廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷2（共7套）（共161題）廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第1套一、證明題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、某廠生產x臺電視機的成本C(x)=500+250x-0．01x2，銷售收益是R(x)=400x-0．02x2，如果生產的所有電視機都能售出，問應生產多少臺，才能獲得最大利潤?標準答案：由題意知利潤函數為L(x)=R(x)-C(x)=(400x-0．02x2)-(500+250x-0．01x2)=150x-0．01x2-500，而L’(x)=150-0．02x，令L’(x)=0，可得駐點x=7500，由于駐點唯一，且實際問題最值存在，從而x=7500是最大值點。故當生產7500臺電視機時，該廠能獲得最大利潤。知識點解析：暫無解析2、假設某企業在兩個互相分割的市場上出售同一種產品，兩個市場的銷售量(單位：噸)分別是Q1=(18-x)/2，Q2=12-x,其中x(單位：萬元/噸)為該產品在兩個市場的價格。該企業生產這種產品的總成本(單位：萬元)函數是C=2(Q1+Q2)+5。試確定x的值，使企業獲得最大利潤，并求出最大利潤。標準答案：由已知條件得利潤函數為L=(Q1+Q2)x-C=(Q1+Q2)x-2(Q1+Q2)-5=[(18-x)/2+(12-x)](x-2)-5=(-3/2)x2+24x則L’=-3x+24，令L’=0，得駐點x=8。根據實際情況，L存在最大值，且駐點唯一，則駐點即為最大值點，又Lmax=(-3/2)×82+24×8-47=49。故當兩個市場的價格為8萬元/噸時，企業獲得最大利潤，此時最大利潤為49萬元。知識點解析：暫無解析3、某企業計劃在一年內生產一批服裝a件，分若干批進行生產，設生產每批服裝需要固定支出1000元，而每批生產直接消耗的費用與產品數量的平方成正比，已知當每批服裝生產數量是40件時，直接消耗的生產費用是800元，問每批服裝生產多少件時，才能使總費用y最少?標準答案：設每批生產x件，則一年內生產a/x批，每批直接消耗的生產費用為P，則p=kx2，又因為每批產品數量是40件時，直接消耗的生產費用為800元，所以800=402k，即k=1/2，所以p=(1/2)x2，該產品的總費用y=(1000+(1/2)x2)·(a/x)=1000a/x+ax/2，0＜x≤a，令y’=(-1000a/x2)+a/2=0，得x=20，y”=2000a/x3，y”(20)＞0，所以x=20為唯一極小值點，因為實際問題中最少費用必存在，故唯一的極小值點就是最小值點，所以當x=20≈45時，總費用最少。知識點解析：暫無解析4、已知方程x4-6x2-9x=0有一正根x=3，證明：方程4x3-12x-9=0必有一個小于3的正根。標準答案：令f(x)=x4-6x2-9x，則f’(x)=4x3-12x-9，由題意可知f(3)=0，又有f(0)=0，f(x)在[0，3]上連續，在(0，3)內可導，故由羅爾中值定理可知至少存在一點ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ3-12ξ-9=0，即方程4x3-12x-9=0必有一個小于3的正根。知識點解析：暫無解析5、設f(x)在[1，e]上可導，且f(1)=0，f(e)=1。試證明f’(x)=1/x在(1，e)內至少有一個實根。標準答案：設F(x)=f(x)-lnx，由題意可知F(x)在[1，e]上連續，在(1，e)內可導，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=f’(x)-1/x。由羅爾中值定理得至少存在一點ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1/ξ=0。所以f’(x)=1/x在(1，e)內至少有一個實根。知識點解析：暫無解析6、設f(x)在[a，b]上二階可導，且恒有f″(x)＜0，證明：若方程f(x)=0在(a，b)內有根，則最多有兩個根。標準答案：反證法：假設f(x)=0在(a，b)內有三個根x1，x2，x3，且設a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，分別在區間[x1，x2]與[x2，x3]上應用羅爾中值定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)。又f’(x)在[ζ1，ζ2]上顯然也滿足羅爾中值定理條件，于是有f”(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，這與條件f″(x)＜0矛盾，故若方程f(x)=0在(a，b)內有根，則最多有兩個根。知識點解析：暫無解析7、設f(x)，g(x)均在[3，7]上連續，在(3，7)內可導，且g(x)≠0，f(3)=0，f(7)=0。證明：存在一點ξ∈(3，7)，使得f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。標準答案：令F(x)=f(x)/g(x)。顯然F(x)=f(x)/g(x)在[3，7]上連續，在(3，7)內可導，且F’(x)=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g2(x)又F(3)=0，F(7)=0，故根據羅爾中值定理得存在一點ξ∈(3，7)，使得F’(ξ)=0，即[f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)]/g2(ξ)=0。因為g(x)≠0，故f’(ξ)g(ξ)-f(ξ)g’(ξ)=0。知識點解析：暫無解析8、設函數f(x)在區間[0，2]上連續，在區間(0，2)內可導，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2。證明：至少存在一點ξ(0，2)，使得f’(ξ)=ξ。標準答案：構造輔助函數F(x)=f(x)-(1/2)x2，則F’(x)=f’(x)-x，F(0)=0，F(1)=3/2，F(2)=-2，且F(x)在區間[1，2]上連續，則由零點定理可知，至少存在一點f∈(1，2)，使得F(c)=0。故F(x)=f(x)-(1/2)x2在區間[0，c]上滿足羅爾中值定理的條件，因此至少存在一點ξ∈(0，c)(0，2)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-ξ=0，即f’(ξ)=ξ。知識點解析：暫無解析9、設函數f(x)在區間[0，1]上連續，在區間(0，1)內可導，且f(x)/(x-1)=0，證明：至少存在一點ξ∈(0，1)，使得cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。標準答案：f(x)在區間[0，1]上連續，且=0，則f(x)=0=f(1)。構造輔助函數F(x)=sinx·f(x)，則F’(x)=cosx·f(x)+sinx·f’(x)，且F(0)=F(1)=0，故由羅爾中值定理可知，至少存在一點ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即cosξ·f(ξ)+sinξ·f’(ξ)=0。知識點解析：暫無解析10、若f(x)有三階導數，且f(0)=f(1)=0，設F(x)=x3f(x)，試證明在(0，1)內至少存在一點ξ，使F?(ξ)=0。標準答案：由題意可知F(x)有三階導數，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由羅爾中值定理得存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0。又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，對F’(x)在[0，ξ1]上應用羅爾中值定理得存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)，使F″(ξ2)=0。