專題2.3拋物線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：拋物線的定義】 1【考點2：拋物線的標準方程與性質】 1【考點3：拋物線的焦點弦】 2【考點4：拋物線的實際應用】 2【考點1：拋物線的定義】【知識點：拋物線的定義】平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．[方法技巧]利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．1．（2022·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F.若直線x=4與C交于A，B兩點，且AB=8，則A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·河南安陽·高二階段練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，點P1,y0在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·江西·高三階段練習（文））若拋物線y=x28上一點P到焦點的距離為6，則點P4．（2022·全國·成都七中高三開學考試（理））設F?是拋物線C：y2=4x?的焦點，點A?在拋物線C?上，B35．（2022·安徽省皖西中學高二期末）已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M（位于第一象限）到焦點F的距離等于2p，則直線6．（2023·全國·高三專題練習）P是拋物線y2=8x上的動點，P到y軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2+(y?3)【考點2：拋物線的標準方程與性質】【知識點：拋物線的標準方程與性質】圖形標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求拋物線的標準方程的方法(1)定義法根據拋物線的定義，確定p的值(系數p是指焦點到準線的距離)，再結合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數法①根據拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程．②當焦點位置不確定時，有兩種方法解決：法一分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，為避免開口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解法二設成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點所在的坐標軸，應考慮上述兩種情況設方程1．（2022·江蘇南通·高三階段練習）拋物線y=8x2的焦點到準線的距離是（A．132 B．116 C．22．（2023·全國·高三專題練習）點M(5,3)到拋物線y=ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（A．x2=112yC．x2=?136y3．（2022·廣東·高三階段練習）已知點Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點，過點A作C準線的垂線，垂足為B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 4．（2022·上海市向明中學高三開學考試）設拋物線C:x2=8y的焦點為F，準線為l，Px0,yA．當x0=4時，B．當x0=2時，拋物線C在點PC．|PA|+|PF|的最小值為3D．|PA|?|PF|的最大值為55．（2021·全國·高二專題練習）（多選）對于拋物線上18x2A．開口向上，焦點為0,2 B．開口向上，焦點為0,C．焦點到準線的距離為4 D．準線方程為y=?46．（2021·全國·高二課時練習）（多選）平面內到定點F(0,1)和到定直線l:y=?1的距離相等的動點的軌跡為曲線C．則（

）A．曲線C的方程為xB．曲線C關于y軸對稱C．當點P(x,y)在曲線C上時，y≥2D．當點P在曲線C上時，點P到直線l的距離d≥27．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點M?1,28．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點F到直線l:2x?y?3=0的距離為59．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點是F，A是C的準線上一點，線段AF與C交于點B，與y軸交于點D，且|AB|=5|BF|，S10．（2022·全國·高二課時練習）分別根據下列條件，求拋物線的標準方程．(1)準線方程是4y+1=0；(2)拋物線的焦點是雙曲線16x(3)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF=5【考點3：拋物線的焦點弦】【知識點：焦點弦的常用結論】以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準線上的射影為A1，B1，則有以下結論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ為直線AB的傾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線．1．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線y2=4xp>0的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則1A．