經濟數學基礎輔導第19講顧靜相4.5微分方程初步教學要求

了解微分方程的概念，會解簡單的一階微分方程．基本概念

定義4.3含有未知函數的導數或微分的方程，稱為微分方程．未知函數是一元函數的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現的未知函數導數

(或微分)的最高階數，稱為微分方程的階．基本概念

一階微分方程的一般形式為

．例如

，都是一階微分方程．

定義4.3含有未知函數的導數或微分的方程，稱為微分方程．未知函數是一元函數的微分方程，稱為常微分方程．微分方程中出現的未知函數導數

(或微分)的最高階數，稱為微分方程的階．基本概念

定義4.4如果一個函數代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數稱為該微分方程的解．基本概念

定義4.4如果一個函數代入微分方程后，使得方程兩端恒等，則此函數稱為該微分方程的解．

例如，y=x3+C，y=x3-1都是微分方程

y

=3x2的解．其中，

y=x3+C含有一個任意常數，它稱為該微分方程的通解，而

y=x3-1是

C=1時，該微分方程的解，它稱為該微分方程的特解．基本概念

為了確定通解中任意常數的值，通常需給出

x=x0

時未知函數對應的值

y=y0，記作

y(x0)

=y0或

．這一條件稱為初始條件．可分離變量的微分方程

如果一階微分方程

F(x,y,y

)=0可以化為

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，則

F(x,y,y

)=0稱為可分離變量微分方程．微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程．可分離變量的微分方程

如果一階微分方程

F(x,y,y

)=0可以化為

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，則

F(x,y,y

)=0稱為可分離變量微分方程．微分方程(19.1)稱為變量已分離的微分方程．

對變量已分離的微分方程(19.1)，可直接求得其通解．實際上，在(19.1)式兩邊積分，得

，(19.2)其中

C是任意常數．(19.2)就是微分方程(19.1)的通解表達式．可分離變量的微分方程注意：不定積分

，

分別表示g(y)

和

f

(x)的一個原函數，任意常數

C要單獨寫出來．例1解微分方程

．可分離變量的微分方程例1解微分方程

．解將原方程改寫為：

；分離變量，得：

；兩邊積分，得：

，即

．可分離變量的微分方程記

，則方程的通解為：

.解將原方程改寫為：

；分離變量，得：

；兩邊積分，得：

，即

．可分離變量的微分方程例2解微分方程

．可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程例2解微分方程

．解分離變量，原微分方程化為：

，兩邊積分，得：

，即

．由上式解得方程的通解：

.可分離變量的微分方程例3

求微分方程

滿足初始條件

的特解．可分離變量的微分方程例3

求微分方程

滿足初始條件

的特解．解將原方程化為：

．

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，

所以，原方程的通解為：

y=Csinx．可分離變量的微分方程由初始條件

，可得

C=3．故所求特解為：

y=3sinx．解將原方程化為：

．

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，

所以，原方程的通解為：

y=Csinx．一階線性微分方程

未知函數及其導數都是一次的微分方程，稱為一階線性微分方程．一階線性微分方程的一般形式為y′+p(x)y=q(x)．

(19.3)如果q(x)0，(19.3)式化為y′+p(x)y=0．

(19.4)稱為一階線性齊次微分方程．當q(x)0時，(19.3)式稱為一階線性非齊次微分方程．一階線性齊次微分方程的通解

方程

(19.4)

是可分離變量的微分方程．分離變量后，(19.4)式可化為：

，

兩邊積分，得：

．所以方程

(19.4)

的通解為：

．

(19.5)一階線性齊次微分方程例4

求下列一階線性齊次微分方程的通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．一階線性齊次微分方程例4

求下列一階線性齊次微分方程的通解：

．解

分離變量，得：

，兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．解

分離變量，得：

，

兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．一階線性齊次微分方程例5

求一階線性齊次微分方程=

0

滿足初始條件

y(1)

=

1的特解．解

分離變量，得：

，

兩邊積分，得：

，于是，得通解：

．由初始條件

y(1)

=1，可得

C=1．故所求特解為：

．一階線性非齊次微分方程的常數變易法

一階線性非齊次微分方程(19.3)的通解可以利用“常數變易法”得到．

首先求得微分方程

(19.3)

對應的一階線性齊次方程y′+p(x)y=0

的通解

(19.5)，然后將公式

(19.5)

式中的任意常數

C換為待定的函數

C=C(x)，即設方程(19.3)

的通解為：

．

(19.6)一階線性非齊次微分方程的常數變易法通過推導，得：(C是任意常數)，將上式代入(19.6)式，得：

．(19.7)

可以驗證，公式(19.7)就是一階線性非齊次方程(10.3)的通解，稱其為通解公式．

一階線性非齊次微分方程例6

求微分方程

的通解．一階線性非齊次微分方程例6

求微分方程

的通解．解先求對應的一階線性齊次方程：y+2xy=0的通解，得：

．運用“常數變易法”，令原方程的通解為：

，則

．

將

y和

y

代入原方程，得

，即

，積分，得：

．一階線性非齊次微分方程解先求對應的一階線性齊次方程：y+2xy=0的通解，得：

．運用“常數變易法”，令原方程的通解為：

，則

．

將

y和

y

代入原方程，得

，即

，積分，得：

．于是原方程的通解為：

．一階線性非齊次微分方程例7

求微分方程

y

-ycotx=

2xsinx的通解．一階線性非齊次微分方程例7

求微分方程

y

-ycotx=

2xsinx的通解．解法1

利用“常數變易法”求之，請大家課后練習．解法2用通解公式

(19.7)

求方程的通解，由于

，得