又F”(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f”(x)]｜x=0=0，對F”(x)在[0，ξ2]上應用羅爾中值定理得存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)，使F?(ξ)=0。知識點解析：暫無解析11、設函數f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=0，k為正整數，求證：存在一點ξ∈(0，1)。使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。標準答案：設F(x)=f(x)(1-x)k，則F(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，F’(x)=f’(x)(1-x)k-kf(x)(1-x)k-1=(1-x)k-1[f’(x)-xf’(x)-kf(x)]。又F(0)=0，F(1)=0，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在一點ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1-ξ)k-1[f’(ξ)-ξf’(ξ)-kf(ξ)]=0。又(1-ξ)k-1≠0，故ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)。知識點解析：暫無解析12、設f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導，且在(a，b)內g”(x)≠0，g(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，證明：在開區(a，b)內至少存在一點ξ，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)。標準答案：令F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，則F(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，F(a)=f(a)g’(a)=g(a)f’(a)=0，F(b)=f(b)g’(b)-g(b)f’(b)=0，故F(x)在[a，b]上滿足羅爾中值定理的條件，從而至少存在一點ξ∈(a，b)使F’(ξ)=0。又F’(x)=f’(x)g’(x)+f(x)g”(x)-g’(x)f’(x)-g(x)f(x)=f(x)g”(x)-f”(x)g(x)，從而f(ξ)g”(ξ)=f″(ξ)g(ξ)。又g”(x)≠0，g(x)≠0，故有f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)成立。知識點解析：暫無解析13、已知f(x)在[1，3]上連續，在(1，3)內可導，且f(1)f(2)＜0，f(2)f(3)＜0，證明：至少存在一點ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)-f(ξ)=0。標準答案：由題意可知f(1)與f(2)異號，f(2)與f(3)異號，因此由連續函數的零點定理可知，至少存在兩點ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0。構造輔助函數F(x)=e-x3f(x)，則F(x)在[ξ1，ξ2]上連續，在(ξ1，ξ2)內可導，且F(ξ1)=F(ξ2)=0，因此由羅爾中值定理可知，至少存在一點ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)，使得F’(ξ)=0。又因為F’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x[f’(x)-f(x)]，因此有e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，又e-ξ＞0，則f’(ξ)-f(ξ)=0。知識點解析：暫無解析14、設f(x)在[0，2]上連續，在(0，2)內可導，且f(0)+f(1)=4，f(2)=2，試讓明必存在一點ξ∈(0，2)，使f’(ξ)=0。標準答案：因為f(x)在[0，2]上連續，所以f(x)在[0，1]上連續，且在[0，1]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，故m≤[f(0)+f(1)]/2≤M。根據閉區間上連續函數的介值定理相關推論知至少存在一點c∈[0，1]，使得f(c)=[f(0)+f(1)]/2=2，又f(2)=2。所以函數f(x)在[c，2]上滿足羅爾中值定理的條件，于是必存在一點ξ∈(c，2)(0，2)，使f’(ξ)=0。知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1，試證明對任意給定的正數a和b，在(0，1)內必存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f’(x2)=a+b。標準答案：因為a，b＞0，故0＜a/(a+b)＜1。又因f(x)在[0，1]上連續，且f(0)=0，f(1)=1，故由介值定理知必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=a/(a+b)。分別對f(x)在[0，ζ]，[ζ，1]上應用拉格朗日中值定理，得f(ζ)-f(0)=(ζ-0)f’(x1)，f(1)-f(ζ)=(1-ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ξ＜x2＜1)，即[a/(a+b)]/f’(x1)=ζ，[1-a/(a+b)]/f’(x2)=1-ζ。考慮到1-a/(a+b)=b/(a+b)，并將上兩式相加，得[a/(a+b)]/f’(x1)+[b/(a+b)]/f’(x2)=1。等式兩邊同時乘以(a+b)，則存在不相等的x1，x2，使a/f’(x1)+b/f(x2)=a+b。知識點解析：暫無解析16、設0＜a＜b，證明不等式2a/(a2+b2)＜(lnb-lna)/(b-a)。標準答案：設函數f(x)=lnx(x≥a＞0)，則由拉格朗日中值定理知，至少存在一點ξ∈(a，b)，使(lnb-lna)/(b-a)=(lnx)’｜x=ξ=1/ξ，由于0＜a＜ξ＜a，故1/ξ＞1/b，又2a/(a2+b2)＜2a/2ab=1/b，從而(lnb-lna)/(b-a)＞2a/(a2+b2)。知識點解析：暫無解析17、設0＜a＜b＜1，證明不等式arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。標準答案：令f(x)=arctanx，則f’(x)=1/(x+x2)，在[a，b]上應用拉格朗日中值定理，得(arctanb-arctana)/(b-a)=1/(1+ξ2)＜1/(1+a2)＜1/(a2+b2)＜1/2ab(0＜a＜ξ＜b＜1)，所以arctanb-arctana＜(b-a)/2ab。知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[0，c]上有定義，f’(x)存在且單調遞減，f(0)=0，證明：對于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)。標準答案：由題意知f(x)在[0，c]上連續，在(0，c)內可導。當a=0時，f(a+6)≤f(a)+f(b)顯然成立。當a≠0時，因為[0，a][0，c]，則對f(x)在[0，a]上應用拉格朗日中值定理，得f(a)-f(0)=f’(ξ)(a-0)。0＜ξ＜a，即有f(a)=af’(ξ)。再對f(x)在[b，a+b]上應用拉格朗日中值定理，得f(b+a)=f(b)+f’(η)a，b＜η＜a+b。