第三章流體力學基本方程組1整體概述概述二點擊此處輸入相關文本內容概述一點擊此處輸入相關文本內容概述三點擊此處輸入相關文本內容

流體運動學研究流體的運動規律，如速度、加速度等運動參數的變化規律，而流體動力學則研究流體在外力作用下的運動規律，即流體的運動參數與所受力之間的關系。本章主要介紹流體運動學和流體動力學的基本知識，推導出流體動力學中的幾個重要的基本方程：連續性方程、動量方程和能量方程，這些方程是分析流體流動問題的基礎。3第一節流體流動的連續性方程連續性方程是質量守恒定律在流體力學中的應用。我們認為流體是連續介質，它在流動時連續地充滿整個流場。在這個前提下，當研究流體經過流場中某一任意指定的空間封閉曲面空間（控制體）時，可以斷定：若在某一定時間內，流出的流體質量和流入的流體質量不相等時，則這封閉曲面內（控制體）一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質量必然等于流入的流體質量。上述結論可以用數學分析表達成微分方程，稱為連續性方程。4一、直角坐標系下連續性微分方程式設在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、dy和dz，如圖3-1所示。假設微元平行六面體形心的坐標為x、y、z，在某一瞬時t經過形心的流體質點沿各坐標軸的速度分量為u、v、w，流體的密度為ρ。現討論流體經六面體各面的流動情況。

圖3-1流場中的微元平行六面體5一、直角坐標系下連續性微分方程式先分析x軸方向，已知u和ρ都是坐標和時間的連續函數，即u=u(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根據泰勒級數展開式，略去高于一階的無窮小量，得在dt時間內，沿軸方向從左邊微元面積dydz流入的流體質量為圖3-1流場中的微元平行六面體6圖3-1流場中的微元平行六面體7

8同理可得在dt時間內從右邊微元面積dydz流出的流體質量為(3-1)上述兩者之差為在dt時間內沿x軸方向流體質量的變化，即

(3-2)9同理可得，在dt時間內沿y軸和z軸方向流體質量的變化分別為：因此，在dt時間內經過微元六面體的流體質量總變化為

(3-3)

10由于流體是作為連續介質來研究的，所以式(3-3)所表示的六面體內流體質量的總變化，唯一的可能是因為六面體內流體密度的變化而引起的。因此式(3-3)應和由于流體密度的變化而產生的六面體內的流體質量變化相等。設開始瞬時流體的密度為ρ，經過dt時間后的密度為11則可求出在dt時間內，六面體內因密度的變化而引起的質量變化為(3-4)

根據連續性條件，式(3-4)和式(3-3)應相等，經簡化得到(3-5)式（3-5）為可壓縮流體非定常三維流動的連續性方程。

12若流體是定常流動，則，上式成為(3-6)

式（3-6）為可壓縮流體定常三維流動的連續性方程。

13對不可壓縮均質流體，ρ為常數，故式(3-6)成為(3-7)式（3-7）為不可壓縮均質流體定常三維流動的連續性的方程。它的物理意義是：在同一時間內通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內流入的體積流量與流出的體積流量相等。

14在流體力學中時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標平面的流動。若這種流動的流動參數（如速度、壓強）只沿x、y兩個坐標軸方向發生變化，則式（3-7）可以寫成(3-8)由于在推導上述連續性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。15二、微元流束和總流的連續性方程

在工程上和自然界中，流體流動多數都是在某些周界所限定的空間內沿某一方向流動，即一維流動的問題，所謂一維流動是指流動參數僅在一個方向上有顯著的變化，而在其它兩個方向上的變化非常微小，可忽略不計。例如在管道中流動的流體就符合這個條件。在流場中取一微元流束(圖3-1)。假定流體的運動是連續的、定常的，則微元流管的形狀不隨時間而改變。又根據流管的特性，流體質點不能穿過流管表面，因此在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常數（3-9）式中dA1、dA2—分別為1、2兩個有效截面的面積，m2；16圖3-1流場中的微元流束17V1、V2—分別為dA1和dA2上的流速，也稱為真實流速，m/s；ρ1、ρ2—分別為和處的流體密度，kg/m3。對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式（3-9）進行積分得（3-10）式中A1和A2—分別為總流1和2兩個有效截面的面積，m2。式（3-9）為一維流動積分形式總流的連續性方程。設和是總流兩個有效截面l和2上的平均流速，則式（3-9）可寫成(3-11)18式中ρ1和ρ2—分別代表截面和上的平均密度，kg/m3。式（3-10）表示當流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質量流量為一個常數。對不可壓縮均質流體常數，則式（3-10）成為(3-12)式（3-11）為不可壓縮流體一維定常流動的總流連續性方程。該式說明一維總流在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。19【例3-1】假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續。【解】根據式（3-7）

所以故此流動不連續。不滿足連續性方程的流動是不存在的

20【例3-2】有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續。【解】根據式（3-8）所以

故此流動是連續的。21【例3-6】有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？【解】由式（3-33）得