2 B．4 C．12 D．2．（多選）（2023·全國·高三專題練習）過拋物線x2=6y的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，M為線段AB的中點，則（A．以線段AB為直徑的圓與直線y=?3B．以線段BM為直徑的圓與y軸相切C．當AF=2FBD．AB的最小值為63．（多選）（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于點Px1,y1，Qx2,y2，點A．若x1+x2=6，則PQ=8C．若M0,1，則PM+P4．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線E:y2=4x的焦點為F，準線為l，過F的直線與E交于A,B兩點，C,D分別為A,B在lA．若直線AB的傾斜角為45°，則B．若AF=2FB，則直線ABC．若O為坐標原點，則B,O,C三點共線D．CF⊥DF5．（2022·四川·德陽五中高二階段練習（理））已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，準線l與x軸交于點H，過焦點F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準線l的垂線，垂足分別為A①以線段AB為直徑的圓與準線l相切；②1AF③S△AOB=p④若點Mp,0，且AF=AM，則直線AB⑤若已知點A的橫坐標為x0，且已知點T?x6．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線y2=3x，過焦點F作傾斜角為30°的直線與拋物線交于A7．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線y2=4x，過焦點F作直線與拋物線交于A，B，若8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，設直線l過焦點F且與拋物線y2=2pxp>0交于A?,?B9．（2022·全國·高三專題練習）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過焦點Fp2,0的直線l相交于A,B兩點，若【考點4：拋物線的實際應用】【知識點：拋物線的實際應用】拋物線的幾何特性在實際中應用廣泛，解決此類問題的關鍵是根據題意(一般是根據題中所給圖形)建立適當的直角坐標系，設出拋物線的標準方程，依據題意得到拋物線上一點的坐標，從而求出拋物線方程，進而解決實際問題．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黃浦江上的盧浦大橋（圖1）整體呈優美的弧形對稱結構，如圖2所示，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，若主拱的頂端P點到橋面的距離等于橋面與江面之間的距離，且AB=550米，則CD約為（精確到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米2．（2022·全國·高三專題練習）拋物線有如下的光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點（1，－2）射入，經拋物線上的點P反射后，再經拋物線上另一點Q反射后射出，則|PQ|=（A．252 B．13 C．2723．（2022·北京市第五中學高二期中）如圖所示，汽車前燈反光鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反光鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處．已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反光鏡的頂點（即截得拋物線的頂點）距離為（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm4．（2021·江蘇·高三階段練習）如圖1，某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設計成拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面），熱饋源安裝在拋物線的焦點處，圓柱形防護罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面，防護罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離，已知口徑長為40cm，防護罩寬為15cm，則頂點O到防護罩外端CD的距離為（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm5．（2022·全國·高二課時練習）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為______m．6．（2022·江蘇·高二）一輛卡車要通過跨度為8米、拱高為4米的拋物線形隧道，為了保證安全，車頂上方與拋物線的鉛垂距離至少0.5米．隧道有兩條車道，車輛在其中一條車道行駛，卡車寬為2.2米，車廂視為長方體，則卡車的限高為_____米（精確到0.01米）.7．（2023·安徽省宣城中學模擬預測）根據拋物線的光學性質可知，從拋物線的焦點發出的光線經該拋物線反射后與對稱軸平行，一條平行于對稱軸的光線經該拋物線反射后會經過拋物線的焦點.如圖所示，從A5,m1沿直線y=m18．（2022·安徽·合肥市第六中學高二期末）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；(2)為滿足生產的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．