因為f’(x)單調遞減，且ξ＜a≤b＜η，則有f’(ξ)＞f’(η)，而a＞0，故af’(ξ)＞af’(η)，于是f(a+b)＜f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)。綜上可知結論得證。知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)給定曲線y=1/x2，19、求曲線在橫坐標為x0的點處的切線方程；標準答案：由y’=-2/x3可知曲線y=1/x2在橫坐標為x0的點處的切線方程為y-1/x02=(-2/x03)(x-x0)，即y=(-2/x03)x+3/x02；知識點解析：暫無解析20、求曲線的切線被兩坐標軸所截線段的最短長度。標準答案：切線方程y=(-2/x03)+3/x02中分別令y=0，x=0，可求得該切線在x軸，y軸上的截距分別為X=(3/2)x，Y=3/x02設該切線被兩坐標軸所截線段長度為L，則L2=X2+Y2=(9/4)x02+(9/x04)令[d(L2)/dx0]=(9/2)x0-36/x05=0，得駐點x0=±。又d2(L2)/dx02=9/2+180/x06，顯然[d2(L2)/dx02]＞0，由此可知，L2在x0=±處取得極小值，由實際問題最值存在得L2在x0=±取得最小值Lmin2=27/4，則所求最短長度為Lmin=。知識點解析：暫無解析已知函數f(x)在區間[0，1]上連續，在區間(0，1)內可導，且f(0)=0，f(1)=1，證明：21、存在一點ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；標準答案：設F(x)=f(x)-1+x，0≤x≤1，則F(x)在區間[0，1]上連續。因為F(0)=-1＜0，F(1)=1＞0，所以由零點定理得存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ；知識點解析：暫無解析22、存在兩個不同的點η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。標準答案：由題設知函數f(x)在區間[0，ξ]上連續，在區間(0，ξ)內可導，于是由拉格朗日中值定理得存在η∈(0，ξ)(0，1)，使得f’(η)=[f(ξ)-f(0)]/(ξ-0)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)/ξ。同樣，由題設知函數f(x)在區間[ξ，1]上連續，在區間(ξ，1)內可導，于是由拉格朗日中值定理得存在ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得f’(ζ)=[(1)-f(ζ)]/(1-ζ)=[1-f(ζ)]/(1-ζ)=ζ/(1-ζ)。因為η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在兩個不同的點η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、設f(x)在點x=x0處可導，則=()A、f’(x0)B、3f’(x0)C、-3f’(x0)D、-f’(x0)標準答案：C知識點解析：[f(x0-3h)-f(x0)]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/-3h=-3f’(x0)，故選C。2、設f(x)在點x=0處可導，則=()A、(4/3)f’(0)B、(3/4)f’(0)C、(5/3)f’(0)D、f’(0)標準答案：C知識點解析：3、設函數f(x)滿足f(0)=0，且存在，則=()A、f’(5)B、f’(0)C、5f’(0)D、(1/5)f’(0)標準答案：C知識點解析：4、若f(x)在x=a處可導，則下列選項不一定正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：5、設函數f(x)在x=0處可導，且f(0)=0，f’(0)≠0，則下列極限存在且為零的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：6、設函數f(x)在點x=處可導，且f(0)=0，則[xf(x)-2f(x2)]/x2()A、-2f’(0)B、-f’(0)C、f’(0)D、0標準答案：B知識點解析：由于f(x)在點x=0處可導，且f(0)=0，則[xf(x)-2f(x2)]/x2=[f(x)-f(0)]/x-2[f(x2)-f(0)]/x2=f’(0)-2f’(0)=-f’(0)。7、設函數f(x)對任意x均滿足f(x+1)=af(x)，且f’(0)=b，其中a、b為非零常數，則()A、f(x)在x=1處不可導B、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=aC、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=bD、f(x)在x=1處可導，且f’(1)=ab標準答案：D知識點解析：8、設函數f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n)，其中n為正整數，則f’(1)=()A、(-1)n-1(n-1)!B、(-1)n(n-1)!C、(-1)n-1n!D、(-1)nn!標準答案：A知識點解析：9、設函數f(x)在x=0的某個鄰域內有定義，則“f’(x)存在且等于A”是“f’(x0)存在且等于A”的()A、充分而非必要條件B、必要而非充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件標準答案：D知識點解析：10、設函數f(x)=｜x3-1｜φ(x)，其中φ(x)在點x=1處連續，則φ(1)=0是f(x)在點x=1處可導的()A、充分必要條件B、充分但非必要條件C、必要但非充分條件D、既非充分又非必要條件標準答案：A知識點解析：11、設f(x)在x0處有定義，但f(x)不存在，則()A、f’(x0)必存在B、f’(x0)必不存在C、f(x)必連續D、f(x)=∞標準答案：B知識點解析：f(x)不存在，則f(x)在點x0處不連續，因此C項不正確。f(x)不存在時，可能f(x)=∞，也可能f(x)≠f(x)，D項不正確；由于可導必連續，則不連續必不可導，所以A項不正確，故選B。12、設函數y=f(x)在點x=1處可導，且f(x)=4，則f(1)=()A、4B、1C、1/4D、0標準答案：A知識點解析：由于y=f(x)在點x=1處可導，則y=f(x)在點x=1處必連續，所以有f(1)=f(x)=4。13、下列函數中，在點x=0處可導的是()A、y=｜tanx｜B、C、y=tanx2D、y=1/x標準答案：C知識點解析：選項A中，y=｜tanx｜在點x=0處左右導數不相同，則y=｜tanx｜在點x=0處不可導；選項B中，y=在(-∞，0)內無定義，則y=在點x=0處不可導；選項C中，y’=2xsec2x2，y’(0)=0，故y在x=0處可導；選項D中，y=1/x在點x=0處無定義；所以y=1/x在x=0處不可導。14、設f(x)=x2/3sinx，則f(x)在點x=0處()A、可導B、連續但不可導C、不連續D、無意義標準答案：A知識點解析：15、設f(x)=則f(x)在x=1處的()A、左、右導數都存在B、左導數存在，但右導數不存在C、左導數不存在，但右導數存在D、左、右導數都不存在標準答案：A知識點解析：f’(1)=1，f+(1)=[(x2-1)/(x-1)]=(x+1)=2，f’-(1)=[(x-1)/(x-1)]=1，故選A。16、已知f(x)=，則f(x)在x=0處()A、極限不存在B、極限存在但不連續C、連續但不可導D、可導標準答案：A知識點解析：17、設函數f(x)=則f(x)在x=1處()A、可導且f’(1)=0B、連續但不可導C、不連續D、可導且f’(1)=-2標準答案：B知識點解析：18、設f(x)=在x=0處可導，則()A、a=1，b=0B、a=0，b為任意常數C、a=b=1D、a=1，b為任意常數標準答案：C知識點解析：19、函數y=x2/3在x=0處()A、可導B、不連續C、不可導但有切線D、不可導且無切線標準答案：C知識點解析：函數在R內連續，則在x=0處也連續。