第十六章二次根式（5類壓軸題專練）壓軸題型一分母有理化1．（2022秋·八年級單元測試）已知，那么滿足上述條件的整數的個數是（

）.A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·湖北·統考中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數，如：對于，設，易知，故，由，解得，即．根據以上方法，化簡后的結果為（）A． B． C． D．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）下列計算或判斷：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023春·重慶江津·八年級統考期末）在學習二次根式中有這樣的情形．如，它們的積是有理數，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，在進行二次根式計算時利用有理化因式可以去掉根號，令（n為非負數），則；．下列選項中正確的有（

）個．①若a是的小數部分，則的值為；②若（其中b、c為有理數），則；③．A．0 B．1 C．2 D．35．（2023秋·湖南常德·八年級統考期末）觀察下列分母有理，……從計算結果中找出規律．6．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考階段練習）滿足不等式的整數的個數是．7．（2021·全國·九年級專題練習）化簡＝．8．（2022秋·八年級課時練習）已知，a是x的整數部分，b是x的小數部分，則a-b=9．（2021春·廣東惠州·八年級校考期中）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：．(2)已知m是正整數，，，，求m．(3)已知，則的值為?10．（2023春·山西呂梁·八年級統考期末）閱讀與思考請你閱讀下列材料，并完成相應的任務．裂項法，是數學中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應用．具體方法是將求和中的每一項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．我們以往的學習中已經接觸過分數裂項求和．例如：．在學習完二次根式后我們又掌握了一種根式裂項．例如：，．(1)模仿材料中的計算方法，化簡：______．(2)觀察上面的計算過程，直接寫出式子______．(3)利用根式裂項求解：．壓軸題型二二次根式的化簡求值1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若和都是正整數且，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．3．（2020秋·湖北武漢·九年級華師一附中初中部?？计谥校┮阎獂＝，則x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值為（

）A．0 B．1 C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）當時，的值為（

）A．1 B． C．2 D．35．（2023春·黑龍江綏化·八年級校考階段練習）設，則．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）a，b為有理數，且，則．7．（2023春·北京東城·八年級匯文中學校考期中）已知為實數，記，（1）當時，的值為．（2）的最小值為．8．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I）設，，當t為時，代數式．9．（2023春·河南周口·八年級統考期末）計算：(1)(2)10．（2023·江蘇南京·統考二模）在第一階段質量監測的選擇題中，我們發現在三邊長分別為，，（）的三角形中，有．(1)推導該結論的一種思路可以用如下的框圖表示，請填寫其中的空格．

(2)推導該結論的其他思路還有：①利用，，，再配方，……②利用，使用平方差公式，……．③利用，……上述思路都不完整，請寫出一種完整的推導思路．壓軸題型三二次根式的混合計算1．（2023春·山東德州·八年級校考階段練習）若，，則a與b的大小關系是（

）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能確定2．（2023秋·全國·八年級專題練習）與最接近的整數是（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·全國·九年級假期作業）關于代數式，有以下幾種說法，①當時，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③4．（2021·八年級單元測試）已知，是大于1的自然數，那么的值是（

）.A． B． C． D．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）若的積是有理數，則無理數m的值為．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知，則的值為．7．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為．8．（2023春·北京·八年級校考階段練習）已知，且，則．9．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎?1)；(2)（）．10．（2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．(1)計算：；(2)m是正整數，a，b且．求m．(3)已知，求的值．壓軸題型四幾何圖形中的二次根式的計算1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，是正內一點，，，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉得到線段，下列結論：①可以由繞點逆時針旋轉得到；②點與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結論是（

）．A．①②③④ B．①② C．①②③⑤ D．①②③④⑤2．（2023春·全國·八年級專題練習）《周髀算經》中有一種幾何方法可以用來解形如x(x+5)=24的方程的正數解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25=121，邊長為11，故得x(x+5)=24的正數解為x==3．小明按此方法解關于x的方程x2+mx－n=0時，構造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數解為（

）A．－1 B．+1 C． D．－13．（2023春·全國·八年級專題練習）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城角的步數，乘南門東到城角的步數，乘積作被除數，以樹距離東門的步數作除數，被除數除以除數得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城周長的最小值為（

）（注：1里=300步，且兩個正數的和大于等于其積開方的兩倍，當兩數相等時取等號）．A．里 B．里 C．里 D．里4．（2021春·遼寧朝陽·八年級統考期中）《九章算術》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術曰，半廣以乘正廣”，就是說：“三角形的面積＝底×高÷2”，我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》中也提出了“三斜求積術”，即可以利用三角形的三條邊長來求取三角形面積，用現代式子可表示為：S＝（其中a、b、c為三角形的三條邊長，S為三角形的面積）．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝，對角線BD＝，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023春·八年級單元測試）把四張形狀大小完全相同寬為的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是．6．（2022春·河北石家莊·八年級校考階段練習）下圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個三角形的面積記為，第2個三角形的面積記為，…，第個三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據以上的規律，推算出；若一個三角形的面積是，則它是第個三角形．7．（2022春·黑龍江佳木斯·七年級樺南縣第四中學校聯考階段練習）有若干個面積為2的正方形，根據下列拼圖的啟示填空：(1)計算：＋＝3；(2)計算：＋＝6；(3)計算：＋＝.8．（2022秋·吉林長春·九年級校考階段練習）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖中兩塊陰影部分的周長和是．

9．（2023春·陜西安康·八年級統考階段練習）某居民小區有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長BC為米，寬AB為米，現要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．(1)求長方形的周長；（結果化為最簡二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？10．（2023春·江西上饒·八年級統考期中）閱讀材料：我們已經學習了實數以及二次根式的有關概念，同學們可以發現以下結果：當時，，當，即時，的最小值為2．請利用以上結果解決下面的問題：(1)當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；(2)當時，求的最小值；(3)如圖，已知四邊形的對角線、交于點，若的面積為1，的面積為4，求四邊形面積的最小值．

壓軸題型五二次根式的數字規律問題1．（2023·貴州六盤水·統考二模）人們把這個數叫做黃金比，優選法中的“法”與黃金分割緊密相關，這種方法經著名數學家華羅庚的倡導在我國得到大規模推廣，取得了很大的成果．設，，記，，，…依此規律，則的值為（

）A． B．25 C． D．1252．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I）如圖，是按一定規律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規律，第行從左至右第個數是（）A． B． C． D．3．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：，……，按照上述規律，計算：（）A． B． C．9 D．84．（2023春·全國·八年級專題練習）觀察下列各式：，，，…請利用你所發現的規律，計算，其結果為(

)A． B． C． D．5．（2023春·甘肅隴南·八年級?？茧A段練習）觀察下列各式：①，②，③，…，根據以上規律，第n個等式應為：．6．（2023春·內蒙古鄂爾多斯·七年級校聯考階段練習）觀察下列式子：；；；；…；請用字母表示其中的規律．7．（2023春·廣西南寧·八年級統考期中）觀察下列各式：當時，，當時，，當時，，根據以上規律，寫出當時的等式是．8．（2023春·河北石家莊·八年級統考期中）觀察下列各式：；；．（1）請你根據上面三個等式提供的信息，可以猜想：＝；（2）利用上述規律計算：＝．（直接寫出答案）9．（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）閱讀下列解題過程：，，請回答下列問題：(1)觀察上面的解答過程，化簡：；(2)請你用含n（n為正整數）的關