值和最小值，并說明理由。

4.證明題：

證明函數h(x)=x^2在區間[0,1]上取得最大值和最小值。

5.拓展題：

設函數F(x)=x^4-4x^3+4x^2，求在區間[0,3]上的最大值和最小值，并討論函數的增減性。

1.計算題答案：

f(x)的導數為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1。在x=-1時，f(x)取得最大值2；在x=1時，f(x)取得最小值-2。

2.應用題答案：

C(v)的導數為C'(v)=0.2v+2，令C'(v)=0得到v=-10。由于速度不能為負數，所以考慮v=0時，C(v)取得最小值10。

3.分析題答案：

g(x)在x=1處取得最小值0，在x=2處取得最大值1。因為g(x)是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，所以在x=1處取得最小值，而在區間端點x=0和x=2處，由于離對稱軸越遠，函數值越大。

4.證明題答案：

h(x)=x^2在區間[0,1]上取得最小值0（在x=0時），最大值1（在x=1時）。因為h(x)是一個開口向上的拋物線，且在[0,1]區間內單調遞增。

5.拓展題答案：

F(x)的導數為F'(x)=4x^3-12x^2+8x，令F'(x)=0得到x=0,2,2（重根）。在x=0時，F(x)取得最小值0；在x=2時，F(x)取得最大值4。此外，F(x)在[0,2]區間內單調遞減，在[2,3]區間內單調遞增。板書設計1.標題：

第一章集合與函數概念

1.3.1函數的最大（小）值

2.重點知識點：

-函數最大（小）值的定義

-求解方法：

-圖形法

-解析法（導數法）

-閉區間連續函數最大（小）值定理

3.結構框架：

-引入：函數極值的概念

-展開：

-圖形法示例

-解析法步驟

-最大（小）值定理說明

-應用：實際問題案例分析

4.示例與解答：

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