y’=(2/3)x-1/3在x=0處無意義，所以函數在x=0處不可導，但在該點處有切線x=0，故選C。20、設f(x)可導，且滿足[f(3)-f(3-2x)]/x=-1，則曲線y=f(x)在點(3，f(3))處的切線斜率為()A、3B、-3C、1/2D、-1/2標準答案：D知識點解析：[f(3)-f(3-2x)]/x=2[f(3-2x)-f(3)]/(-2x)=2f’(3)=-1，故f’(3)=-1/2，即曲線在點(3，f(3))處的切線斜率為-1/2。21、設曲線y=e2x+x-1在點(0，0)處與直線ι相切，則直線ι的斜率為()A、不存在B、1C、3D、-2標準答案：C知識點解析：y=2e2x+1，則y’(0)=3。由導數的幾何意義知直線ι的斜率為3。22、已知曲線y=4x-x2上兩點(4，0)，B(2，4)，且曲線上點P處的切線恰好平行于弦AB，則點P的坐標為()A、(1，3)B、(3，3)C、(6，-12)D、(2，4)標準答案：B知識點解析：弦AB所在直線的斜率為k=(4-0)/(2-4)，y’=4-2x。設P點坐標為(x0,y0)，則y0=4x0-x02，y’(x0)=4-2x0=-2，所以x0=3，y0=3。23、曲線y=sinx在點x=0處的法線方程為()A、x+2y+π/4=0B、x-y=0C、x-2y=0D、x+y=0標準答案：D知識點解析：x=0時，y=sin0=0。又y’=cosx，則曲線y=sinx在點(0，0)處的切線斜率k切=y’｜x=0=1，故法線斜率k法=-1，法線方程為y-0=-(x=0)，即x+y=0。廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第2套一、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)1、討論函數f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)內的不可導點的個數。標準答案：故f(x)在x=1處也不可導。故函數f(x)在(-∞，+∞)內的不可導點的個數為2。知識點解析：暫無解析2、求曲線y=3x2-4x+5在點(1，4)處的切線方程和法線方程。標準答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由導數的幾何意義可知曲線在點(1，4)處的切線斜率為y’(1)=2。又切線過點(1，4)，所以切線方程為y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法線的斜率為-1/y’(1)=-1/2，從而可得法線方程為y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知識點解析：暫無解析3、求經過點(0，4)，且與曲線y=2/x相切的直線方程。標準答案：設切點為(x0，2/x0)，因為==-2/x02，所以曲線在點(x0，2/x0)處的切線方程為y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直線方程為y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知識點解析：暫無解析4、求曲線y=e-x上通過原點的切線方程及與直線x+y=2垂直的法線方程。標準答案：y’=-e-x，曲線y=e-x上任一點(x0，)處的切線方程為y-=-(x-x0)。因為切線過原點，則將x=0，y=0代入得x0=-1，則切點為(-1，e)，故過原點的切線方程為y=-ex。又曲線y=e-x上任一點(x0，)處的法線方程為y-=(x-x0)，因為所求法線與x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，則y0=1，從而所求法線方程為y=x+1。知識點解析：暫無解析5、已知曲線y=ax4+bx3+x2+3在點(1，6)處與直線y=11x-5相切，求a，b。標準答案：曲線過點(1，6)，即點(1，6)滿足曲線方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲線在點(1，6)處與y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②聯立①②解得a=3，b=-1。知識點解析：暫無解析6、設y=x3+ln3x+ln5，求y’。標準答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知識點解析：暫無解析7、設y=cos/(x2-1)，求y’。標準答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知識點解析：暫無解析8、設y=arctanx+5sinx，求y’標準答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知識點解析：暫無解析9、設y=cos3(1-2x)，求y’。標準答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知識點解析：暫無解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。標準答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知識點解析：暫無解析11、設函數f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。標準答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，則f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知識點解析：暫無解析12、已知y=arccos，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析13、設f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。標準答案：因為f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知識點解析：暫無解析14、設f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。標準答案：令1/x=t，則x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知識點解析：暫無解析15、設f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(x)可導，且g(1)=1，求f’(1)。標準答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知識點解析：暫無解析16、已知y=，其中f具有一階連續導數，求y’。標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，計算(dy/dx)｜x=1/2。標準答案：令y=f(u)，u=2x，則dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知識點解析：暫無解析18、設y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。標準答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知識點解析：暫無解析19、求函數y=ln(x+)的二階導數y”(1)。標準答案：知識點解析：暫無解析20、求函數y=excosx的n階導數。標準答案：知識點解析：暫無解析21、設y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。標準答案：因為y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次項為2233x6，故y(6)=22336!