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文檔簡介
第三章一元函數的導數及其應用第2講導數與函數的單調性課標要求命題點五年考情借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性；對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間.不含參函數的單調性2023全國卷甲T21；2022新高考卷ⅡT22；2021新高考卷ⅠT22；2021全國卷甲T21；2020全國卷ⅠT21；2020全國卷ⅡT21；2019全國卷ⅡT20含參函數的單調性2023新高考卷ⅠT19；2021新高考卷ⅡT22；2021全國卷乙T21；2021全國卷甲T20；2019全國卷ⅢT20函數單調性的應用2023新高考卷ⅡT6；2023新高考卷ⅡT22；2023全國卷乙T16；2022新高考卷ⅠT7；2022全國卷甲T12；2021全國卷乙T12命題分析預測本講是高考的必考內容，有時單獨考查，如求函數的單調區間或討論函數的單調性，有時作為工具求解其他問題，如通過構造函數研究函數的單調性，進而求解極值、最值、不等式、零點等問題，題型以解答題為主，有時也以小題的形式呈現，難度中等.預計2025年高考命題依然穩定，備考中，一定要掌握討論函數單調性的方法，它是解決很多問題的基礎.
1.函數的單調性與導數的關系條件結論函數y＝f(x)
在區間(a，
b)內可導f
'(x)＞0f(x)在區間(a，b)內單調遞①
?②
?f(x)在區間(a，b)內單調遞減恒有③
?f(x)在區間(a，b)內是常數函數增
f
'(x)＜0
f
'(x)＝0
思維拓展用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系(1)
f
'(
x
)＞0(＜0)是
f
(
x
)在區間(
a
，
b
)內單調遞增(減)的充分不必要條件.(2)
f
'(
x
)≥0(≤0)是
f
(
x
)在區間(
a
，
b
)內單調遞增(減)的必要不充分條件.(3)若
f
'(
x
)在區間(
a
，
b
)的任意子區間內都不恒等于零，則
f
'(
x
)≥0(≤0)是
f
(
x
)在
區間(
a
，
b
)內單調遞增(減)的充要條件.2.利用導數判斷函數單調性的步驟第1步，確定函數的④
?；第2步，求出導數
f
'(
x
)的⑤
?；第3步，用
f
'(
x
)的零點將
f
(
x
)的定義域劃分為若干個區間，列表給出
f
'(
x
)在各區間
上的正負，由此得出函數
y
＝
f
(
x
)在定義域內的單調性.定義域
零點
1.[2024陜西漢中模擬]函數
f
(
x
)＝
x
2－5lnx
－3
x
－1的單調遞減區間為(
D
)
D12342.已知導函數
y
＝
f
'(
x
)的圖象如圖所示，則函數
y
＝
f
(
x
)的圖象可能是(
B
)ABCD[解析]
解法一由
y
＝
f
'(
x
)的圖象自左到右先上升后下降，可知函數
y
＝
f
(
x
)圖象
的切線的斜率自左到右先增大后減小，可以判斷B正確.B1234解法二由于
f
'(
x
)＞0(－1≤
x
≤1)恒成立，則根據導數符號和函數單調性的關系可
知，
f
(
x
)在[－1，1]上單調遞增，即圖象從左至右上升，四個圖象都滿足.由于
x
＞0時，隨著
x
的變大
f
'(
x
)越來越小，則函數值增加得越來越慢，圖象越來越
“平緩”；當
x
＜0時，隨著
x
的變大
f
'(
x
)越來越大，故函數值增加得越來越快，圖
象越來越“陡峭”，可以判斷B正確.12343.已知函數
f
(
x
)＝sin
x
＋cos
x
－2
x
，
a
＝
f
(－π)，
b
＝
f
(20)，
c
＝
f
(ln2)，則
a
，
b
，
c
的大小關系是(
A
)A.a＞c＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞b＞a
A12344.[多選]下列說法正確的是(
BC
)A.若函數f(x)在定義域上都有f
'(x)＜0，則函數f(x)在定義域上一定單調遞減B.在(a，b)上f
'(x)＞0(f
'(x)＜0)是函數f(x)在(a，b)上單調遞增(減)的充分不必要條件C.在(a，b)上f
'(x)≤0，且f
'(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)上單調遞減D.若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則一定有f
'(x)＞0
BC1234
命題點1
不含參函數的單調性例1
(1)[2024重慶南開中學模擬]已知函數
f
(
x
)＝
x
sin
x
＋cos
x
，
x
∈[0，2π]，則
f(
x
)的單調遞減區間是(
B
)C.[π，2π]B
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
(0，1)
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧利用導數求函數單調區間的思路：解不等式
f
'(
x
)＞0或
f
'(
x
)＜0求出單調區間.若導
函數對應的不等式不可解，則令導函數為新函數，借助新函數的導數求解.注意
(1)求函數的單調區間，要在函數的定義域內進行；(2)一個函數的同一種單
調區間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4訓練1
已知函數
f
(
x
)＝(2＋
x
)ln(1＋
x
)－2
x
，討論函數
f
(
x
)的單調性.