9．（2022·全國·高二課時練習）某城市在主干道統一安裝了一種新型節能路燈，該路燈由燈柱和支架組成．在如圖所示的平面直角坐標系中，支架ACB是拋物線y2=2x的一部分，燈柱CD經過該拋物線的焦點F且與路面垂直，其中B為拋物線的頂點，DH表示道路路面，BF∥DH，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線與拋物線在(1)求燈罩軸線所在的直線方程；(2)若路寬為10m，求燈柱的高．專題2.3拋物線TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：拋物線的定義】 1【考點2：拋物線的標準方程與性質】 4【考點3：拋物線的焦點弦】 10【考點4：拋物線的實際應用】 18【考點1：拋物線的定義】【知識點：拋物線的定義】平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．[方法技巧]利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化．“看到準線應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑．1．（2022·山東·汶上縣第一中學高三開學考試）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F.若直線x=4與C交于A，B兩點，且AB=8，則A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】將x=4代入y2=2px，求出點A、B的坐標，利用弦長求出【詳解】將x=4代入y2=2px，解得則A(4,22p)、所以|AB|=42p=8，解得則AF=故選：C.2．（2022·河南安陽·高二階段練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，點P1,y0在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若∠FPQ=120°A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據拋物線的定義，結合條件表示出MF,QF的長度，然后列出方程即可得到結果.【詳解】如圖，不妨令P在x軸上方，準線l與x軸交點為M，因為點P1,y0在C上，根據拋物線定義可得且∠FPQ=120°，則∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ為等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距離為6.故選:C.3．（2022·江西·高三階段練習（文））若拋物線y=x28上一點P到焦點的距離為6，則點P【答案】4【分析】根據拋物線的方程求出準線，再由拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線方程y=x28由拋物線的定義可知，點P到準線y=?2的距離為6，所以點P到x軸的距離為4．故答案為：44．（2022·全國·成都七中高三開學考試（理））設F?是拋物線C：y2=4x?的焦點，點A?在拋物線C?上，B3【答案】2【分析】根據題意可得焦點F的坐標，進而可得BF，由AF=2BF，可得AF=4【詳解】由可知焦點F(1,0)，B3，0∵AF=2BF∴?點A?到拋物線準線的距離為4?.∵?拋物線的準線方程為x=?1?，∴點A的橫坐標x=3,∴A3，2∴AB=2故答案為：235．（2022·安徽省皖西中學高二期末）已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M（位于第一象限）到焦點F的距離等于2p，則直線【答案】3【分析】利用拋物線的定義可M點的橫坐標，代入拋物線方程求出M的坐標，再利用斜率公式求解即可.【詳解】因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M與焦點F的距離所以xM所以xM=3p2，進而有所以點M的坐標為(3所以直線MF的斜率為3p?0故答案為：3.6．（2023·全國·高三專題練習）P是拋物線y2=8x上的動點，P到y軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2+(y?3)【答案】34【分析】求出圓心坐標和拋物線的焦點坐標，把d1+d【詳解】圓C:(x+3)2+(y?3)2拋物線y2=8x的焦點因為P是拋物線y2=8x上的動點，P到y軸的距離為d1，到圓C:(x+3)2所以要使d1+d2最小，即連接FC，則d1+d即(?3?2)2所以d1+d故答案為：34【考點2：拋物線的標準方程與性質】【知識點：拋物線的標準方程與性質】圖形標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)離心率e＝1焦半徑|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)[方法技巧]求拋物線的標準方程的方法(1)定義法根據拋物線的定義，確定p的值(系數p是指焦點到準線的距離)，再結合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數法①根據拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程．②當焦點位置不確定時，有兩種方法解決：法一分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，為避免開口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解法二設成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點所在的坐標軸，應考慮上述兩種情況設方程1．