=77760。知識點解析：暫無解析22、設函數f(x)在(-∞，+∞)內n階可導，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，計算f(n)(2)。標準答案：對f’(x)=ef(x)兩邊對x求導數得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式兩邊再對x求導數得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式兩邊再對x求導數得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求導規律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知識點解析：暫無解析23、設y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所確定的函數，求dy/dx。標準答案：方程兩邊對x求導得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)1、函數y=(2/3)x-的駐點和極值點的個數分別是()A、1個駐點，2個極值點B、2個駐點，1個極值點C、1個駐點，1個極值點D、2個駐點，2個極值點標準答案：A知識點解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得駐點x=1，且y在x=0處不可導。當x＜0時，y’＞0，當0＜x＜1時，y’＜0，當x＞1時，y’＞0，所以x=0和x=1是函數的極值點。因此y=(2/3)x-有1個駐點，2個極值點。2、設函數y=f(x)的導數y’=f’(x)的圖形如圖2-1所示，則下列結論正確的是()。A、x=-1是f(x)的駐點，但不是極值點B、x=-1為f(x)的極大值點C、x=0是f(x)的極小值點D、x=-1為f(x)的極小值點標準答案：D知識點解析：從圖形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1為f(x)的駐點。當x＜-1時，f’(x)＜0；當x＞-1時，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的極小值點，故選D。3、設函數f(x)滿足關系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，則()A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、點(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的極大值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。4、設函數f(x)在點x0的某個鄰域內可導，且f(x0)為f(x)的一個極大值，則[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2標準答案：B知識點解析：因為f(x)在點x0處可導且取得極大值，于是f’(x0)=0，故5、設兩個函數f(x)及g(x)都在點x=a處取得極大值，則函數F(x)=f(x)g(x)在點x=a處()A、必取極大值B、必取極小值C、不可能取極值D、是否取極值不能確定標準答案：D知識點解析：A、B項反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在點x=0處取得極大值，但f(x)·g(x)=-1在點x=0處不取極值；C項反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在點x=0處取得極大值，但f(x)g(x)=x6在點x=0處取極小值。針對不同情形，F(x)在點x=a處是否取極佰不能確定，故選D。6、設x=x0為y=f(x)的駐點，則y=f(x)在x0處不一定()A、連續B、可導C、取得極值D、有平行于x軸的切線標準答案：C知識點解析：駐點是導數為零的點，所以A、B項一定成立，由導數的幾何意義可知D項成立。駐點不一定是極值點，故選C。7、若x=x0為函數y=f(x)的極大值點，則下列結論正確的是()A、f(x0)比任何點的函數值都大B、不可能存在比f(x0)大的極小值C、x0也可能是區間的端點D、以上說法都不對標準答案：D知識點解析：由題意可知在x0的某個去心鄰域內，有f(x)＜f(x0)．極值是局部概念，可能存在比f(x0)大的極小值。但極值點不可能在區間端點取到，故選D。8、設f(x)在[0，a]上有一階連續導數，且xf’(x)-f(x)＜0，則f(x)/x在區間(0，a)內()A、單調遞減B、單調遞增C、有增有減D、不增不減標準答案：A知識點解析：在區間(0，a)內，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在區間(0，a)內單調遞減。9、設y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，若存在唯一點x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右兩側f’(x)異號，則點x=x0必為f(x)的()A、極值點且為最值點B、極值點但不是最值點C、最值點但非極值點D、以上都不對標準答案：A知識點解析：根據題意知，x=x0為極值點，又f(x)在(a，b)內可導，且存在唯一極值點，所以x0也為f(x)的最值點。10、設f(x)為偶函數，且二階可導，f″(0)≠0，則下列結論正確的是()A、x=0不是f(x)的駐點B、x=0不是f(x)的極值點C、x=0是f(x)的極值點D、(0，f(0))是f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由于f(x)為偶函數，因此有f(x)=f(-x)，則f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0為f(x)的駐點，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的極值點，且(0，f(0))不是f(x)的拐點。11、設f(x)在(-∞，+∞)內可導，且對任意的x1，x2，當x1＞x1時，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對任意的x，f’(x)＞0B、對任意的x，f’(-x)≤0C、函數f(-x)單調遞增D、函數-f(-x)單調遞增標準答案：D知識點解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3單調遞減，排除A，B，C，故選D。D項證明如下：令F(x)=-f(-x)，當xi＞x2，則-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)單調遞增。12、函數f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c為實數，當a2-3b＜0時，f(x)是()A、增函數B、減函數C、常數函數D、單調性與a、b取值有關的函數標準答案：A知識點解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。當a2-3b＜0時，對于f’(x)=0，由判別式△=4(a2-3b)＜0，可知該方程無解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)為增函數。13、已知f(x)在x=0的某鄰域內連續，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，則f(x)在點x=0處()A、不可導B、可導且f’(0)≠0C、取得極大值D、取得極小值標準答案：D知識點解析：因為[f(x)/(1-cosx)]＞0，在點x=0的某個去心鄰域內有1-cosx＞0，則f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在點x=0處取極小值，故選D。