專題7-2求曲線方程與動點軌跡歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01定義法求軌跡：動直線圓型 1題型02定義法求軌跡：橢圓型 2題型03定義法求軌跡：雙曲線型 3題型04定義法求軌跡：拋物線型 3題型05直接法：所見即所得型 4題型06點帶入法：相關點型 5題型07交軌法 6題型08消參型 7題型09空間軌跡：截面型 8題型10空間軌跡：雙球模式 10題型11空間軌跡：定角模式 11高考練場 12題型01定義法求軌跡：動直線圓型【解題攻略】如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，可直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法.平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑．若直線含參，參數在x系數出，則不包含豎直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1若直線含參，參數在y的系數出，則不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1若直線參數在常數位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行【典例1-1】（2024上·福建泉州高三校考階段練習）設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（

）A．5 B．10 C． D．【典例1-2】（2024上·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考階段練習）已知，直線：與：的交點在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【變式1-3】（2022·四川南充高三（理））過定點M的直線與過定點N的直線交于點P，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．8題型02定義法求軌跡：橢圓型【解題攻略】平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內一個定點，且，P是圓上任意一點.線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q，當點P在圓上運動時，則點Q的軌跡是（

）

A．面積為的圓 B．面積為的圓 C．離心率為的橢圓 D．離心率為的橢圓【典例1-2】．（2023·江蘇高三專題練習）若點滿足方程，則動點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2023秋高三課時練習）已知動點滿足（為大于零的常數）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【變式1-2】（2023·江蘇高三專題練習）已知動圓過定點，并且在定圓B：的內部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2020秋·山東淄博高三校考）已知圖O的半徑為定長r,A是圓O內一個定點,P是圓上任意一點,線段AP的垂直平分線和半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是（

）A．圈 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．雙曲線的兩支CB.題型03定義法求軌跡：雙曲線型【解題攻略】平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．【典例1-1】已知，，若曲線上存在點滿足，則的取值范圍是___________.四川省內江市2022屆高三第三次模擬考試數學（文）試題【典例1-2】（2023上·四川涼山高三校聯考）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2023上·北京高三北京市陳經綸中學校考階段練習）化簡方程的結果是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，一動圓與軸切于點，分別過點作圓的切線并交于點(點不在軸上)，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．或D．【變式1-3】（2023上·江蘇連云港高三統考）方程可化簡為（

）A． B．C． D．題型04定義法求軌跡：拋物線型【解題攻略】平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．【典例1-1】若動點滿足，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【典例1-2】已知動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【變式1-1】.已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為_____________．【變式1-2】若動點滿足，則點的軌跡應為（

）A．橢圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．圓【變式1-3】.若點滿足，則動點M的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線題型05直接法：所見即所得型【解題攻略】如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．（1）到線段兩端點相等的點的軌跡是該線段的垂直平分線．（2）到角的兩邊相等的點的軌跡是該角的平分線及外角平分線．（3）平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑．求解過程：（1）建系：建立適當的坐標系（2）設點：設軌跡上的任一點Px,y（3）列式：列出有限制關系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y的代數式表示，（5）檢驗：對某些特殊值應另外補充檢驗．【典例1-1】（2024上·安徽合肥高三合肥一中校考階段練習）平面上動點到定點的距離比點到軸的距離大，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或【典例1-2】（2024·浙江溫州·統考一模）動點到定點的距離與到定直線：的距離的比等于，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2022上高三課時練習）在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若=2，則點C的軌跡為（

）A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線【變式1-2】（2021上·廣東深圳高三統考）已知點，，動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2022上·上海浦東新高三華師大二附中校考階段練習）在平面內，，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線.題型06點帶入法：相關點型【解題攻略】如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出Px,y,用x,y表示出相關點P'的坐標,然后把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P第一步：設所求軌跡的點，曲線上的動點；第二步：找出與的關系，由表示，即；第三步：滿足已知的曲線方程，將代人，消去參數．對于不符合條件的點要注意取舍．【典例1-1】（2022上·北京高三北京二中校考階段練習）設為坐標原點，動點在橢圓C：上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024下·江西·高三校聯考開學考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2021上·河南安陽高三安陽市第三十九中學校考）已知，A、B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，，則動點P的軌跡方程是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式1-2】（2024·全國高三專題練習）當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2023上·湖南湘潭高三湘潭大學附屬實驗學校校考）已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型07交軌法【解題攻略】求兩曲線的交點軌跡時,可由方程直接消去參數,或者先引入參數來建立這些動曲線的聯系,然后消去參數來得到軌跡方程,稱之交軌法.該法經常與參數法并用.1.求兩條動直線交點軌跡方程一般用交軌法2.運用交軌法探求軌跡方程問題，主要是把選取的參數看成已知數，寫出兩條動曲線方程，關鍵是參數的選取，困難是參數的消去．怎么把選取的參數看成已知數，寫出兩條動曲線方程？如何選取參數？怎樣消去參數？【典例1-1】（2019上·江西鷹潭高三統考）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，分別過作拋物線的切線，則的交點的軌跡方程是A． B． C． D．【典例1-2】（2020上·遼寧沈陽·高三校聯考）已知橢圓，點A，B分別是它的左，右頂點.一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，又當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，則直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2021上·北京高三校考）已知定點是動點且直線的斜率之積為，動點的軌跡不可能是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【變式1-2】（2021·全國高三專題練習）在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，是動點，且直線與的斜率之積等于，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式1-3】．（2023上·全國高三專題練習）已知在中，點，點，若，則點C的軌跡方程為（

