教學設計

課程基本信息學科數學年級高二學期秋季課題雙曲線的標準方程教科書書名：數學選擇性必修一教材B版出版社：人民教育出版社教學內容分析本節課選自《2019人教B版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》的2.6雙曲線及其方程的第一課時，本節課主要學習雙曲線的定義及其標準方程.學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高.如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么后面拋物線的學習就會順理成章.所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向加深對雙曲線的定義的理解與應用.從高考大綱要求和課程標準角度來講，雙曲線的定義作為了解內容，在高考的考查當中以選擇、填空為主.標準方程的考查在解答題第一問經常考查.教學內容教學重點：1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．2.掌握雙曲線的標準方程及其求法．

教學難點：會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題．學生學情分析學生在學習過程當中對雙曲線缺少應有的重視，成為了學生的一個失分點.而且由于學生對橢圓與雙曲線的區別與聯系認識不夠，無法做到知識與方法的遷移，在學習雙曲線時極易與橢圓混淆.在教學中要時刻注意運用類比的方法，讓學生充分的類比體會橢圓與雙曲線的異同點，使得橢圓與雙曲線的學習能相互促進.教學目標[課標解讀]1.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題．[素養目標]水平一：雙曲線的定義及其標準方程的掌握.(直觀想象)（數學抽象）(數學建模)水平二：雙曲線標準方程的推導．(數學運算)(邏輯推理)(數據分析)水平三：利用定義過程中體現了數學建模、分類討論思想、數形結合等思想方法.教學支持條件分析本節課由生活實例體現貼近生活性、幾何畫板的信息技術融入提高直觀性、PPT多媒體放映.教學過程立足現實,提出問題.引導語：大家看下現實生活中的這幾幅圖的邊緣線條是那么的優美對稱，你能否感知是什么曲線嗎？我們應該怎樣畫出這類曲線并且像以前學過的橢圓一樣給出這種曲線嚴格定義呢？我們帶著這些問題共同探索新曲線.師生活動：教師通過ppt播放現實中的有雙曲線線條的圖片，引導學生直觀感知本節的課題《雙曲線的標準方程》，學生根據教師的引導積極思考，并回答.設計意圖：通過現實中的雙曲線實例，讓學生自己發現，說出本節課的課題，即讓學生用數學的眼光觀察世界.也是通過情境教學引入本節課的內容.問題1:請同學們先回顧下橢圓的定義及標準方程的學習過程是什么？師生活動：學生積極回顧回答，教師用流程圖的形式回顧橢圓的研究思路.設計意圖：先回顧橢圓的定義，讓學生自已回答，以此來了解學生對橢圓定義的掌握情況。從已知的橢圓的定義入手探究，引起學生的思考，符合學生的認知過程，學生更加容易接受。問題2：我們知道，平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡是橢圓，一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？2.探究新知，構建雙曲線的概念探究：在直線上取兩個定點，點P是直線上的動點，在平面內，取定點,以點為圓心、線段PA為半徑作圓，再以點為圓心、線段PB為半徑作圓，那么點P與線段AB的位置關系的變化與兩圓交點M的軌跡的形狀有怎樣的關系呢？問題3：當點P在線段AB上運動時，若,則兩圓是相交的，那么交點的軌跡是是什么呢？問題4：當點P在線段AB外運動時，若,則兩圓的交點的軌跡又是什么呢？追問1：在演示的過程中哪些量是定量?哪些量是不定的量?追問2：動點M在運動過程中滿足什么條件?追問3：動點M運動的軌跡是什么曲線？師生活動：教師通過幾何畫板邊操作邊提問如上一些問題.學生在觀察教師的演示時，根據教師的引導設問積極思考回答.設計意圖：利用幾何畫板追蹤點的軌跡，讓學生觀察雙曲線生成的整個動態的過程，學生就可以明顯地看到哪些量是不變的，而哪些量是改變的，相互之間又有什么樣的聯系.這個過程非常能激發學生的興趣.而且，學生可以通過演示發現雙曲線的本質，自己得出雙曲線的概念，自己觀察習得而不是教師直接給出，體現了過程性變式.在這個過程中，降低了學生的認知難度，促進了理解，更重要的是，培養了學生的觀察和思考能力，這種能力對后期的學習依然有很大的促進作用.問題5：你能否類比橢圓定義，給出雙曲線的嚴格定義嗎？追問1：若定義中去掉“絕對值”,則動點M的軌跡是什么呢？追問2：若,則動點M的軌跡又是什么呢？追問3：若定義中的“非零常數”改為0,則動點M的軌跡又是什么呢？問題6：你能用精確的數學符號語言刻畫雙曲線嗎？雙曲線定義數學表達式：.師生活動：學生嘗試用精確的數學語言給出雙曲線的定義.在此基礎上，教師關注學生對定義中相關用語及符號表示：“平面內”“定點”“距離之差的絕對值”“非零常數”“常數小于兩定點間的距離”“點的軌跡”的使用是否準確.如果學生不能準確表述教師可給出以下幾個追問進行深刻理解掌握概念，在給出雙曲線的概念的基礎上，教師在引導學生了解焦點、焦距、半焦距等概念.