14、設函數y=f(x)具有二階導數，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，則當△x＞0時，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：B知識點解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此應排除A、C項。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲線弧f(x)單調下降且為凸的，由曲線弧f(x)的圖形可知△y＜dy，故選B。15、曲線y=x3-6x2+3x+4的拐點為()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)標準答案：A知識點解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此時y=-6。當x＞2時，y”＞0；當x＜2時，y”＜0，故曲線的拐點為(2，-6)。16、曲線y=ex/(1+x)()A、有一個拐點B、有兩個拐點C、有三個拐點D、無拐點標準答案：D知識點解析：函數y的定義域為x≠-1。因為y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定義域內恒不等于0，且無二階不可導點，所以曲線無拐點。17、曲線y=(x+3)5+3的凸區間為()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)標準答案：A知識點解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲線的凸區間為(-∞，-3)，故選A。18、曲線y=(2-x)-1/3在(2，+∞)內()A、單調遞增且為凸的B、單調遞增且為凹的C、單調遞減且為凸的D、單調遞減且為凹的標準答案：A知識點解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲線在(2，+∞)內是單調遞增且為凸的。19、函數y=2+cos(x/2)在區間(π，2π)內的圖形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直線標準答案：A知識點解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，當x∈(π，2π)時，y”＞0，從而函數y的圖形在(π，2π)內為凹的。故選A。20、若曲線f(x)在(a，b)內任意一點的切線總位于曲線弧上方，則該曲線在(a，b)內是()A、凹的B、凸的C、單調上升D、單調下降標準答案：B知識點解析：由凹凸性的定義可知答案選B。21、若點(0，1)是曲線y=ax3+bx2+c的拐點，則有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c為任意實數D、a、b為任意實數，c=1標準答案：B知識點解析：因為(0，1)在曲線上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)為拐點，所以y”(0)=2b=0，得b=0；當a=0時，y=c=1無拐點，所以a≠0，故選B。22、曲線y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平漸近線，無垂直漸近線B、無水平漸近線，有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，也無垂直漸近線標準答案：C知識點解析：對于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因為[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲線有水平漸近線y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲線有垂直漸近線x=-1。23、曲線y=xsin(1/x)()A、僅有水平漸近線B、僅有垂直漸近線C、既有水平漸近線，又有垂直漸近線D、既無水平漸近線，又無垂直漸近線標準答案：A知識點解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲線y=xsin(1/x)只有水平漸近線。24、曲線y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平漸近線是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1標準答案：D知識點解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲線的水平漸近線為y=-1。廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第5套一、證明題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、欲做一個容積為Vm3的無蓋圓柱形儲糧桶，底面用鋁制，側壁用木板制，已知每平方米鋁的價格是木板的價格的5倍，問怎樣設計圓柱形桶的尺寸，才能使費用最少?標準答案：設儲糧桶的底面半徑為rm，高為hm，木板的單價為a元/m2，則有V=πr2h，記制作儲糧桶的費用為S(r)。則S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于駐點唯一，且實際問題存在最值，所以S在r=處取得最小值，此時h=5，因此當儲糧桶底面半徑為m，高為5m時，所用材料費用最少。知識點解析：暫無解析2、設有底面為等邊三角形的直三棱柱，體積為V，要使其表面積為最小，問底面三角形的邊長應為多少?(提示：直三棱柱的體積V=S·h，其中S為底面積，h為高)標準答案：設底面三角形的邊長為x，直三棱柱高為y，則V=x2y，y=，表面積知識點解析：暫無解析3、要做一個圓錐形的漏斗，其母線長20cm，要使其體積為最大，問其高應為多少?(提示：圓錐的體積V=(1/3)S·h，其中S為底面積，h為高)標準答案：知識點解析：暫無解析4、設一物體下端為直圓柱，上端為半球體，如果此物體的體積為V，這個物體的尺寸是多少時，才能使其表面積最小?(提示：球的表面積S=4πr2，球的體積V=(4/3)πr3，其中r為球的半徑)標準答案：設圓柱底面半徑為r，高為h，則該物體的體積V=πr2h+(2/3)πr2，表面積S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一駐點r=，此時h=，由于駐點唯一，且該實際問題最值一定存在，故r=也為最小值點，所以直圓柱的底面半徑和高均為，表面積取得最小值。知識點解析：暫無解析5、一艘輪船甲以20海里/時的速度向東行駛，同一時間另一艘輪船乙在其正北82海里處以16海里/時的速度向南行駛，問經過多少時間后，兩船相距最近?標準答案：設經過t小時兩船相距S海里，如圖2-1所示，則S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得駐點t=2，由于駐點唯一，實際問題最值存在，故t=2也為最小值點，故經過兩小時后兩船相距最近。知識點解析：暫無解析二、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)6、求曲線f(x)=的單調區間和極值。標準答案：x=1為函數的駐點，x=0與x=2為導數不存在的點。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的單調遞增區間為(0，1)和(2，+∞)，單調遞減區間為(-∞，0)和(1，2)；極大值為f(1)=1，極小值為f(0)=f(2)=0。知識點解析：暫無解析7、求函數f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的單調區間和極值。