）A． B．（）C． D．（）題型08消參型【解題攻略】有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發現（或經分析可發現）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，截距或時間等）的制約，即動點坐標x,y中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數，由此建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法，進而通過消參化為軌跡的普通方程Fx,y（1）選擇坐標系，設動點坐標；（2）分析軌跡的已知條件，選定參數（選擇參數時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數）；（3）建立參數方程；（4）消去參數得到普通方程；（5）討論并判斷軌跡．【典例1-1】（2022上·河南信陽高三信陽高中校考）已知橢圓，作垂直于x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，作垂直于y軸的垂線交橢圓于C、D兩點，且ABCD，兩垂線相交于點P，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【典例1-2】（2020下·四川成都高三樹德中學校考）已函數的兩個極值點是和，則點的軌跡是（

）A．橢圓弧 B．圓弧 C．雙曲線弧 D．拋物線弧【變式1-1】（2020·全國·高三專題練習）過點的動直線交圓于，兩點，分別過，作圓的切線，如果兩切線交于點，那么點的軌跡是（

）A．直線 B．直線的一部分C．圓的一部分 D．雙曲線的一支【變式1-2】（2023上·全國高三）在矩形中，，，點，分別為直線，上的動點，交于點.若（），則點的軌跡是（

）A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【變式1-3】（2022·浙江·高三專題練習）已知是雙曲線的左右焦點，為圓上一動點（縱坐標不為零），直線分別交兩條漸近線于兩點，則線段中點的軌跡為（）A．平行直線 B．圓的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分題型09空間軌跡：截面型【典例1-1】（2023春·江西撫州高三金溪一中校聯考）如圖所示圓錐，為母線的中點，點為底面圓心，為底面圓的直徑，且，，的長度成等比數列，一個平面過，，與圓錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為．【典例1-2】（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考開學考試）如圖所示，（直徑為的球放地面上，球上方有一點光源，則球在地面上的投影為以球與地面切點為一個焦點的橢圓，已知是橢圓的長軸，垂直于地面且與球相切，，則橢圓的離心率為．【變式1-1】（2023·上海高三專題練習）已知圓柱底面半徑為2，一個與底面成45°角的平面截這個圓柱，則截面上的橢圓離心率為．【變式1-2】如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．【變式1-3】1822年，比利時數學家Dandelin利用圓錐曲線的兩個內切球，證明了用一個平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點），實現了橢圓截線定義與軌跡定義的統一性．在生活中，有一個常見的現象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個占正上方有一個點光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）A． B． C． D．題型10空間軌跡：雙球模式【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發對這個問題進行過研究，其中比利時數學家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創造性．在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F為焦點的橢圓．如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為．【典例1-2】（2023·湖北·校聯考模擬預測）在圓錐內放入兩個大小不等的外離的球與球，半徑分別為和，且，使得它們與圓錐側面和截面相切，兩個球分別與截面相切于點，，在截口上任取一點，又過點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點，則可知線段的長度之和為常數.若圓錐軸截面為等邊三角形，則截口曲線的離心率是.【變式1-1】（2023秋·四川樂山高三統考）比利時數學家丹德林發現：在圓錐內放兩個大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側面得到的截面曲線是橢圓.這個結論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為，底面半徑為的圓柱體內放兩個球，球與圓柱底面及側面均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個橢圓，該橢圓的離心率為.【變式1-2】（2023秋·四川樂山高三統考）比利時數學家丹德林發現：在圓錐內放兩個大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側面?底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側面得到的截面曲線是橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點）.如圖，圓錐的錐角為，斜截面與圓錐軸所成角為，則橢圓的離心率為.題型11空間軌跡：定角模式【典例1-1】（2022春·福建龍巖高三福建省長汀縣第一中學校考階段練習）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動點滿足，則點的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【典例1-2】（2021春·浙江湖州高三浙江省德清縣第三中學校考開學考試）如圖，在棱長為1的正方體中，點M是底面正方形的中心，點P是底面所在平面內的一個動點，且滿足，則動點P的軌跡為（

）A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【變式1-1】（2019秋·浙江高三校聯考）斜線段PA與平面M成α角，斜足為A，動直線PB與直線PA成β（β＜α）角，交平面M于點B，動點B的軌跡圖形為（

）A．一條直線 B．一個圓 C．一個半圓 D．一個橢圓【變式1-2】（2017秋·江西吉安高三階段練習）如圖，斜線段與平面所成的角為60°，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支高考練場1.（2021·湖南·益陽平高學校高二）設，過定點的動直線和過定點