遼寧省撫順市2025屆高三第一次模擬考試

數學(文)試題

一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)

3

1.已知復數2=;―不(i是虛數單位)，貝！]，=()

1—2.1

36.36.

A—H—iB—i

?5555

【答案】B

【解析】

分析：利用復數代數形式的乘除運算化簡求得z,再由共軌復數的概念得答案.

33(1+2i)36,

詳解:Z=--------------------------=-4-—i

l-2i(l-2i)(l+2i)55

36,

———i.

55

故選：B.

點睛：本題考查復數代數形式乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

2.已知集合4={久eZ[0<x<4},B=[x\(x+l)(x-2)<0},則4cB=()

A.(0,2)B.(-1,2)C.{0,1}D.{1}

【答案】D

【解析】

【分析】

先分別求出集合4B,在依據集合的交集的運算，即可得到ACB,得到答案.

[詳解】由題意，集合4={xeZ|0<x<4}={1,2,3},

B={x|(x+l)(x-2)<0}={x|-1<x<2},

所以ACB={1}.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了集合的交集的運算，以及集合的表示與運算，其中解答中正確求解

集合48,再依據集合的交集的運算求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基

礎題.

3.在等差數列{冊}中，前“項和S”滿意S9—§2=35,則。6的值是

A.5B.7C.9D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

依據等差數列性質求。6的值.

【詳解】因為Sg-S2=35,所以+。6+。7+。8+。9=35,即7a6=35,。6=5,選

A.

【點睛】本題考查等差數列性質，考查基本分析求解實力，屬基礎題.

4.軍訓時，甲、乙兩名同學進行射擊競賽，共競賽10場，每場競賽各射擊四次，且用每場擊

中環數之和作為該場競賽的成果.數學老師將甲、乙兩名同學的10場競賽成果繪成如圖所示

的莖葉圖，并給出下列4個結論：(1)甲的平均成果比乙的平均成果高；(2)甲的成果的極

差是29；(3)乙的成果的眾數是21；(4)乙的成果的中位數是18.則這4個結論中，正確結

論的個數為

甲乙

809

32113489

76542020113

73

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

依據莖葉圖估計平均數、極差、眾數以及中位數，即可推斷選項.

【詳解】依據莖葉圖知甲的平均成果大約二十幾，乙的平均成果大約十幾，因此(1)對；

甲的成果的極差是37-8=29,(2)對；乙的成果的眾數是21,(3)對；乙的成果的中位數是

18j19=18.5.(4)錯，選C.

點睛】本題考查莖葉圖以及平均數、極差、眾數、中位數等概念，考查基本分析推斷與求解

實力，屬基礎題.

5.已知向量2=(1,2促)，曲=1,向量￡與石的夾角為120。，則M+M的值為()

A.相B."C.7D.13

【答案】B

【解析】

分析】

依據向量的模與向量的數量積的運算，求得向+年，進而得到血+瓦的值，得到答案.

【詳解】由題意，可知W=(1,2病，.?.向=也2+0溝2=3.

/.\a+b\2=(a+by=|a|z+\b\2+2a-b=9+1+2?|a|?|B|-cosl20°=10+2x3xlxI--j=7

\a+b\=J7.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了兩個向量和的模的值，其中解答中熟記向量的模的運算，以及向量

的數量積的運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

(X+2y-240

6.實數久，y滿意約束條件|無-y+120,則z=2x-y的最小值是()

(%—2y—2<0

A.5B.4C.-5D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解

的坐標代入目標函數，即可得到答案.

(X+2y-240

【詳解】由題意，作出約束條件久-y+120,所表示的平面區域，如圖所示，

(%—2y—2<0

由目標函數z=2x-y,可得直線y=2%-z,由圖可知，當直線y=2%-z過/時，直線在y軸上的

截距最大，Z有最小值，

聯立能聚之/解得4(+3),

所以目標函數的最小值為Zmin=2X(一4)一(-3)=-5,

故選：C.

【點睛】本題主要考查簡潔線性規劃求解目標函數的最值問題.其中解答中正確畫出不等式

組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重

考查了數形結合思想，及推理與計算實力，屬于基礎題.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖，從而求出幾何體的體積.