標準答案：f(x)的定義域為(-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，當x＜0時，f’(x)＜0；當x＞0時，f’(x)＞0。所以f(x)在區間(-∞，0)內單調遞減，在(0，+∞)內單調遞增；f(0)=0是f(x)的極小值。知識點解析：暫無解析8、求函數y=e2x/x的單調區間和凹凸區間。標準答案：函數y的定義域為(-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，當x＞1/2時，y’＞0；當x＜1/2且x≠0時，y’＜0，故y=e2x/x的單調遞增區間為(1/2，+∞)，單調遞減區間為(-∞，0)，(0，1/2)。又因為y″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以當x＞0時，y″＞0；當x＜0時，y″＜0，故函數y=e2x/x的凹區間為(0，+∞)，凸區間為(-∞，0)。知識點解析：暫無解析9、已知函數f(x)=x-4lnx，求f(x)的單調區間、極值和凹凸區間。標準答案：函數f(x)的定義域為(0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得駐點x=4。當0＜x＜4時，f’(x)＜0；當x＞4時，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函數f(x)的單調增加區間是(4，+∞)，單調減少區間是(0，4)；f(x)在x=4處取得極小值，極小值為f(4)=4-8ln2；曲線f(x)的凹區間為(0，+∞)。知識點解析：暫無解析10、求曲線y=x4-2x3+1的凹凸區間和拐點。標準答案：函數y=x4-2x3+1的定義域為(-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。當x＜0或x＞1時，y”＞0；當0＜x＜1時，y”＜0。當x=0時，y=1；當x=1時，y=0，所以曲線y的凹區間是(-∞，0)，(1，+∞)，凸區間為(0，1)，點(0，1)和點(1，0)是這條曲線的兩個拐點。知識點解析：暫無解析11、求曲線f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸區間和拐點。標準答案：函數f(x)的定義域為x≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此時y=0。當x＞1或-1＜x＜0時，f(x)＞0；當0＜x＜1或x＜1時，f″(x)＜0，所以曲線f(x)的凹區間為(-1，0)，(1，+∞)；凸區間為(0，1)，(-∞，-1)，拐點為(0，0)。知識點解析：暫無解析12、求函數y=x2+2/x的極值、單調區間、凹凸區間、拐點和漸近線。(只考慮水平和垂直漸近線)標準答案：函數的定義域為(-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2/x2=2(x3-1)/x2，令y’=0，得x=1。當x＞1時，y’＞0；當x＜1且x≠0時，y’＜0，所以函數y=x2+2/x在點x=1處取得極小值，且極小值為y(1)=3；函數的單調增加區間為(1，+∞)，單調減少區間為(-∞，0)，(0，1)。因為y″=2(x3+2)/x3，令y”=0，得x=，此時y=0。當x＜時，y”＞0；當＜x＜0時，y”＜0；當x＞0時，y”＞0，所以點(，0)是拐點。函數的凹區間為(-∞，)，(0，+∞)；凸區間為(，0)。又因為(x2+2/x)=∞，(x2+2/x)=∞，所以曲線y=x2+2/x有垂直漸近線x=0，沒有水平漸近線。知識點解析：暫無解析13、已知點(1，1)是曲線y=ae1/x+bx2的拐點，求常數a，b的值。標準答案：由題意知ae+b=1，①又因為y’=(-a/x2)e1/x+2bx，y”=(2a/x3)e1/x+(a/x4)e1/x+26，點(1，1)是曲線的拐點，且函數在該點處二階可導。所以y”｜x=1，即2ae+ae+2b=3ae+2b=0，②由①和②解得a=-2/e，b=3。知識點解析：暫無解析14、設x=±1是f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點，求曲線f(x)的拐點。標準答案：f’(x)=3x2+2ax+b，由于x=±1是f(x)的兩個極值點，則，解得a=0，b=-3，故f’(x)=3x2-3，f″(x)=6x，當x＞0時，f(x)＞0；當x＜0時，f”(x)＜0，且x=0時，f(0)=0，所以f(x)的拐點為(0，0)。知識點解析：暫無解析15、設函數y=alnx+6x2+5x在x=1處取得極值且x=1/2為其拐點的橫坐標，求a，b的值。標準答案：由題意知y的定義域為(0，+∞)，y’=a/x+2bx+5，y”=-a/x2+26，又由已知條件可得y’(1)=a+2b+5=0，y″(1/2)=-4a+2b=0，聯立解得a=-1，b=-2。知識點解析：暫無解析16、試確定常數a，b，c，使曲線y=ax2+bx+cex有拐點(1，e)，且在該點處的切線與直線x+y=0平行。標準答案：已知直線的斜率k=-1，由條件y(1)=e，y’(1)=-1，y”(1)=0即可確定待定常數。又y’=2ax+b+cex，y”=2a+cex，由以上條件可得方程組解得a=-1-e，b=-1，c=2(1+1/e)。知識點解析：暫無解析17、設f(x)=ax3-3ax2+b(a＞0)在區間[-1，3]上的最大值為1，最小值為-3，試求常數a和b的值。標準答案：f’(x)=3ax2-6ax，令f’(x)=0，解得駐點x1=0，x2=2，因此函數在[-1，3]上的最值可能在x=0，由于a＞0，因此f(0)=f(3)=b為函數f(x)在[-1，3]上的最大值，f(-1)=f(2)=-4a+b為f(x)在[-1，3]上的最小值，即有b=1，-4a+b=-3，解得b=1，a=1。知識點解析：暫無解析18、設函數f(x)滿足df(x)/de-x=x，求曲線y=f(x)的凹凸區間。標準答案：由題意得df(x)=xde-x=-xe-xdx，即f’(x)=-xe-x，f″(x)=(x-1)e-x，故f(x)在(-∞，+∞)內二階可導，當x＞1時，f″(x)＞0；當x＜1時，f(x)＜0，所以曲線y=f(x)的凹區間為(1，+∞)，凸區間為(-∞，1)。知識點解析：暫無解析19、已知f(x)=sinx/[x(x-1)]，求曲線f(x)的水平漸近線和垂直漸近線。標準答案：因為[sinx/x(x-1)]，所以y=0為曲線的水平漸近線；因為[(sinx/x·1/(x-1))]=-1，[sinx/x(x-1)]，所以x=1為曲線的垂直漸近線。知識點解析：暫無解析20、設k＞0，求函數f(x)=ln(1+2x)+kx2-2x的極值，并判斷是極大值還是極小值。標準答案：函數f(x)的定義域為(-1/2，+∞)。f’(x)=2/(1+2x)+2kx-2=[4kx2+(2k-4)x]/(1+2x)=[2kx(2x+(k-2)/k)]/(1+2k)，令f’(x)=0，解得x=0或x=(2-k)/2k。f″(x)=2k-4/(1+2x)2，故x=0時，f″(0)=2k-4；x=(2-k)/2k時，f″[(2-k)/2k]=k(2-k)，當2k-4＞0，即k＞2時，f(0)>0，x=0為極小值點，極小值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＜0，x=(2-k)/2k為極大值點，極大值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；當2k-4＜0，即0＜k＜2時，f″(0)＜0，x=0為極大值點，極大值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＞0，x=(2-k)/2k為極小值點，極小值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；當k=2時，f’(x)=8x2/(1+2x)≥0，函數f(x)不存在極值。