對數與對數運算1.如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數x叫做

,記作

，其中a叫做

，N叫做

.2.對數的性質:(1)1的對數等于

;(2)底數的對數等于

;(3)零和負數沒有

.3.以10為底的對數叫做

,log10N記作

.4.以無理數e=2.71828…為底的對數稱為

，logeN記作

.以a為底N的對數x=logaN對數的底數真數01對數慣用對數lgN自然對數lnN5.alogaN=

.6.對數換底公式為

.7.如果a>0，且a≠1，M>0;N>0，那么：（1）loga(MN)=

；loga(N1N2…Nk)=

;（2）loga=

;（3）logaMn=

.NlogaM+logaNlogaN1+logaN2+…+logaNklogaM-logaNnlogaMlogbN=學點一不查表計算對數值計算下列各式的值:(1);(2);(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5;(4)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【分析】根據對數的運算性質發明條件，靈活地加以應用.【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2+3lg2·lg5=(lg2+lg5)2=1.（4）解法一：原式=lg（500×85）-lg+50［lg(2×5)］2=lg800-lg8+50=lg+50=lg100+50=2+50=52.解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5-lg82+50=lg100+50=52.【評析】（1）對于有關對數式的化簡問題，解題的慣用辦法：①“拆”：將積（商）的對數拆成兩對數之和（差）；②“收”：將同底的和（差）的對數收成積（商）的對數.（2）分是為了合，合是為了分，注意本例解法中的拆項、并項不是盲目的，它們都是為了求值而進行的.計算下列各式的值:(1)lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(2);(3)(1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.(2)原式=.

(3)原式=學點二求值問題【分析】解本題的核心是設法將45的慣用對數分解為2,3的慣用對數,再代入計算.【解析】解法一:=lg45=lg=(lg9+lg10-lg2)=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2=0.4771+0.5-0.1505=0.8266.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求的值.【評析】在運算過程中注意運算法則的對的運用,體會lg2+lg5=1性質的靈活運用.解法二:=lg45=lg(5×9)=(lg5+2lg3)=(1-lg2+2lg3)=-lg2+lg3=0.8266.(1)用lg2和lg3表達lg75;(2)用logax,logay,logaz表達loga.(1)原式=lg(25×3)=lg(52×3)=2lg5+lg3=2lg（）+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3.(2)原式=loga(x4·)-loga=4logax+loga(y2z)-loga(xyz3)=4logax+(2logay+logaz)-(logax+logay+3logaz)=logax+logay-logaz.學點三條件求值已知log189=a,18b=5,求log3645.【分析】運用對數換底公式和其它對數公式變形.【解析】解法一：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645==解法二：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645=.【評析】（1）解決這類問題，要注意分析條件和所求式子之間的聯系，找到聯系就找到了思路.（2）當出現多個不同底的對數時，往往要用換底公式統一成適宜的同底來解決，要有“化同底”的意識.（3）題中運用了“方程組”的觀點，把log32,log35作為兩個未知數解決.(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.(1)∵6a=27,∴a=log627=,∴log23=.∴log1618=.(2)a=log310=log32+log35①b=log325log36=②由①②可知log32=,log35=.于是log445=.學點四對數方程已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x.【分析】對簡樸的對數方程，同底法是最基本的求解辦法，運用換底公式可得logaN=loganNn(N>0,n≠0).【解析】原方程可化為log9(x-1)2=log9(x+5),∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.將x=-1，x=4分別代入方程,檢查知x=-1不合題意，舍去.∴原方程的根為x=4.【評析】注意解題的等價變形，如本題中將log3(x-1)化為log9(x-1)2，實質上是非等價變形，擴大了定義域，因此，在解對數方程后要驗根.方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解為

.(1)∵log2(x-1)=2-log2(x+1),∴log2(x2-1)=2,∴x2-1=4,∴x=±5.經檢驗,x=-5是增根,舍去.∴方程的解為x=5.【評析】對數的換底公式在對數式的化簡、求值、證明中有廣泛的應用.當對數式的底數不同時，可運用換底公式化為同底的對數式，再進行有關的運算.【解析】(1)換為常用對數,得log89·log2732==.(2)原式=71+lg2·21-lg7=(7×2)(7lg2×2-lg7)=14.【分析】運用換底公式及其它對數公式化簡求值.(1)求log89·log2732的值;(2)求7lg20·()lg0.7的值.學點五換底公式的應用(1)（2）15

解：(1)原式=(log32+)（)=log32×log23=.(2)原式=++13=15.(1)(log32+log92)(log43+log83)=

.(2)log2+log927+4=

.1.如何理解對數的有關概念？(1)對數概念比較難理解,學習時要注意對數是冪運算的逆運算,是由底和冪求冪指數的運算.抓住對數與指數的互相聯系,深刻理解對數與指數的關系.(2)重視指數式與對數式的互化,運用指數式研究對數式的運算性質.(3)對數運算是指數運算的逆運算,結合對數運算培養自己的逆向思維能力.2.如何掌握對數的有關運算公式?（1）對公式形式要熟悉,公式的導出要理解,公式中的限制條件要記住.（2）運用對數運算法則時,要注意各個字母的取值范疇:M>0,N>0,a>0,a≠1,要注意,只有所得成果中對數和所給出的數的對數都存在時,等式才干成立.例如:log2［(-3)×(-5)］是存在的,但lo