【詳解】由三視圖可知幾何體為邊長為2的正方體的一半，做出幾何體的直觀圖如圖所示,

故幾何體的體積為|x2^=4.

故選：B.

2

【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，依據三視圖推斷幾何體的形態是解題的關

鍵，屬于中檔題.

8.執行如圖的程序框圖，則輸出的S的值是（）

A.30B.126C.62D.-126

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的

運行過程，分析循環中各變量值的改變狀況，即可得到答案.

【詳解】由題意，模擬程序的運行，可得S=0,i=l

滿意條件iW5,執行循環體，S=2,i=2

滿意條件iW5,執行循環體，S=6,i=3

滿意條件i<5,執行循環體，S=14,i=4

滿意條件i<5,執行循環體，S=30,i=5

滿意條件iW5,執行循環體，S=62,i=6

此時，不滿意條件iW5,退出循環，輸出S的值為62.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了程序框圖的應用問題，其中解答中應模擬程序框圖的運行過程，逐

次循環計算，依據推斷框的條件，終止循環得出輸出的結果是解答的關鍵，著重考查了運算

與求解實力，屬于基礎題.

9.學校依據課程安排擬定同時實施“科普之旅”和“紅色之旅”兩個主題的研學旅行，現在

小芳和小敏都已經報名參與此次的研學旅行，則兩人選擇的恰好是同一研學旅行主題的概率

為

1113

A.—B.—C.-D.—

4234

【答案】B

【解析】

【分析】

依據古典概型概率公式求結果.

【詳解】小芳和小敏報名方法共有2x2=4種，其中兩人選擇的恰好是同一研學旅行主題的有

21

2種，因此所求概率為了=三，選B.

【點睛】本題考查古典概型概率，考查基本分析求解實力，屬基礎題.

10.在三棱錐P-4BC中，已知PA=4B=4C,NBZC=NP4C,點D,E分別為棱BC,PC的中點,

則下列結論正確的是（）

A.直線DEJ.直線ADB.直線DEJ.直線24

C,直線DEJ.直線4BD.直線DEJ.直線AC

【答案】D

【解析】

【分析】

畫出圖形，取PB中點G,連接4G,CG,證明PB_L平面C4G,則PBJ.4C,再由D,E分別為棱BC,

PC的中點，可得DE//PB,從而得到DE_LAC.

【詳解】由題意，如圖所示，因為P4=AB=4C,ABAC=Z.PAC,

APAC三ABAC,得PC=BC,取PB中點G,連接4G,CG,

貝UPB1CG,PBLAG,

又：AGcCG=G,；.PBJ.平面C4G,貝（JPB1AC,

；D,E分別為棱BC,PC的中點，

：.DE//PB,貝!|DE1AC.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了棱柱的結構特征，考查空間中直線與直線，直線與平面位置關系的

判定與應用，其中解答中正確駕馭空間幾何體的結構特征，以及熟記線面位置關系的判定定

理與性質定理是解答額關鍵，著重考查空間想象實力與思維實力，屬于中檔題.

11.已知斜率為-1的直線過拋物線丫2=2「久伊＞0）的焦點，且與該拋物線交于4B兩點，若線

段AB的中點的縱坐標為-2,則該拋物線的準線方程為（）

A.x-2B.x—1C.x——2D.x——1

【答案】D

【解析】

【分析】

由直線AB的方程和拋物線方程聯立，利用韋達定理，列出方程，求得p=2,進而得到其準線

方程，得到答案.

【詳解】由題意，直線4B:y=-久+（并代入y2=2px并整理得：y2+2py_p2=（）,

設貽”力）,B（尤2，%），

y+y

貝01+力=-2p,/d_?=_2=_2,解得p=2.

所以該拋物線的準線方程為X=-(=-1,故選D。

【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，其中解答中把直線方程和拋物線

方程聯立，合理利用根與系數的關系，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解

實力，屬于基礎題.

12.若函數/■(無)=他說—必有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,1]C.[-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用參數分別法，然后構造函數九(乃，求函數的導數，探討函數的單調性和極值，利用數形結

合進行求解即可.