知識點解析：暫無解析已知函數y=x3/(x-1)2，求：21、函數的單調區間及極值；標準答案：所給函數的定義域為(-∞，1)(1，+∞)。y’=[x2(x-3)]/(x-1)3，令y’=0，得駐點x=0及x=3。y″=6x/[(x-1)4]，令y″=0，得x=0。列表討論如下：由上表可知函數的單調遞增區間為(-∞，1)，(3，+∞)，單調遞減區間為(1，3)；極小值為y｜x=3=27/4；知識點解析：暫無解析22、函數的凹凸區間及拐點；標準答案：由上表可知函數的凸區間是(-∞，0)，凹區間(0，1)，(1，+∞)，拐點為點(0，0)；知識點解析：暫無解析23、函數圖形的垂直漸近線。標準答案：由x3/(x-1)2=+∞知，x=1是函數圖形的垂直漸近線。知識點解析：暫無解析廣東專升本數學（一元函數微分學）模擬試卷第6套一、填空題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、設y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所確定，則曲線y=f(x)在點(0，1)處的法線方程為__________。標準答案：x-2y+2=0知識點解析：等式e2x+y-cos(xy)=e-1兩端同時對x求導數，得e2x+y(2+y’)+(y+xy’)sin(xy)=0，將x=0，y=1代入可得曲線在點(0，1)處的切線斜率k=y’(0)=-2，則法線斜率為1/2，因此曲線y=f(x)在點(0，1)處的法線方程為y-1=(1/2)(x-0)，即x-2y+2=0。2、若x=1/(t+1)，y=t5，則dy/dx=__________。標準答案：-5t4(t+1)2知識點解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=5t4/[-1/(t+1)2]=-5t4(t+1)2。3、設y=y(x)由所確定，其中f可導，且f’(0)≠0，則dy/dx｜t=0=__________。標準答案：1/2知識點解析：dy/dt=(dy/dt)/(dx/dt)=f’(t)/[f’(e2t-1)·2e2t]，因此(dy/dx)｜t=0=f’(0)/[f’(0)·2]=1/2。4、若x=atcost,y=atsint，則dy/dx｜t=π/2=__________。標準答案：-2/π知識點解析：(dy/dx)｜t=π/2=[(dy/dt)/(dx/dt)]｜t=π/2=[(asint+atcost)/(acost-atsint)]｜t=π/2=a/(-a·π/2)=-2/π。5、若由參數方程所確定的函數y=y(x)滿足dy/dx=y+e-x，則常數a=__________。標準答案：-1/2知識點解析：由題意知dy/dx=[(dy/dt)/(dx/dt)]=(asect·tant)/(-tant)=-asect，y+e-x=asect+e-x=asect+sect=(a+1)sect，所以由(dy/dx)=y+e-x得-asect=(a+1)sect,則-a=a+1，故a=-1/2。6、曲線在點(0，1)處的切線斜率為__________。標準答案：1/2知識點解析：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[(etcost-etsint)/(etsin2t+2etcos2t)]=(cost-sint)/(sin2t+2cos2t)，當x=0，y=1時，t=0，從而(dy/dx)｜t=0=1/2，所以曲線在(0，1)處的切線斜率k=1/2。7、設x=φ(y)是嚴格單調的連續函數y=f(x)的反函數，且f(1)=9，f’(1)=-，則φ’(9)=__________。標準答案：知識點解析：因為φ’(y)=[1/f’(x)]，而f(1)=9，f’(1)=，所以φ’(9)=1/f’(x)=。8、設f(x)是可導函數，且f’(x)=sin(x+1)，f(0)=4，x=g(y)是y=f(x)的反函數，則g’(4)=__________。標準答案：1/sin1知識點解析：根據反函數的求導法則，有g’(y)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/f’(x)=1/sin(x+1)，于是g’(4)=[1/sin(x+1)]｜x=0=1/sin1。9、設y=sin2(x4)，則dy==__________d(x3)。標準答案：(4/3)sin(2x4)知識點解析：dy/d(x3)=d[sin2(x4)]/d(x3)=[2sin(x4)cos(x4)·4x3dx]/3x2dx=(8/3)xsin(x4)cos(x4)=(4/3)xsin(2x4)，所以dy=(2x4)d(x3)。10、已知函數f(x)滿足=f(x)d[arcsin(2x)]，則f(x)=__________。標準答案：-2x知識點解析：11、設y=cos(e1/x)，則dy=__________。標準答案：(1/x2)e(1/x)sin(e1/x)dx知識點解析：y=cos(e1/x)，則y’=-sin(e1/x)·e1/x·(-1/x2)，dy=(1/x2)e1/xsin(e1/x)dx。12、設y=ex/(1+x)，則dy=__________。標準答案：[xex/(1+x)2]dx知識點解析：y=[ex(1+x)-ex]/(1+x)2，所以dy=[xex/(1+x)2]dx。13、已知dy=(x6+6x)dx，則y?=__________。標準答案：30x4知識點解析：由題意可知y’=x6+6x，則y”=6x5+6，y?=30x4。14、設y=y(x)是由方程tany=x+y確定的函數，則dy=__________dx。標準答案：cot2y(或1/(x+y)2)知識點解析：等式tany=x+y兩端求微分，得d(tany)=d(x+y)，即sec2ydy=dx+dy，所以dy=[1/(sec2y-1)]dx=cot2ydx=[1/(x+y)2]dx。15、設函數y=(x2-2)3，則dy=__________。標準答案：6x(x2-2)2dx知識點解析：y’=3(x2-2)2·2x=6x(x2-2)2，則dy=6x(x2-2)2dx。16、已知y=y(x)是由方程xy=ey-x確定的函數，則dy=__________。標準答案：[(y+xy)/(xy-x)]dx知識點解析：方程兩邊對x求導，得y+zy’=ey-x(y’-1)，所以y’=[(y+ey-x)/(ey-x-x)]=(y+xy)/(xy-x)，即dy=[(y+xy)/(xy-x)]dx。17、的近似值為__________。(保留4位小數)標準答案：2．0025知識點解析：18、e0．03的近似值為__________。(保留2位小數)標準答案：1．03知識點解析：令f(x)=ex，則f’(x)=ex，f(x+△x)≈f(x)+f’(x)△x，所以e0．03=e0+0．03≈e0+e0·0．03=1．03。二、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)19、設f(x)在點x0處可導，求[f(x0+x2)-f(x0)]/(1-cosx)。標準答案：[f(x0+x2)-f(x0)]/(1-cosx)=[f(x0+x2)-f(x0)]/(1/2)x2=2[f(x0+x2)-f(x0)]/x2=2f(x0)=2f’+(x0)=2f’(x0)。知識點解析：暫無解析20、設f(x)為可導函數，且[f(2x-1)-f(1)]/(x-1)=1/2，求f’(1)。標準答案：令t=x-1，則[f(2x-1)-f(1)]/(x-1)=[f(2t+1)-f(1)]/t=2[f(2t+1)-f(1)]/2t=2f’(1)=1/2，所以f’(1)=1/4。知識點解析：暫無解析21、設f(x)在(-∞，+∞)內具有二階導數，且[f(x)/x]=0，f″(0)=4，求[1+f(x)/x]1/x。標準答案：知識點解析：暫無解析22、討論函數f(x)=x｜x｜在x=0處的可導性。標準答案：f’(0)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=[x｜x｜-0]/(x-