(m/s)22圖3-14輸水管道23流體流動的連續性方程推導－歐拉法在空間取一以S面為界的有限體積τ，該面由流面及兩個非流面組成。24有限體積τ－流管內流體質量的變化由兩部分組成：1通過表面S流體的進入或流出（以流入為正）25有限體積τ－流管內流體質量的變化由兩部分組成：2單位時間內體積τ的質量減少S1S2S3由質量不滅定理得：26由奧高定理得：27由于τ為任一單元體28通過表面S流體的進入或流出（以流入為正）S1S2S3=029S1S2S330S1S2S3對定常流動：對均質流體：31第二節流體流動的運動方程動量定理：單位體積中流體動量的變化率等于作用在該體積上的質量力和面力之和。32第二節流體流動的運動方程體積τ上的質量力體積τ上的面力體積τ的動量變化率33第二節流體流動的運動方程動量定理的原始公式：

矢量函數體積分的隨體導數公式（P138式2.12.8）：面積分體積分34第二節流體流動的運動方程動量定理的原始公式：面積分體積分動量定理的積分形式：面積分體積分35右邊由奧高定理得：略去二階無窮小量動量定理：左邊：P151式3.1.1536動量方程的微分形式由于τ是任一微元體37微分形式的動量方程積分形式的動量方程38對體積單元τ應用動量矩定理，取任一點為力矩參考點，r為流體微元到參考點的矢徑，則動量矩定理表達式為：積分形式的動量方程r合外力的力矩動量矩的變化率39Lamb-Γpomeko形式的運動方程位勢部分旋轉部分P19公式1140Lamb-Γpomeko形式的運動方程41

流體在運動坐標系中的運動方程絕對速度相對速度牽連速度運動系平動速度轉動速度42

流體在運動坐標系中的運動方程絕對加速度相對加速度牽連加速度科氏加速度43

流體在運動坐標系中的運動方程平動加速度向心加速度切向加速度44

流體在運動坐標系中的運動方程絕對加速度相對加速度牽連加速度科氏加速度45

流體在運動坐標系中的運動方程46第三節流體流動的能量方程能量守恒定律：體積τ內流體的動能和內能的改變率等于單位時間內質量力和面力所作的功加上單位時間內給予體積τ內的熱量。ndSτ內能和動能的總和：單位時間內質量力和面力所做的功：47第三節流體流動的能量方程ndSτ單位時間內由于熱傳導通過表面S傳給τ內的熱量為：設q為由于輻射或其他原因在單位時間內傳入單位質量的熱量分布函數，定義為：傅利葉公式48第三節流體流動的能量方程ndSτ由于輻射或其他原因在單位時間內傳入τ內的總熱量為：49第三節流體流動的能量方程標量函數體積分的隨體導數公式（P138式2.12.7）：50第三節流體流動的能量方程

積分形式的能量方程51第三節流體流動的能量方程

P151式（3.1.14)5253由于τ是任一微元體，且假定被積函數是連續的，則：

微分形式的能量方程54

微分形式的能量方程能量方程左邊：55

微分形式的能量方程右邊：56

微分形式的能量方程57

微分形式的能量方程：直角坐標系下的形式：585960616263

應力張量P是對稱張量：Pij=Pji646566676869

由于面力大小的改變而作的功

由于流體變形后，面力所作的功70

由于面力大小的改變而作的功

由于流體變形后，面力所作的功71

微分形式的能量方程72二階張量：變形速度張量Helmholtz速度分解定理7374

由于面力大小的改變而作的功

由于流體變形后，面力所作的功75

由于面力大小的改變而作的功

由于流體變形后，面力所作的功76

微分形式的能量方程77

微分形式的動能定理

對流體運動方程兩邊點乘速度矢量v:78微分形式的能量方程微分形式的動能定理內能的變化率變形面力作的功熱傳導傳入的熱量輻射或其他原因傳入的熱量7980方程的個數311未知數的個數：(u,v,w,U,ρ,T,pxx,pyy,pzz,pxy,pxz,pyz)=12581第四節流體的本構方程真實流體都有粘性，當相鄰兩層流體作相對滑動即剪切變形時，在相反方向產生一個切向應力，阻止變形的發生與進行。因此，切向應力與剪切變形速度之間存在著一定關系，流體的這種性質稱為粘性。本構方程：表達粘性規律的應力張量和變形速度張量之間的關系。牛頓內磨擦定律82第四節流體的本構方程牛頓內磨擦定律只適用于剪切流動這一最簡單的流動狀態，實際中的流動非常復雜，很難在理論上或通過實驗直接導出一般運動情形下應力張量和變形速度張量之間的關系。建立廣義牛頓定律的三個基本假定：(1)將應力張量P寫成各向同性部分－pΙ和各向異性部分P′之和，即：83(1)將應力張量P寫成各向同性部分－PΙ和各向異性部分P′之和，即：壓力函數偏應力張量(2)假定偏應力張量的各分量是局部速度梯度張量各分量的線性齊次函數。當速度在空間均勻分布時，偏應力張量為零；當速度偏離均勻分布時，在粘性流體中產生了偏應力，它力圖使速度回復到均勻分布。84(3)流體是各向同性的，即流體的所有性質如粘性、熱傳導等在每個點的各個方向上都是相同的，流體的性質不依賴于方向或坐標系的轉換。根據上述假設，可得：斯托克斯假設：85根據上述假設，可得：1，i=j0，i≠j

Ⅰ=

i,j=1,2,386本構方程87i≠j時，為六個切向應力第1個下標i代表以i軸為法向的平面，第2個下標j代表在這個平面