【詳解】由題意，函數的定義域為{%|久>0},

322

又由/⑶=xlnx—x+x—ax=0，得Q=lnx—x+x，

則等價為方程a=lnx-x2+x,在(0,+8)上有兩個不同的根，

設九(乃=lwc—x24-x,

I1—2無2+無+1

h(x)=—2x+1=-----------，

xx

,1

由>0得一2/4-x+1>0得2%2—工—1<0，得一萬〈冗<1,

此時OV%V1,函數。%)為增函數,

h(x)<0得一27+第+1<0得2——工―1>0，得九<一]或%>1,

此時刀>1,函數九(乃為減函數，

即當％=1時，函數九(久)取得極大值，極大值h(l)=lnl-1+1=0,

要使a=7工――+工，有兩個根，貝!Ja<0即可，

故實數a的取值范圍是(-8,0),

故選：D.

【點睛】本題主要考查了函數與方程的應用，其中解答中利用參數分別法，構造新函數，利

用導數探討函數的單調性和極值，以及利用數形結合是解決本題的關鍵，著重考查了數形結

合思想，以及運算與求解實力，屬于中檔試題.

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

1

13.已知函數/'(>)是奇函數，且當x<0時/'(%)=(2)。則63)的值是.

【答案】-8

【解析】

【分析】

先求f(-3),再依據奇函數性質得八3).

【詳解】因為/(-3)=(}-3=8,又函數/'(>)是奇函數，所以★3)=-/(-3)=-8.

【點睛】本題考查利用函數奇偶性求函數值，考查基本分析求解實力，屬基礎題.

33

14.^sm(a--TT)=則cos2a的值是.

7

【答案】三

【解析】

【分析】

先依據誘導公式化簡sin(a-|允)，再依據二倍角余弦公式求結果.

【詳解】因為sin(a-：兀)=cosa,所以cosa=:，

因此cos2a=2cos2a-1=2x3j2-1=--7.

【點睛】本題考查誘導公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解實力，屬基礎題.

Xv

15.在平面直角坐標系％Oy中，過%軸上的點P作雙曲線1（。＞0力＞0）的一條漸近線的

ao

垂線，垂足為M,若。"=#,PM=#,則雙曲線C的離心率的值是.

【答案】趙

2

【解析】

【分析】

由題意可得"倒=生再依據e=￡=廣誓=1+C即可求出，得到答案.

a0M2.aiaJa

y2b

【詳解】由題意，雙曲線c：二一-^=1（。＞08＞0）的一條漸近線丫=一支，

a2b2a

,：0M=業,PM=V3,且PM_L漸近線y=紇，

a

.b_PM_商_?,p+b2_ry_rj_^

a0M很2aJa?Ja2」22

故答案為：色

2

【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質一一離心率的求解，其中依據條件轉化為圓錐曲線的

離心率的方程是解答的關鍵.求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：

①求出a,c,代入公式e=9；②只須要依據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次

a

式，然后轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）.

16.各項為正數的等比數列｛%｝中，。2與%0的等比中項為g,則I。93a4+I。93a8=.

【答案】-1

【解析】

由題設。2%0=:，又因為a2a10=。4a8，所以2093a4+，。93a8=4a8）=1。%）=應填

答案-1。

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知a,b,c分別是AABC的三個內角4B,C的對邊，若a=10,角B是最小的內角，且

3c=4asinB+3bcosA.

(I)求sinB的值；

(II)若c=14,求b的值.

3

【答案】(I)-(II)b=6^/2

【解析】

【分析】

(I)由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式，結合sin4>0,整理可得

3cosB=4sinB,依據sinB>0,利用同角三角函數基本關系式可求sinB的值.

71

(II)由角B是最小的內角，可求利用同角三角函數基本關系式可求cos9的值，依

據余弦定理即可計算得解b的值.

【詳解】(I)由3c=+3bcos4且4+3+C=冗，

由正弦定理得：3sEC=AsinAsinB+3sinBcosA,

即3s出(4+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,

由于>0,整理可得3cosB=4sinB,

3

又sEB>0,所以5出8=1

71

(ID因為角B是最小的內角，所以

34

又由(I)知5譏8所以cosB=g,

4

由余弦定理得/=142+102-2x14x10x耳=72,即6=6點.