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧求解含參函數的單調性的技巧一般要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論，主要是：(1)討論
f
'(
x
)＝0是否
有根；(2)討論
f
'(
x
)＝0的根是否在定義域內；(3)討論根的大小關系.注意
若導函數是二次函數的形式，一般還要討論二次項系數的正負及是否為0，
判別式Δ的正負等.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4訓練2
[2021全國卷乙節選]已知函數
f
(
x
)＝
x
3－
x
2＋
ax
＋1，討論
f
(
x
)的單調性.[解析]由題意知
f
(
x
)的定義域為R，
f
'(
x
)＝3
x
2－2
x
＋
a
，令
f
'(
x
)＝0，則Δ＝(－2)2－4×3
a
＝4(1－3
a
).
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4命題點3
函數單調性的應用角度1
已知函數的單調性求參數例3(1)[2023新高考卷Ⅱ]已知函數
f
(
x
)＝
a
e
x
－lnx
在區間(1，2)單調遞增，則
a
的最
小值為(
C
)A.e2B.eC.e－1D.e－2C例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
(4，＋∞)
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧已知函數的單調性求參數的解題技巧(1)若可導函數
f
(
x
)在區間
D
上單調遞增(或遞減)，則
f
'(
x
)≥0(或
f
'(
x
)≤0)對
x
∈
D
恒成立問題.注意
“＝”不能少，必要時還需對“＝”進行檢驗.(2)若可導函數
f
(
x
)在某一區間上存在單調區間，則
f
'(
x
)＞0(或
f
'(
x
)＜0)在該區間上
存在解集，這樣就把函數的單調性問題轉化成不等式有解問題.(3)若
f
(
x
)在區間
D
上不單調，則函數
f
'(
x
)在區間
D
上存在變號零點.也可先求出
f
(
x
)在區間
D
上單調時參數的取值范圍，然后運用補集思想得解.(4)若已知
f
(
x
)在區間
I
(含參數)上的單調性，則先求出
f
(
x
)的單調區間，然后令
I
是
其單調區間的子集，從而求出參數的取值范圍.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b
A例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4(2)[2023福建省龍巖市質檢]已知函數
f
(
x
)＝sin
x
－
x
cos
x
，若
a
＝
f
(log2e)，
b
＝
f(ln3)，
c
＝
f
(sine)，則
a
，
b
，
c
的大小關系為(
B
)A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a
B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧利用函數的單調性比較大小或解不等式的思路：利用導數判斷已知或構造的函數的
單調性，由單調性比較大小或解不等式.例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞bA例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4(2)[2024安徽模擬]設函數
f
(
x
)＝sin(
x
－1)＋e
x
－1－e1－
x
－
x
＋4，則滿足
f
(
x
)＋
f
(3
－2
x
)＜6的
x
的取值范圍是(
B
)A.(3，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，3)D.(－∞，1)B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
思維幫·提升思維快速解題
A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b[解析]
解法一(泰勒公式)
a
＝0.1e0.1≈0.1(1＋0.1＋0.005)＝0.1105，
b
≈0.111…，
c
＝－ln[1＋(－0.1)]≈－(－0.1－0.005－0.0003)＝0.1053，所以
c
＜
a
＜
b
.C例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4方法技巧1.泰勒公式若函數
f
(
x
)在含有
x
0的開區間(
a
，
b
)內有
n
＋1階導數，則當函數在此區間內時，
可以展開為一個關于
x
－
x
0的多項式和一個余項的和：
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練42.常見的泰勒展開式在泰勒公式中，令
x
0＝0，即可得到如下泰勒展開式：
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b
B例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
例1訓練1例2訓練2例3例4例5訓練3例6訓練4
1.[命題點1/多選/2024山東省青島市檢測]若函數
g
(
x
)＝e
xf
(
x
)在
f
(
x
)的定義域上單
調遞增，則稱函數
f
(
x
)具有
M
性質.下列函數中具有
M
性質的為(
BC
)A.f(x)＝5－xB.f(x)＝2－xD.f(x)＝x3BC1234
1234
1234
1234
1234
1234