（2022·江蘇南通·高三階段練習）拋物線y=8x2的焦點到準線的距離是（A．132 B．116 C．2【答案】B【分析】將拋物線的方程化為標準方程，根據焦準距的意義，可得答案.【詳解】拋物線y=8x2化為標準方程為拋物線則其焦準距為p=116，即焦點到準線的距離是故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）點M(5,3)到拋物線y=ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（A．x2=112yC．x2=?136y【答案】D【解析】將y=ax2轉化為x2=1ay【詳解】將y=ax2轉化為當a>0時，拋物線開口向上，準線方程y=?14a，點M(5,3)到準線的距離為3+14a=6，解得a=當a<0時，拋物線開口向下，準線方程y=?14a，點M(5,3)到準線的距離為3+14a=6，解得a=?136所以拋物線的方程為x2=12y故選：D【點睛】易錯點睛：本題考查求拋物線的標準方程，解題時要注意，已知拋物線方程，求它的焦點坐標，準線方程等，一定要注意所給方程是不是標準形式，若不是，一定要先轉化為標準形式，然后根據標準形式的類型，確定參數p的值及拋物線的開口方向等，然后給出結論.3．（2022·廣東·高三階段練習）已知點Am,2為拋物線C:y2=2pxp>0上一點，過點A作C準線的垂線，垂足為B．若△AOB（OA．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】根據點Am,2為拋物線C:y2【詳解】由題意點Am,2為拋物線C:y2即m=2p，則△AOB的面積解得p=2，故選：C4．（2022·上海市向明中學高三開學考試）設拋物線C:x2=8y的焦點為F，準線為l，Px0,yA．當x0=4時，B．當x0=2時，拋物線C在點PC．|PA|+|PF|的最小值為3D．|PA|?|PF|的最大值為5【答案】B【分析】由焦半徑求出|PF|的值判斷A，利用導數的幾何意義可得切線方程判斷B，利用拋物線定義結合圖象可判斷CD.【詳解】當x0=4時，y0當x0=2時，y0=12，由所以拋物線C在點P處的切線方程為y?12=如圖，過點P作PB⊥準線于點B，則由拋物線定義可知：PF=則PA+PF=PA+PB，當由題意得：F0,2，連接AF并延長，交拋物線于點P此點即為|PA|?|PF|取最大值的點，此時PA?其他位置的點P'，由三角形兩邊之差小于第三邊得：P故|PA|?|PF|的最大值為5，故D正確.故選：B.5．（2021·全國·高二專題練習）（多選）對于拋物線上18x2A．開口向上，焦點為0,2 B．開口向上，焦點為0,C．焦點到準線的距離為4 D．準線方程為y=?4【答案】AC【分析】寫出標準形式即x2【詳解】由拋物線18x2=y，即x2故選：AC6．（2021·全國·高二課時練習）（多選）平面內到定點F(0,1)和到定直線l:y=?1的距離相等的動點的軌跡為曲線C．則（

）A．曲線C的方程為xB．曲線C關于y軸對稱C．當點P(x,y)在曲線C上時，y≥2D．當點P在曲線C上時，點P到直線l的距離d≥2【答案】AB【分析】由拋物線定義，可知曲線C是以F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為x2【詳解】由拋物線定義，知曲線C是以F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為x2若點(x,y)在曲線C上，則點(?x,y)也在曲線C上，故曲線C關于y軸對稱，故B正確；由x2=4y知點P到直線l的距離d≥1，所以D錯誤故選：AB7．（2022·全國·高三專題練習）頂點在原點，關于x軸對稱，并且經過點M?1,2【答案】y【分析】設拋物線方程為y2=mx,m≠0，代入點M?1,2【詳解】依題意，設拋物線方程為y2=mx,m≠0，于是得22所以所求拋物線方程是y2故答案為:y28．（2022·江西·高三階段練習（理））已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點F到直線l:2x?y?3=0的距離為5【答案】2或4【分析】求出Fp2,0【詳解】拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F則點F到直線l:2x?y?3=0的距離為：d=p?3所以p?3=1，因為p>0，所以p=2故答案為：2或4.9．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點是F，A是C的準線上一點，線段AF與C交于點B，與y軸交于點D，且|AB|=5|BF|，S【答案】y【分析】過點B作拋物線C準線的垂線，垂足為E，結合圖形，利用拋物線的定義和性質，根據直角三角形的邊角關系求出p的值，即可寫出拋物線的標準方程.【詳解】過點B作拋物線C準線的垂線，垂足為E，由拋物線的定義知，|BF|=|BE|，又|AB|=5|BF|，所以|AE|=2|BE|，所以所以tan∠ODF=12.又|OF|=所以S△DOF=4=12所以拋物線C的方程為y2故答案為：y210．（2022·全國·高二課時練習）分別根據下列條件，求拋物線的標準方程．(1)準線方程是4y+1=0；(2)拋物線的焦點是雙曲線16x(3)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF=5【答案】(1)x2=y；(2)y2=?12x【分析】（1）根據準線方程，確定拋物線的開口和p值，直接代入求解；（2）根據雙曲線的左頂點，即可求得拋物線的焦點坐標，直接求解；（3）首先設拋物線方程，再根據焦半徑公式，代入求解.（1）準線方程為y=?14，所以拋物線方程開口向上，且得p=12，所以拋物線方程是（2）雙曲線方程x29?