第九章統計9.2用樣本估計總體9.2.4總體離散程度的估計2.中位數：把一組數據按大小順序排列,處在最中間的一個數據(或兩個數據的平均數);在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等.1.眾數：一組數據中重復出現次數最多的數;在頻率分布直方圖中，眾數的估計值為最高矩形底邊的中點．3.平均數：如果有n個數據那么這n個數的平均數在頻率分布直方圖中，平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.復習問題:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：

甲7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？777777兩名運動員射擊成績的平均數、中位數、眾數各為多少？甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數、中位數、眾數都是7.從這個角度看，兩名運動員之間沒有差別.從上圖看，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩定．可見，他們的射擊成績是存在差異的．那么，如何度量成績的這種差異呢？

一種簡單的度量數據離散程度的方法就是用極差.可以發現甲的成績波動范圍比乙的大.甲命中環數的極差=10-4=6，乙命中環數的極差=9-5=4.極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度.但因為極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息,對其他數據的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.思考：你還能想出其他刻畫數據離散程度的辦法嗎?如果射擊的成績很穩定，那么大多數的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數的射擊成績離平均成績會比較遠．因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度．思考：如何定義“平均距離”?假設一組數據是x1,x2,…,xn，用表示這組數據的平均數.我們用每個數據與平均數的差的絕對值作為“距離”,即作為xi到

的“距離”.可以得到這組數據x1,x2,…,xn到的“平均距離為思考：為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用“總距離”行嗎?為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即我們將其定義為這組數據的方差.有時為了計算方便，還把方差寫成：由于方差的單位是原始數據單位的平方,與原始數據不一致.為了使二者單位一致,對方差開平方,取它的算術平方根,即我們稱其為這組數據的標準差.思考：標準差的取值范圍是什么？標準差為0的一組數據有什么特點？[0,+∞)所有數據都相等總體方差、總體標準差的定義如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱

S2=

為總體方差，S=為總體標準差

．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為樣本方差、樣本標準差的定義如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為

，則稱

s2=為樣本方差，s=為樣本標準差

．說明：標準差和方差刻畫了數據的離散程度或波動幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越大；標準差（或方差）越小，數據的離散程度越小．在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用標準差.總體方差的計算12能獲得總體中所有個體的觀測值：直接計算總體的方差獲得總體中所有個體的觀測值困難：由s甲>s乙可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩定.s甲=2，s乙≈1.095如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽,要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.如果兩人都排在前面，就選成績穩定的乙選手，否則可以選甲.回顧問題：兩位射擊運動員每次命中的環數如下：

甲7

8

7

9

5

4

9

10

7

4，

乙9

5

7

8

7

6

8

6

7

7，練習求52,49,48,55,47,48,56,53的方差及標準差．例題：在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為，其平均數記為，方差記為；

把女生樣本記為，其平均數記為，方差記為

；

把總體數據樣本的平均數記為，方差記為；由,根據按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數與各層樣本平均數的關系，可得總樣本平均數為我們可以計算出總樣本的方差為51.4862，并據此估計高一年級學生身高的總體方差為51.4862.歸納：分層隨機抽樣總樣本方差的計算練習1.為了調查公司員工的健康狀況，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，若樣本中有20名男員工，30名女員工，且男員工的平均體重為70kg，標準差為4，女員工的平均體重為50kg，標準差為6，則所抽取樣本的方差為________.2.在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數學成績統計如下表：

問題：平均數反映數據的集中趨勢，標準差刻畫了數據離平均數的波動大小，那么將平均數和標準差綜合在一起，是否能反映數據取值的信息．總體離散程度的估計極差一組數據中最大值與最小值的差.方差標準差

或分層隨機抽樣總體樣本方差的計算估計樣本中絕大部分數據的取值范圍應用課堂小結1.不經過計算，你能給下列各組數的方差排序嗎?（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8.練習解：方差由大到小為（4）（3）（2）（1）.課本213頁2.數據x1，x2，…，xn的方差和標準差分別為，數據y1，y2，…，yn的方差和標準差為.若y1=ax1+b，y2=ax2+b，…，yn=axn+b成立，a,b為常數，證明證明：此題結論可當作公式直接運用.課本215頁練習若給定一組數據x1，x2，…，xn，方差為s2.(1)ax1，ax2，…，axn的方差是________；(2)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是________.a2s2a2s2練習2.若樣本數據x1，x2，…，