A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.b＜a＜cD.c＜a＜bB1234
1234
12344.[命題點3角度3/2023廣州二模]已知偶函數
f
(
x
)與其導函數
f
'(
x
)的定義域均為R，
且
f
'(
x
)＋e－
x
＋
x
也是偶函數，若
f
(2
a
－1)＜
f
(
a
＋1)，則實數
a
的取值范圍是
(
B
)A.(－∞，2)B.(0，2)C.(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析]因為
f
(
x
)為偶函數，所以
f
(
x
)＝
f
(－
x
)，等式兩邊求導可得
f
'(
x
)＝－
f
'(－
x
)
①，(易錯：對等式
f
(
x
)＝
f
(－
x
)兩邊同時求導的時候，要注意等式右邊是一個復合函數，不要把負號漏掉了)因為函數
f
'(
x
)＋e－
x
＋
x
為偶函數，所以
f
'(
x
)＋e－
x
＋
x
＝
f
'(－
x
)＋e
x
－
x
②，B1234
1234
12345678910111213141516171.函數
f
(
x
)＝－lnx
＋
x
的單調遞增區間是(
C
)A.(－∞，0)∪(1，＋∞)B.(－∞，0)和(1，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－1，＋∞)
C
A.(－∞，5]B.[5，7]C.[7，＋∞)D.(－∞，5]∪[7，＋∞)[解析]
解法一
f'(
x
)＝
x
2－
ax
＋
a
－1，由f'(
x
)＝0得
x
＝1或
x
＝
a
－1.當
a
－1≤1，即
a
≤2時，對于任意的
x
∈[1，＋∞)，f'(
x
)≥0，即函數
f
(
x
)在[1，＋∞)上單調遞增，不符合題意；當
a
－1＞1，即
a
＞2時，函數
f
(
x
)在(－∞，1]和[
a
－1，＋∞)上單調遞增，在[1，
a
－1]上單調遞減，依題意[1，4]?[1，
a
－1]且[6，＋∞)?[
a
－1，＋∞)，從而4≤
a
－1≤6，故5≤
a
≤7.綜上，實數
a
的取值范圍為[5，7].B1234567891011121314151617解法二
f'(
x
)＝
x
2－
ax
＋
a
－1，依題意，得f'(
x
)≤0在[1，4]上恒成立，且f'(
x
)≥0
在[6，＋∞)上恒成立，由f'(
x
)＝0得
x
＝1或
x
＝
a
－1，故4≤
a
－1≤6，即5≤
a
≤7.
故所求實數
a
的取值范圍為[5，7].12345678910111213141516173.若函數
f
(
x
)＝3
x
＋(
a
－2)lnx
在定義域上不單調，則實數
a
的取值范圍是(
D
)B.[2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，2)
D12345678910111213141516174.[2024湖南模擬]已知實數
a
，
b
，
c
∈(0，1)，e為自然對數的底數，且
a
e2＝2e
a
，
b
e3＝3e
b
，2
c
＝e
c
ln2，則(
A
)A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b
A12345678910111213141516175.[2023山東泰安二模]已知奇函數
f
(
x
)在R上單調遞減，
g
(
x
)＝
xf
(
x
)，若
a
＝
g
(－log25.1)，
b
＝
g
(3)，
c
＝
g
(20.8)，則
a
，
b
，
c
的大小關系為(
D
)A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.b＜a＜c[解析]因為
f
(
x
)為奇函數且在R上單調遞減，所以
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，且當
x
＞0
時，
f
(
x
)＜0.因為
g
(
x
)＝
xf
(
x
)，所以
g
(－
x
)＝－
xf
(－
x
)＝
xf
(
x
)＝
g
(
x
)，故
g
(
x
)
為偶函數.g'(
x
)＝
f
(
x
)＋
xf
'(
x
)，當
x
＞0時，因為
f
(
x
)＜0，
f
'(
x
)≤0，所以g'(
x
)＜
0，所以
g
(
x
)在(0，＋∞)上單調遞減.
a
＝
g
(－log25.1)＝
g
(log25.1)，因為3＝log28＞
log25.1＞log24＝2＞20.8＞0，所以
g
(3)＜
g
(log25.1)＜
g
(20.8)，即
b
＜
a
＜
c
.故選D.D1234567891011121314151617
A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.a＜c＜bB1234567891011121314151617
12345678910111213141516177.[多選]已知函數
f
(
x
)＝
x
3＋
ax
2＋
bx
＋
c
在R上單調遞增，
f
'(
x
)為其導函數，則下
列結論正確的是(
AC
)A.f
'(1)≥0B.f(1)≥0C.a2－3b≤0D.a2－3b≥0[解析]因為函數
f
(
x
)＝
x
3＋
ax
2＋
bx
＋
c
，所以f'(
x
)＝3
x
2＋2
ax
＋
b
.因為函數
f
(
x
)在R上單調遞增，所以f'(
x
)≥0對于任意的
x
∈R恒成立，所以f'(1)≥0恒成立，但
f
(1)的大小未知.對于方程3
x
2＋2
ax
＋
b
＝0，Δ＝4
a
2－12
b
≤0，即
a
2－3
b
≤0.所以
正確的是AC.AC12345678910111213141516178.[2024武漢模擬]若函數
f
(
x
)＝(2
x
＋1)lnx
－
ax
是(0，＋∞)上的增函數，則實數
a
的最大值為
?.