設計意圖：通過對問題5及3個追問、問題6強化雙曲線概念的抽象與構建過程，提高學生思維的嚴謹性與語言表達能力；同時讓學生獲得焦點、焦距等概念.3.探究新知，推導雙曲線的標準方程問題7：類比橢圓標準方程的推導過程，我們又如何用坐標法建立恰當的坐標系，推導出雙曲線的標準方程呢？追問1:如何合理建系？追問2：如何處理兩個根式、絕對值呢？師生活動：學生獨立思考、討論，教師教室巡查，并引導學生回顧橢圓的方程推導思想.并在此找學生代表推導，并在此引導提問學生如何建系、如何去絕對值，等推導難點,學生積極參與.設計意圖：讓學生運用類比思想完成方程的推導，提升學生的運算素養、邏輯推理的數學核心素養.問題8：我們該怎樣理解“雙曲線的方程”與“雙曲線的方程”的關系呢？師生活動：學生在老師提問下，回顧曲線與方程的等價關系積極思考討論老師的問題，教師引導規范。設計意圖：意在讓學生再次體會坐標法的嚴謹性，再次體會了曲線與方程關系的必要性，從而提升了學生的邏輯推理的數學核心素養.問題9：那么焦點在y軸上的雙曲線的標準方程又是什么呢？師生活動：學生獨立思考、討論，教師引導學生類比橢圓得出答案，對學生的回答及時回饋鼓勵.設計意圖：讓學生運用類比思想完成兩種方程的推導.問題10：你是如何從雙曲線的標準方程中，來判斷焦點位置的？師生活動：教師引導，學生積極回顧橢圓回答.最后教師總結“化標準、找正項、焦點跟正者。”學生做好理解和記憶.設計意圖：讓學生能夠很好的區分方程的兩種形式，為后面求方程做好鋪墊.問題11：你能否對比橢圓的定義及其標準方程，他們的區別及聯系是什么呢？師生活動：學生回顧思考、討論，積極回答老師的問題，教師完善，作總結，以表格的形式說明他們的區別及聯系.設計意圖：讓學生有梳理的好習慣，更有利于區分兩類圓錐曲線，為后面的應用打好基礎.4、及時鞏固，熟練運用.例1已知雙曲線的兩個焦點為，雙曲線上一點到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.師生活動：學生獨立思考、討論，教師教室巡查,教師給出規范解答.設計意圖：讓學生能夠很好的區分方程的兩種形式，并且能夠會用待定系數法求解方程.變式1：若||=10，求||的值？變式2：若||||=6，則點的軌跡是什么？變式3：若到距離的差的絕對值等于10呢，點的軌跡是什么？變式4：若到距離的差的絕對值等于0呢，點的軌跡是什么？變式5：已知雙曲線的兩個焦點為，且過點，求其標準方程；變式6:中心在原點，焦點在坐標軸上，兩焦點的距離為8，實軸長為6，求其標準方程.師生活動：教師提問，學生積極思考，口答.設計意圖：通過變式探究，讓學生對定義辨析練習，加深定義理解，另外這幾個變式的設置，從易到難，這樣有“梯度”的設置才更符合學生的認知發展，有利于知識的接受，這是我們在進行變式教學需要注意的.在這個地方利用變式，既拓寬了學生的思路，又對方程的應用加以鞏固.最后總結一下求雙曲線標準方程的步驟:定焦點設方程求方程.例2已知兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為則爆炸點M的位置形成的軌跡是什么？軌跡方程是什么？師生活動：學生獨立思考、討論，教師教室巡查，對于個別有困難學生給予合適引導指點，選派學生代表呈現結果.如果時間允許的話，教師可適當追問：如何改條件使得爆炸點的位置形成的軌跡是雙曲線呢？能否求出軌跡方程呢？問題12：請大家思考，如何將例題中的條件修改，使得爆炸點M的位置形成的軌跡是雙曲線呢？設計意圖：設計意在考查學生數學建模思想，把所學運用到實際生活中，就是所謂的“用數學思維思考世界并用數學語言表達世界.”另外例的追問為后面學習雙曲線的方程推導埋下伏筆.5.梳理課堂，形成小結.問題13：請回顧梳理雙曲線的構建探究過程，你從本節課獲得哪些知識？獲得哪些基本活動經驗？獲得哪些思想方法？哪方面的數學核心素養獲得提升？師生活動：學生積極思考、回答，教師給予補充完善，進一步深化理解雙曲線定義以及構建過程及思想.教師從三個層面與同學共同總結梳理：1、研究思路；2、知識層面；3、思想方法層面；4、數學核心素養方面.設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括梳理能力.6.目標檢測，布置作業請同學們認真完成：基礎作業：1、教科書P141課后練習A的第1、2、3、4題；P141練習B的第2、4兩題。探究作業：1、完成P138拉鏈實驗，探究其與幾何畫板畫出的雙曲線的內在聯系及區別；2、與同學合作歸納橢圓與雙曲線的探究過程，談談你的發現。實踐作業（自愿完成）：1、采用探究式合作式學習方式，折紙法得雙曲線步驟1：準備一張A4紙，并且畫一個圓心為O半徑為4的圓，圓外取一點A;步驟2：開始折紙，將點A折起落于圓上，用筆劃出折痕;步驟3：重復步驟1、2至少20次;步驟4：觀察折痕勾勒出的曲線.2、用類比思想總結梳理雙曲線與橢圓的定義及標準方程的區別與聯系。設計意圖：設計不同層次的作業是根據學生的基礎不同分層布置的，這樣就會滿足每個層次的學生.教學反思在本節教學中，從實際生活中的情境提出問題，引入課題，讓學生用數學的眼光觀察世界，通過類比橢圓定義學習雙曲線，更符合學生的認知特點和心理發展規律．雙曲線第一定義的學習，對于高中生目前的認知規律是適合的．通過幾何畫板中的拉鏈模型直觀感知雙曲線的特性及畫的過程，學生可以更加形象地理解雙曲線的定義．其次設置一連串的問題鏈層層探究，共同問題驅動學生高質量的思維活動，然后得出雙曲線的定義，并用數形結合思想、分類討論思想展開對定義的深刻辨析，最后通過實際生