所以拋物線的焦點為?3,0，拋物線的開口向左，p2=3，所以拋物線方程是y2（3）設拋物線方程y2=2px，p>0，當y=?3時，AF=92p+p2=5拋物線方程為y2=2x或設拋物線方程y2=?2px，p>0，當y=?3時，AF=92p+p拋物線方程為y2=?2x或綜上可知，拋物線方程為y2=±2x或【考點3：拋物線的焦點弦】【知識點：焦點弦的常用結論】以拋物線y2＝2px(p>0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準線上的射影為A1，B1，則有以下結論：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(其中θ為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(4)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)(其中θ為直線AB的傾斜角)；(5)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線．1．（2022·全國·高三專題練習）過拋物線y2=4xp>0的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則1A．2 B．4 C．12 D．【答案】D【分析】根據拋物線的焦點弦長公式計算．【詳解】拋物線y2=4x，可知設直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為π2過焦點的弦，AB=2p∴1AB故選：D．2．（多選）（2023·全國·高三專題練習）過拋物線x2=6y的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，M為線段AB的中點，則（A．以線段AB為直徑的圓與直線y=?3B．以線段BM為直徑的圓與y軸相切C．當AF=2FBD．AB的最小值為6【答案】ACD【分析】根據焦點弦長公式可知AB=y1+y2+3，對比M將直線AB方程與拋物線方程聯立，結合韋達定理可得M坐標，由此得到xN，與14AB由向量數乘運算可知x1=?2x2，由此可求得將AB表示為關于k的二次函數形式，由二次函數最值可知D正確.【詳解】由拋物線方程知F0,32，準線方程為y=?可設AB：y=kx+32，設Ax對于選項A，易知AB=y1+y∴點M到準線y=?32的距離∴以線段AB為直徑的圓與直線y=?3對于B，由y=kx+32x∴Δ=36k2+36>0∴y1+y設BM的中點為N，則xN=3k+∵3k2+32=對于C，若AF=2FB，則x1=?2x2，不妨設x1<0，x2>0，∵x1對于D，∵AB=y1+y故選:ACD．3．（多選）（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于點Px1,y1，Qx2,y2，點A．若x1+x2=6，則PQ=8C．若M0,1，則PM+P【答案】ABD【分析】由拋物線的定義可判斷A；由拋物線焦點弦的性質可判斷B，D；由拋物線的定義，可知PP1=PF，所以PM+【詳解】對于A，由拋物線的定義，知PQ=對于B，線段PQ的中點為Tx1+x2點T到直線l的距離為x1所以，以PQ為直徑的圓與準線l相切，B正確；對于C，由拋物線的定義，可知PP1=PF，所以又F的坐標為1,0，所以MF=對于D，連接P1F,Q得∠PFP1=∠PP1同理∠QFQ所以∠PP1F+∠所以∠P1FO+∠故選：ABD.4．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線E:y2=4x的焦點為F，準線為l，過F的直線與E交于A,B兩點，C,D分別為A,B在lA．若直線AB的傾斜角為45°，則B．若AF=2FB，則直線ABC．若O為坐標原點，則B,O,C三點共線D．CF⊥DF【答案】ACD【分析】對于A，求出直線AB的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數的關系，然后利用弦長公式可求出AB，對于B，設AB:x=my+1，代入拋物線方程，整理后利用根與系數的關系，再由AF=2FB，得y1=?2y2，從而可求出A,B的坐標，進而可求出直線【詳解】若直線AB的傾斜角為45°，則AB:y=x?1令A(x1,y1)B(x所以AB=x1設AB:x=my+1，令A(x1,消x可得yy1+y2=4m所以y1所以k=?22或y1所以k=22.即k=±22，故設AB:x=my+1，令Ax1,消x可得y2?4my?4=0,kOB=y所以kOB?kOC=設AB:x=my+1，令A(x1消x可得yy1+y所以FC?即CF⊥DF，故D正確.故選：ACD.5．（2022·四川·德陽五中高二階段練習（理））已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，準線l與x軸交于點H，過焦點F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準線l的垂線，垂足分別為A①以線段AB為直徑的圓與準線l相切；②1AF③S△AOB=p④若點Mp,0，且AF=AM，則直線AB⑤若已知點A的橫坐標為x0，且已知點T?x【答案】①②⑤【分析】對于①，AF=a，BF=b，根據拋物線的定義可得線段AB的中點到準線的距離為a+b2=AB2，從而可判斷；對于②，設Ax1,y1,Bx2,y2，其中y【詳解】對于①，設AF=a，BF=b，則AA所以線段AB的中點到準線的距離為a+b2所以以線段AB為直徑的圓與準線l相切，故①真確；對于②，設Ax1,當α=π2時，直線AB的方程為則Ap2,p,Bp當α≠π2時，設直線AB的方程為由y=kx?p2y2=2px，消去x得，所以x1+x所以1=2p綜上，1AF對于③，當α=π2時，對于④，因為Mp,0，且AF所以點A在線段MF的垂直平分線上，即直線x=3p將x=3p4代入y2=2px，得故A3p4，對于⑤，易知Ax0,所以直線AT的方程為x=2與拋物線方程y2=2px聯立可得因為Δ=4p2故答案為:①②⑤.