南京市2025屆高三年級學情調研數學2024.09注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規定的位置，否則不給分.3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，，則（）A.5 B.6 C.7 D.123.已知，.若，則（）A. B. C. D.4.已知數列為等差數列，前項和為.若，，則（）A. B. C.9 D.185.若是第二象限角，，則（）A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次）.甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”.從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為（）A.4 B.6 C.8 D.127.若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側面積為（）A.24 B.32 C.96 D.1288.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上.若，，則的面積為（）A. B.25 C. D.55二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.已知復數z，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則的虛部為C.若，則 D.若，則10.對于隨機事件A，B，若，，，則（）A. B. C. D.11.設函數，則（）A.的定義域為 B.的圖象關于對稱C.的最小值為D.方程在上所有根的和為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上12.展開式中的常數項是___________.13.與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為___________.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與相交于另一點.當最小時，的離心率為___________.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）小王早晨7：30從家出發上班，有A，B兩個出行方案供其選擇，他統計了最近100天分別選擇A，B兩個出行方案到達單位的時間，制成如下表格：8點前到（天數）8點或8點后到（天數）A方案2812B方案3030（1）判斷并說明理由：是否有95%的把握認為在8點前到單位與方案選擇有關；（2）小王準備下周一選擇A方案上班，下周二至下周五選擇B方案上班，記小王下周一至下周五這五天中，8點前到單位的天數為隨機變量X.若用頻率估計概率，求.附：，其中，0.100.050.0250.0100.0112.7063.8415.0246.63510.82816.（本小題滿分15分）如圖，在四面體中，是邊長為3的正三角形，是以AB為斜邊的等腰直角三角形，E，F分別為線段AB，BC的中點，，.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線BD與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知數列，，，，且為等比數列.（1）求的值；（2）記數列的前項和為.若，求的值.18.（本小題滿分17分）已知，是雙曲線的左、右焦點，，點在C上.（1）求的方程（2）設直線過點，且與交于A，B兩點.①若，求的面積；②以線段AB為直徑的圓交軸于P，Q兩點，若，求直線的方程.19.（本小題滿分17分）已知函數，.（1）當時，求曲線在處切線的方程；（2）當時，試判斷在上零點的個數，并說明理由；（3）當時，恒成立，求的取值范圍.南京市2025屆高三年級學情調研數學參考答案2024.09一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.12345678DDABACCB二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.91011ABBCDACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.240 13. 14.四、解答題：本大題共5小題，共77分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）解：（1）假設點前到單位與方案選擇無關，則.，所以有的把握認為8點前到單位與路線選擇有關.（2）選擇方案上班，8點前到單位的概率為0.7，選擇方案上班，8點前到單位的概率為0.5.當時，則分兩種情況：①若周一8點前到單位，則.（2）若周一8點前沒有到單位，則.綜上，.16.（本小題滿分15分）解：（1）因為E，F分別為線段AB，BC中點，所以.因為，，即，所以，所以.又平面，平面，所以平面.（2）取AC中點，連接DO，OE因為為正三角形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為O，E分別為AC，AB中點，則.又因為，所以.以為坐標原點，OE，OC，OD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，故，，.設平面的法向量為，直線BD與平面所成角為，則即取.則，所以BD與平面所成角的正弦值為.17.（本小題滿分15分）解：（1）因為，則，，，.又，則，，.因為為等比數列，則，所以，整理得，解得或2.因為，故.當時，.則，故為等比數列，所以符合題意.（2）當為偶數時，當為奇數時.綜上，因為，又，故，所以為偶數.所以，整理得，解得或（舍），所以.18.（本小題滿分17分）解：（1）由題意可知，點在上，根據雙曲線的定義可知，即，所以，則，所以的方程為.（2）①設，.因為，所以，所以點坐標為，因為A，B在雙曲線上，所以解得，，所以點坐標為，所以.②當直線與軸垂直時，此時不滿足條件.設直線的方程為，，，，.直線與聯立消去，得，所以，.由，得且.以AB為直徑的圓方程為，令，可得，則，為方程的兩個根，所以，，所以.解得（舍）或，即，所以直線的方程為：.19.（本小題滿分17分）解：（1）當時，，則，所以曲線在處切線的斜率.又因為，所以曲線在處切線的方程為.（2），，則，當時，，則在上單調遞增.因為，，所以存在唯一的，使得.當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.又因為，所以.又因為，所以當時，在上有且只有一個零點.（3）①當時，，與當時，矛盾，所以不滿足題意.②當時，，，，.記函數，，則，當時，，所以在單調遞增；當時，，所以在單調遞減，所以，所以.又因為在