【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，同角三角函數基本關系式，

余弦定理在解三角形中的綜合應用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及合理應用正

弦定理、余弦定理求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想與運算、求解實力，屬于基礎題.

18.“微信運動”是手機4PP推出的多款健康運動軟件中的一款，高校生M的微信好友中有400

位好友參與了“微信運動”.他隨機抽取了40位參與“微信運動”的微信好友(女20人，

男20人)在某天的走路步數，經統計，其中女性好友走路的步數狀況可分為五個類別：4、

0~2000步，(說明：“0~2000”表示大于或等于0,小于2000,以下同理)，B、2000~5000

步，C、5000~8000步，D、8000?10000步，E、10000~12000步，且4、B、C三種類別的

人數比例為1:4:3,將統計結果繪制如圖所示的柱形圖；男性好友走路的步數數據繪制如圖所

示的頻率分布直方圖.

（I）若以高校生M抽取的微信好友在該天行走步數的頻率分布，作為參與“微信運動”的全

部微信好友每天走路步數的概率分布，試估計高校生M的參與“微信運動”的400位微信好友

中，每天走路步數在2000~8000的人數；

（II）若在高校生”該天抽取的步數在8000?10000的微信好友中，按男女比例分層抽取6人

進行身體狀況調查，然后再從這6位微信好友中隨機抽取2人進行采訪，求其中至少有一位

女性微信好友被采訪的概率.

3

【答案】（I）見解析（II）-.

【解析】

【分析】

（I）所抽取的40人中，該天行走2000~8000步的人數：男12人，女14人，由此能求出

400位參與“微信運動”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人數.

（II）該天抽取的步數在8000?10000的人數：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分層

抽取6人，則其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率.

【詳解】（I）由題意，所抽取的40人中，該天行走2000~8000步的人數：男12人，女14

人，

所以400位參與“微信運動”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人數約為

26,

400x—=260人；

40

（II）該天抽取的步數在8000?10000的人數中，依據頻率分布直方圖可知，男生人數所占的

頻率為0.15x2=0.3,所以男生的人數為為20X0.3=6人，依據柱狀圖可得，女生人數為3人,

再按男女比例分層抽取6人，則其中男4人，女2人.再從這6位微信好友中隨機抽取2人

進行采訪，基本領件總數"=Cj=15種，

至少1個女性的對立事務是選取中的兩人都是男性,

...其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率：p=1-

cl5

【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及古典概型及其概率的求解，以及分層

抽樣等學問的綜合應用，其中解答中仔細審題，正確理解題意，合理運算求解是解答此類問

題的關鍵，著重考查了運算與求解實力，屬于基礎題.

19如圖,在正三棱柱48C-4道也1中，AB=AA1=2,E,F分別為4B,的中點.

(I)求證：B用/平面4CF；

(II)求三棱錐B1-4CF的體積.

【答案】(I)見解析(II)

3

【解析】

【分析】

1

(I)取AC的中點M,連結EM,FM,由三角形性質得EM//BC且=結合已知得到

且EM=B/,則四邊形EMF名為平行四邊形，可得〃/M,再由線面平行的判定

可得/E〃平面ACF；

(II)設。為BC的中點，由已知得到AOJ.平面BCG%,然后利用等積法求三棱錐與-4CF的

體積.

【詳解】(I)證明：取4C的中點“，連結EM,FM,

1

在A4BC中，M分別為AB,AC的中點，EM//BC且EM=,BC,

1

又產為8也1的中點，%G//BC,J.B^//BC^B1F=-BC,

即EM//BiFaEM=B/,

故四邊形EMFBi為平行四邊形，,BiE//FM,

又MFu平面ACF,8述《平面ACF,

：.BXE//平面46；

(II)解：設。為BC的中點，

???棱柱底面是正三角形，4B=2,.?.有4。=布，

又因為A4BC為正三角形，且。為BC的中點，所以40J.BC,

又由正三棱柱，所以平面BCGBIJL平面ABC,

由面面垂直的性質定理可得4。_L平面BCq%,即三棱錐A-%CF的高為小，

始2111廠書

所以，81-ACF=VA-B、CF=5'S%CFX=X2X=

【點睛】本題主要考查了直線與平面平行的判定與證明，以及利用等體積法七屆多面體的體

積問題，其中解答中熟記線面位置關系的判定與性質，以及合理利用等體積法求解體積是解

答的關鍵，著重考查了空間想象實力，以及推理與運算實力，屬于基礎題.