【點睛】總結點睛：(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB=6．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線y2=3x，過焦點F作傾斜角為30°的直線與拋物線交于A【答案】12【分析】由拋物線的焦點弦長公式l=2psin2【詳解】AB=7．（2022·全國·高三專題練習）若拋物線y2=4x，過焦點F作直線與拋物線交于A，B，若【答案】3x?y?3=0【分析】由焦點弦性質求得直線AB的傾斜角的余弦值，從而得直線斜率，得直線方程．【詳解】先設直線AB傾斜角α為銳角，AFBF由對稱性直線l方程還可以為y=?3綜上，直線l的方程為3x?y?3=08．（2022·全國·高三專題練習）如圖，設直線l過焦點F且與拋物線y2=2pxp>0交于A?,?B【答案】證明見解析.【分析】由拋物線的性質可求出線段AB=2psin2θ?，過原點O作【詳解】證明：過A做AN垂直準線于N點，過B做BM垂直準線于M點，則BM=BF，AF=AN，因為直線l傾斜角為θ，所以有BFcosθ+p=BF，所以BF=p1?cos過原點O作OP⊥AB于P，于是OP=∴S9．（2022·全國·高三專題練習）如圖，拋物線y2=2pxp>0與過焦點Fp2,0的直線l相交于A,B兩點，若【答案】AB【分析】設FA=m，FB=n，可得xA=p2+m【詳解】設FA=m，FB=n，則xA由拋物線定義知：FA=xA∴m=p1?cos∴AB【考點4：拋物線的實際應用】【知識點：拋物線的實際應用】拋物線的幾何特性在實際中應用廣泛，解決此類問題的關鍵是根據題意(一般是根據題中所給圖形)建立適當的直角坐標系，設出拋物線的標準方程，依據題意得到拋物線上一點的坐標，從而求出拋物線方程，進而解決實際問題．1．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黃浦江上的盧浦大橋（圖1）整體呈優美的弧形對稱結構，如圖2所示，將盧浦大橋的主拱看作拋物線，江面和橋面看作水平的直線，若主拱的頂端P點到橋面的距離等于橋面與江面之間的距離，且AB=550米，則CD約為（精確到10米）（

）A．410米 B．390米 C．370米 D．350米【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設出拋物線方程，表示出B點坐標，求出xD【詳解】以P為坐標原點，以AB的方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系xOy，設主拱拋物線的方程為x2由題意可知xB=275，則yB=?27522p，因為點P到直線CD所以xD=?2p故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習）拋物線有如下的光學性質：由其焦點射出的光線經過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點（1，－2）射入，經拋物線上的點P反射后，再經拋物線上另一點Q反射后射出，則|PQ|=（A．252 B．13 C．272【答案】A【分析】求得P點坐標，求得直線PF的方程，從而求得Q點的坐標，進而求得PQ.【詳解】拋物線y2=8x的焦點為由?22直線PF的方程為y=0?由y=43x?2y2所以Q8,8，所以PQ故選：A3．（2022·北京市第五中學高二期中）如圖所示，汽車前燈反光鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反光鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處．已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反光鏡的頂點（即截得拋物線的頂點）距離為（

）A．10cm B．7.2cmC．3.6cm D．2.4cm【答案】C【分析】先建立直角坐標系，設出拋物線的方程，根據題設條件得點(10,12)代入拋物線方程求得p，進而求得p2【詳解】解：取反射鏡的軸即拋物線的軸為x軸，以反射鏡的頂點為坐標原點，建立直角坐標系xOy，如圖所示：因為燈口直徑為24cm，燈深10cm，所以點(10,12)在拋物線上.由題意設拋物線的方程為y2由于點(10,12)在拋物線上，得122∴2p=14.4∴焦點坐標為F∴燈泡與反射鏡頂點的距離為3.6cm故選：C4．（2021·江蘇·高三階段練習）如圖1，某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護罩及支架組成，為了更好利用熱效能，反射面設計成拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面），熱饋源安裝在拋物線的焦點處，圓柱形防護罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面，防護罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離，已知口徑長為40cm，防護罩寬為15cm，則頂點O到防護罩外端CD的距離為（

）A．25cm B．30cm C．35cm D．40cm【答案】C【分析】根據給定條件建立坐標系，利用待定系數法求出拋物線方程即可計算作答.【詳解】以頂點O為坐標原點，射線OF為x軸建立平面直角坐標系，如圖，令軸截面邊界曲線所在拋物線方程為：y2則F(p2,0)，A(p2+15,20)，而點A在拋物線上，于是得則O到CD距離d=p所以頂點O到防護罩外端CD的距離為35cm.故選：C5．（2022·全國·高二課時練習）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形