4－2ln2
1234567891011121314151617
1234567891011121314151617
若選條件②，則
f
'(0)＝(1－2)×(1－
a
)＝0，所以
a
＝1.若選條件③，則依題意得0和ln2是關于
x
的方程(e
x
－2)(e
x
－
a
)＝0的兩個根，所以
a
＝e0＝1.[解析]
(1)
f
'(
x
)＝e2
x
－(
a
＋2)e
x
＋2
a
＝(e
x
－2)(e
x
－
a
).若選條件①，則
f
'(ln3)＝(3－2)×(3－
a
)＝2，所以
a
＝1.1234567891011121314151617[解析]
(2)
f
'(
x
)＝(e
x
－2)(e
x
－
a
).分以下幾種情況討論：①當
a
≤0時，令
f
'(
x
)＞0，則
x
＞ln2，令
f
'(
x
)＜0，則
x
＜ln2，所以
f
(
x
)在(－∞，ln2)上單調遞減，在(ln2，＋∞)上單調遞增.②當0＜
a
＜2時，令
f
'(
x
)＞0，則
x
＞ln2或
x
＜lna
，令
f
'(
x
)＜0，則lna
＜
x
＜ln2，所以
f
(
x
)在(－∞，lna
)，(ln2，＋∞)上單調遞增，在(lna
，ln2)上單調遞
減.③當
a
＝2時，
f
'(
x
)＝(e
x
－2)2≥0，所以
f
(
x
)在R上單調遞增.(2)若
a
∈R，討論函數
f
(
x
)的單調性.1234567891011121314151617④當
a
＞2時，令
f
'(
x
)＞0，則
x
＞lna
或
x
＜ln2，令
f
'(
x
)＜0，則ln2＜
x
＜lna
，所以
f
(
x
)在(－∞，ln2)，(lna
，＋∞)上單調遞增，在(ln2，lna
)上單調遞
減.綜上所述：當
a
≤0時，
f
(
x
)在(－∞，ln2)上單調遞減，在(ln2，＋∞)上單
調遞增；當0＜
a
＜2時，
f
(
x
)在(－∞，lna
)，(ln2，＋∞)上單調遞增，在
(lna
，ln2)上單調遞減；當
a
＝2時，
f
(
x
)在R上單調遞增；當
a
＞2時，
f(
x
)在(－∞，ln2)，(lna
，＋∞)上單調遞增，在(ln2，lna
)上單調遞減.1234567891011121314151617
A.(－2，1)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C1234567891011121314151617
1234567891011121314151617
f
(1＋
a
)＋
f
(1－
a
2)＞2轉化為
f
(1＋
a
)－1＋
f
(1－
a
2)－1＞0，即
F
(1＋
a
)＋
F
(1－
a
2)＞0，
所以
F
(1＋
a
)＞－
F
(1－
a
2)＝
F
(
a
2－1)，所以1＋
a
＞
a
2－1，即
a
2－
a
－2＜0，解得－1＜
a
＜2，即實數
a
的取值范圍是(－1，2).故選C.1234567891011121314151617
A.(－4，0)B.[－4，0)C.[－3，0)D.(－3，0)D1234567891011121314151617
1234567891011121314151617因為當
a
＜
b
＜
c
時，滿足
f
(
a
)＝
f
(
b
)＝
f
(
c
)，所以由圖可知
a
＋
b
＝－4，0＜
c
＜1，所以
af
(
a
)＋
bf
(
b
)＋
cf
(
c
)＝(
a
＋
b
＋
c
)
f
(
c
)＝(
c
－4)
f
(
c
)＝(
c
－4)
c
3＝
c
4－4
c
3.令
g
(
c
)＝
c
4－4
c
3，則當0＜
c
＜1時，g'(
c
)＝4
c
3－12
c
2＝4
c
2(
c
－3)＜0，所以
g
(
c
)在(0，1)上單調遞減，所以當0＜
c
＜1時，
g
(1)＜
g
(
c
)＜
g
(0)，即當0＜
c
＜1時，－3＜
g
(
c
)＜0，所以
af
(
a
)＋
bf
(
b
)＋
cf
(
c
)的取值范圍是(－3，0)，故選D.123456789101112131415161713.[多選/2024湖北武漢模擬]已知實數
a
，
b
滿足
a
e
a
＝
b
lnb
＝3，則(
AD
)A.a＝lnbB.ab＝eC.b－a＜e－1D.e＋1＜a＋b＜4AD1234567891011121314151617[解析]因為
a
e
a
＝3，所以
a
＞0.令
f
(
x
)＝
x
e
x
，
x
＞0，則
f
'(
x
)＝e
x
(
x
＋1)＞0在
(0，＋∞)上恒成立，所以
f
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