xv

20.己知點M(2,l)在橢圓C："+、=l(a>b>0)上，A,B是長軸的兩個端點，且血?加8=-3.

ao

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)已知點E(l,0),過點M(2,l)的直線/與橢圓的另一個交點為M若點E總在以MN為直徑的

圓內，求直線，的斜率的取值范圍.

【答案】(I)-+^=1;(II)(-p+ool

82I6)

【解析】

【分析】

22I2

(I)由題意可得，=8,又點M(2,l)在橢圓。上，即工+廠=1,即可求出橢圓方程,

8b2

(II)聯立方程組，利用根的判別式、向量的數量積，即可直線/斜率的取值范圍.

【詳解】(I)由已知可得(―a-2,—l)?(a-2,-1)=-3,解得a?=8，

22I2

又點在橢圓。上，即不+下=1,解得y=2，

8b2

22

所以橢圓C的標準方程為上+匕=1;

82

(II)設N(xi，%),當直線2垂直于x軸時，點E在以MN為直徑的圓上，不合題意,

因此設直線1的方程為y=fc(x-2)+1,

代入橢圓方程消去y得(4d+l)x2+8(fc-2fc2)x+4(4fc2-4fc-l)=0,

222

4(4fc-4fc-l)on2(4fc-4Ar-l)-4k-4k+1

則有2k1-----------,即％i=------------------，ya.=

4k2+14k2+14k2+1

且判別式A=16(2k+l)2>0，即壯一；，又點E總在以MN為直徑的圓內,

所以必有而-EN<0,即有(乙一1%>(1,1)=x1+yt-l<0,

4k2—8k—3-4k2-4k+11

將久i，代入得--------------+------------------<0,解得k>—z，

4k2+14k2+16

【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題，解

答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓方程的方程組，合理利用判別式，以及向量的數量積

進行求解，此類問題易錯點是困難式子的變形實力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏

輯思維實力、運算求解實力、分析問題解決問題的實力等.

21.已知函數：f(x)=lnx—ax—3(a0).

(I)探討函數八乃的單調性；

(II)若函數外幻有最大值“，且M>a-5,求實數a的取值范圍.

【答案】(I)見解析(II)(0,1)

【解析】

【分析】

(I)求出函數f(x)的定義域與通過當a<0時，當a>0時，推斷導函數的符號，推出

單調性，

(II)依據(I)可得此有-"a-4>a-5,得bia+a-l<0,設g(a)=Zna+a-1,利用導

數求出函數的最值即可.

【詳解】(I)/(%)的定義域為。+8),

由已知得f(町=；-Q，

當Q<0時，f\x)>0,所以，/(%)在。+8)內單調遞增，無減區間；

當Q>0時，令八町=0，得%=:,

所以當久6(0。)時f'⑸>0,f(x)單調遞增；

當久eg,+8)時f(無)<o，f(x)單調遞減，

(II)由(I)知，當Q<0時，在。+8)內單調遞增，無最大值，

,1

當Q>0時，函數乃在第=-取得最大值，

a

11

即/1(gmax=n-j=^--4=-Ina-4,

因此有-伍a-4>a-5,得bia+a-l<0,

設g(a)=bia+a-l,則g'(a)=：+1>0,所以g(a)在(0,+8)內單調遞增，

又g(l)=0,所以g(a)<g(l),得0<a<l,

故實數a的取值范圍是(0,1).

【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化

與化歸思想、邏輯推理實力與計算實力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數探

討函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可

分別變量，構造新函數，干脆把問題轉化為函數的最值問